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Niveau énigmes
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JFF : L'escapade de Flore Madoudou *

Posté par
jamo Moderateur 22-05-07 à 22:21

Bonjour,

Voilà, c'est décidé, Flore Madoudou, la grande sportive, a décidé de s'enfuir ...
Elle en a ras le bol de son entraineur, et profite d'une sieste de celui-ci pour se sauver.

Flore Madoudou est au point A, et décide se rendre au point B rejoindre son grand amour.
Elle prend sa bicyclette et se dirige à la vitesse moyenne v1 de 40 km/h jusqu'à la rivière.
Elle traverse ensuite la rivière à la nage à la vitesse moyenne v2 de 9 km/h.
Une fois arrivée sur l'autre rive, elle finir son trajet vers le point B en courant à la vitesse moyenne v3 de 12 km/h.

Toutes les dimensions nécessaires sont indiquées sur le dessin ci-dessous.

Bien entendu, Flore Madoudou doit arriver le plus vite possible au point B si elle espère échapper à son entraineur.

Question : Quel est le temps minimal pour aller du point A au point B ?
On donnera le temps en heures, minutes et secondes, à la seconde près.

Bonne recherche ...

JFF : L\'escapade de Flore Madoudou

Posté par kuid312 (invité)re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 22-05-07 à 22:31

Salut

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Kuider

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 22-05-07 à 22:32

kuid312 >>

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Posté par kuid312 (invité)re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 22-05-07 à 22:33

Ok, je regarde sa demain

Bonne soirée

Kuider

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 22-05-07 à 22:42

Une petite remarque : mon problème est une variante de celle-ci : Spmtb : Le Héros du siecle

Posté par kuid312 (invité)re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 22-05-07 à 23:03

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Kuider

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 24-05-07 à 19:08

Posté par
TiT126re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 24-05-07 à 19:43

Salut,

Bon comme personnene donne de reponce je me lance

Je ne pence pas que ma reponce soit juste car je ne sais pas trop comment placer le point G mais je tente quand même ^^.

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Voila

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 24-05-07 à 19:54

TiT126 >>

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Posté par
TiT126re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 24-05-07 à 20:00

salut jamo,

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Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 24-05-07 à 20:07

TiT126 >>

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Spmtb : Le Héros du siecle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 09:13



Je vais bientot poster la solution, si quelqu'un veut chercher ... il est pourtant soluble mon problème ...

Posté par
zabusare : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:04

Bonjour

est ce que il faut utiliser

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deja pour trouver la distance ???

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:11

zabusa >>

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Posté par
zabusare : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:15

d'accord j'arrete de le faire je te donne ce que j'ai trouvé en sachant que ce n'est pas bon mon résultat

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Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:17

zabusa >>

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Posté par
zabusare : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:17

Merci comme meme

Posté par
zabusare : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:20

j'avais trouvé au début

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Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:23

zabusa >>

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Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:38

Jamo >> C'est quel niveau ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:44

Je pense que la mise en équation est faisable par un élève de 1ère.

Ensuite, la résolution de l'équation est un peu délicate ...

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 10:54

D'accord, je m'y pencherai si j'ai le temps alors

Estelle

Posté par
Skopsre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 12:01

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Skops

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 12:12

Skops >>

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Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 13:09

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Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 13:32

Indice : il faut introduire 2 variables, qui correspondent aux 2 endroits où l'on rentre et où l'on sort de l'eau.

Posté par
TiT126re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 16:29

salut a tous,

Alors aprés plus de réfléxion, je trouve :

t = temps total
G = point d'entrer dans l'eau
G' = point de sortie de l'eau
x = distance AG
y = distance AG'


3$t = \frac{\sqrt{900+x^2}}{40}+\frac{\sqrt{100+y^2}}{9}+\frac{\sqrt{1600+y^2}}{12}

J'ai dérivé t(x,y) dans le but de lui trouver un minimum :

3$t'(x,y)=\frac{12\sqrt{1600+y^2}(9x\sqrt{100+y^2}+40y\sqrt{900+x^2})+360\sqrt{(900+x^2)(100+y^2)}}{4320\sqrt{(900+x^2)(160000+1700y^2+y^4)}}

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PS:
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J'ai essayer de blanké ce que je pouvait mais pour le LaTeX ca marche pas...

Voila

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 16:40

TiT126 >> le début est bon ... c'est bien ainsi qu'on définit et qu'on note une fonction à 2 variables, mais malheureusement, ce n'est pas ainsi qu'on la dérive ...

Posté par
TiT126re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:04

Nouvelle dérivée :

3$t'(x,y) = \frac{1}{4320}(\frac{108x}{\sqrt{900+x^2}}+\frac{480y}{\sqrt{100+y^2}}+\frac{360y}{\sqrt{1600+y^2}})

Le probléme c'est que je sais pas resoudre une équation a 2 inconnus...

Il est complexe ce defi ^^

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:12

En fait, je voulais dire qu'une fonction à 2 variables ne se dérive pas comme une fonction à 1 variable ... il y a 2 dérivées, une par rapport à x, et l'autre par rapport à y.

Et pour trouver l'extremum, il faut que les 2 dérivées s'annulent en même temps !

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:17

Par rapport à x (et par rapport à y aussi, sûrement), ça fait une dérivée assez compliquée, non ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:19

Bon, je vais vous donner une indication : je n'ai pas la solution exacte, mais j'ai du faire appel à une résolution numérique d'équation ...

Posté par
TiT126re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:20

Ahh, je voit...

3$f(x)=\frac{\sqrt{900+x^2}}{40} \\ \\ f(y)=\frac{\sqrt{100+y^2}}{9}+\frac{\sqrt{1600+y^2}}{12}

4$t(x)= f(x) + f(y)

Ensuite je derive f(x) et f(y)

c'est mieux ??

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:23

Non Tit126, ton expression de t(x;y) en fonction de x et de y était bonne.

Mais il faut faire appel à ce qu'on appelle des dérivées partielles que tu ne connais pas, mais on peut s'en passer, elles ne te conduiront pas à la solution exacte ...

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:24

Il ne fallait pas dériver une fois en fonction de x et avec y paramètre et une autre fois inversément ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:28

Estelle >> Oui, c'est ce qu'on appelle des dérivées partielles.

C'est à dire qu'on considère y constant et on dérive par rapport à x, cela donne la dérivée 3$\frac{dt}{dx}.

Ensuite, on obtient l'autre dérivée, en considérant x constant, et en dérivant par rapport à y : 3$\frac{dt}{dy}.

(en fait, pour etre vraiment rigoureux, il faut mettre des lettres d arrondies, et non pas droites, mais je ne sais pas où elles sont en LaTeX)

Cela donne 2 fonctions dérivées partielles, et il faut qu'elles s'annulent simulténement.

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:29

C'est ce que j'ai fait (je pense ) et je trouve que \frac{dt}{dx} s'annule en x=0, c'est normal ?

Estelle

Posté par
Fractalre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:30

La commande LaTeX pour le d rond est \partial : 3$\frac{\partial t}{\partial x}

Fractal

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:33

Estelle >> la dérivée par rapport à x s'annulle peut-etre bien pour x=0, je n'ai pas vérifié, mais il faut que la deuxième dérivée s'annulle aussi pour x=0, sinon, ce n'est pas un extremum

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:33

Et en dérivant par rapport à y, en y=0 ou en y = autre chose.

C'est normal ? J'ai pas l'impresssion

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:33

Fractal >> merci bien

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:34

Mais la deuxième dérivée ne dépend pas de x, si ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:36

Estelle >> Ah si, les 2 dérivées dépendent à la fois de x et de y ...

Ah, je viens d'apercevoir une erreur dans l'expression de t(x;y) de TiT126 ...

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:37

3$t(x,y)%20=%20\frac{\sqrt{900+x^2}}{40}+\frac{\sqrt{100+y^2}}{9}+\frac{\sqrt{1600+y^2}}{12}

Si on considère y constant, alors \frac{\partial t}{\partial x}=(\frac{\sqrt{900+x^2}}{40})', non ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 27-05-07 à 17:41

Non, je crois bien que l'expression de t(x;y) n'est pas bonne ...

Je ne comprends pas trop à quoi correspondent ces x et y ...

Je vous propose les notations suivantes pour x et y :

JFF : L\'escapade de Flore Madoudou

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:00

Bonjour,

Jamo >> Est-ce que dans l'équation, il faut prendre en compte les vitesses que tu as données dans l'énoncé ? Et à quoi servent les angles ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:14

Bien entendu que les vitesses sont importantes.

Les angles ... c'est parce qu'il existe une méthode qui utilisent les angles.

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:19

BY² = 40²+(50-y)²
BY = V(1600+2500-100y+y²)
BY = V(y²-100y+4100)
Temps mis pour parcourir BY : 12*V(y²-100y+4100) km/h.

AX² = 30²+x²
AX = V(900+x²)
Temps mis pour parcourir AX : 40*V(900+x²) km/h.

Et pour XY... ?

Estelle

Posté par
jamo Moderateurre : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:25

Pour XY, tu as un triangle rectangle qui a pour petits côtés : b et ... (y-x) !

Posté par
_Estelle_re : JFF : L'escapade de Flore Madoudou * 28-05-07 à 09:28

BY² = 40²+(50-y)²
BY = V(1600+2500-100y+y²)
BY = V(y²-100y+4100)
Temps mis pour parcourir BY : 12*V(y²-100y+4100) km/h.

AX² = 30²+x²
AX = V(900+x²)
Temps mis pour parcourir AX : 40*V(900+x²) km/h.

XY² = 10²+(y-x)²
XY = V(100+y²-2xy+x²)
XY = V(y²-2xy+x²+100)
Temps mis pour parcourir XY : 9*V(y²-2xy+x²+100) km/h.

Donc on cherche à minimiser 4$ t(x,y) = 12\times \sqrt{y^2-100y+4100} + 40\times \sqrt{900+x^2} + 9\times \sqrt{y^2-2xy+x^2+100}.

C'est ça ?

Estelle

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