Bonjour,

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moi, je connais quelqu'un qui y est arrivé : Brahmagupta.

Les valeurs 40 et 41 ne sont-elles pas de trop ??

euh...petite precision demandée :

si on appelle O l'intersection des diagonales,

on a AC = 40 et BD = 41 ou bien AO = 40 et BO = 41 ?

je pencherai pour la premiere solution mais je prefere demander

AC = 40, BD = 41

Bonsoir,

Euh, comment fait-on pour répondre en "blanké" ?

Bonsoir cailloux

à gauche du bouton latex

Ah, j' ai trouvé, je n' étais jamais venu sur ce forum!

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L' Île n' est pas inscriptible!

Bonjour cailloux >>

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Non, tu te trompes, le quadrilatère est inscriptible, card'après le théorème de Ptolémée : 31*20+30*34=40*41.

La preuve en image :

bonjour Frenicle

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calculons avec le triangle de côtés 40, 30, 20
son aire, d'après la formule de Héron est V(45*5*15*25) = 75*V15
le produit des trois côtés = quatre fois le produit de l'aire par le rayon circonscrit :
24000 = 4*75*V15*rayon
rayon = 80/V15 = 20,656

Bonjour à tous

Héhé ! Il faut se méfier des conclusions hâtives...

C'est à dire ?

alors 20,62 ou 20,66 ou rien du tout

> jamo

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Je te propose par exemple de calculer le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. Par ailleurs je crois qu'il y a une coquille dans ta réponse : R² = 174688864/411015 et non 174688864/411615 (mais le problème n'est pas là).

frenicle >

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oui, j'écris tellement mal sur mon brouillon que le 6 et le 0 se sont ressemblés un peu ...

Sinon, je ne vois pas où se situe le problème !

jamo >

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Par exemple, Plumemeteore a calculé le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD, par une méthode classique et il ne trouve pas comme toi. C'est bizarre, non ?

frenicle >>

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l'un de nous 2 a-t-il fourni la bonne réponse ?

Bonjour,

Récapitulons :

Cailloux pense que le quadrilatère n'est pas inscriptible.

Jamo pense qu'il l'est car le théorème de Ptolémée dit qu'un quadrilatère est inscriptible si et seulement si le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés et on a bien 40.41 = 20.31 + 30.34 = 1640.
Il le prouve en image.
Et calcule le rayon, par une formule dérivée de Brahmagupta : soit environ 20,616.

Plumemeteore calcule le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD, qui est aussi celui du quadrilatère, par une formule dérivée de Héron et trouve soit environ 20,656.

Chacun a de vous est entre la vérité et l'erreur.

Mais qui résoudra le mystère du rayon mystérieux ?

Bonne recherche

Cordialement
Frenicle

Je viens de faire une figure un peu plus précise ...

Résultat : le point B n'appartient pas au cercle circoncrit au triangle ADC !

jamo, J-P >

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Conclusion ?

Re bonjour,

Avec ce que j' ai lu, je ne vois qu' une solution:

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Pour construire le quadrilatère ABCD, 5 données suffisent. Par exemple AB, AD, BD, BC, et CD;
il y en a une 6ème qui n' est pas compatible avec les 5 autres: ici à un chouya près si l' on considère comme bonnes les 5 autres données. Frenicle, je lui pardonne, nous a donné des mesures trafiquées...

bonjour à tous
que doit-on penser du th de Ptolémée

Re,

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Le théorème de Ptolémée est tout à fait juste bien sûr, mais il utilise 6 données (2 diagonales et 4 côtés) alors que 5 suffisent à construire la figure. La sixième de notre énigme est une donnée redondante .... et fausse.

stone :

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tu veux dire qu'on ne peut pas construire de quadrilatère, inscriptible ou non, avec ces données ?

Lafol:

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exactement; pour confirmation, je vais calculer la diagonale AC à partir des 5 autres données

La(passi)fol:

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On tombe sur AC=39.99988782.... et pas 40. En tout cas les données sont bien trouvées: pas facile d' avoir des entiers avec une telle approximation...

Everybody >>

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Ok, je comprends mieux !! Car j'avais réussi à tracer le quadrilatère sur un logiciel de DAO, donc avec beaucoup de précision, et pas moyen de l'inscrire dans un cercle alors que Ptolémée me hurlait "Mais si, il est inscriptible !!" Je commencais à douter de lui, je cherchais si une des hypothéses d'utilisation de ce théorème n'était pas vérifiée ...

Conclusion : problème interéssant ! Il vient d'ou ?

Bonjour,

Un grand bravo collectif

En effet, le quadrilatère indiqué n'existe pas ! (contrairement à l'Île )

S'il existait, il serait à la fois inscriptible (d'après Ptolémée) et non inscriptible puisque les cercles circonscrits aux triangles ABC, ABD, ACD et BCD ont des rayons différents.

Le théorème de Ptolémée s'applique aux quadrilatères qui existent, et pas à ceux qui n'existent pas !

Un quadrilatère inscriptible qui aurait pour côtés a = 20, b = 30, c = 31, d = 34 aurait pour diagonales :
et , c'est-à-dire 41,0465574... (et non 41) et 39,95462966... (et non 40).

Jamo>> C'est moi qui ai inventé ce problème tout seul, il y a quelques années. En fait, ce n'est pas si dur de trouver des longueurs très proches d'entiers avec un ordinateur et les formules ci-dessus pour les diagonales, une fois qu'on a l'idée du problème.


Merci à tous pour votre participation.

Cordialement
Frenicle

superbe !

après la "galerie inexplicable" de Rouletabille, "le quadrilatère impossible" de Frenicle ! où "le bon bout de la raison" l'emporte toujours.

Merci.