Bonjour,

Je vous livre la démonstration d'un théorème peu connu, mais pourtant fort utile pour simplifier des sommes de racines carrées. (je n'ai pas l'habitude de "LaTeXer" sur ce site, alors j'éspère que cela sera assez "joli").
Cela évitera de mentir à nos élèves quand on leur annonce qu'on ne peut pas simplifier une telle somme ...




Soit un triangle , et sa hauteur issue de . Soit et . (voir figure ci-dessous)

On considère le segment [ED] parallèle à [FC] qui partage le triangle ABC en deux parties de même aire.

Soit , et .

On a : , ce qui peut s'écrire : (*)

Mais le triangle AED est semblable au triangle AFC. D'où : , d'où .

En reportant dans (*), il vient : , d'où l'on tire : .

Or joue par rapport à le même rôle que par rapport à , d'où, de la même manière : .

En additionnant les deux résultats précédents, il vient :

.

Or d'où : .

En divisant les deux membres par on obtient .

Il ne reste plus qu'à poser et pour obtenir : .

Conclusion : on a démontré que : .


Question : Je vous laisse trouver la question, et je vous laisse le soin d'y répondre ...

Merci de répondre en "blanké".