bonsoir frenicle

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je dirais bien que le rapport grande aire/petite aire vaut 4/3

bonjour Frenicle

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le rayon de l'hexagone intérieur est l'apothème de l'hexagone intérieur
l'apothème d'un hexagone régulier est la hauteur du triangle équilatéral de côté égal au rayon
aire hexagone intérieur / aire hexagone extérieur = (V3/2)²  3/4

Bonjour Frenicle

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Je coupe les hexagones en 6 triangles équilatéraux. Les intérieurs et les extérieurs sont "en situation Thalès". Dans les triangles intérieurs, le côté vaut le rayon du cercle, alors que dans les triangles extérieurs, c'est la hauteur qui vaut le rayon du cercle. Le rapport des aires est le carré des rapports des côtés. Le rapport petit/grand est donc 3/4.

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d'accord, JE ne calcule rien, mais d'autres avant moi ont calculé la hauteur d'un triangle équilatéral....

Bonjour à tous,

Petite précision, quand je dis sans calcul, c'est en fait sans calcul faisant intervenir des racines carrées, genre .
J'attends plutôt une solution géométrique donnant pour ainsi dire "visuellement" le rapport cherché.


Cordialement
Frenicle

Et si on généralisait en fonction du nombre de côtés ?

bonjour Frenic

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redessinons l'hxagone extérieur de sorte que ses points de tangente soient les sommets de l'hexagone intérieur
le quadrilatère formé par deux rayons conhsécutifs de l'hexagone intérieur et de deux demi-côtés consécutifs de l'hexagone extérieur est le sicième de la figure.
Dans ce quadrilatère, partageons le triangle équilatéral appartenant à l'hexagone intérieur en trois autres triangles, en joignant son centre à ses trois sommets.
ces trois triangles sont égaux entre eux et aussi au quatrième mprceau du quadrilatère (un côté égal adjacent à deyux angles de 30 degrés)
en faisant de même aux autres sixièmes de la figure, on la partage en vingt-quatre triangles égaux, dont dix-huti appartiennent à l'hexagone intérieur
le rapport des aires est donc 18/24 = 3/4

rebonjour Frenicle
mes excuses : j'avais écrit Frenic au iieu de Frenicle

frenicle : c'est peut-être une idée, mais je pense que ceci : [expresso]_JFF_Charade_74te concerne

Bonsoir à tous,

Bravo à Plumemeteore.
Voici la preuve en image, comme ils disent à la télé :



Le petit hexagone contient 18 triangles identiques, le grand 24, donc le rapport des aires est 18/24 = 3/4.
Dans ma figure initiale, les deux hexagones étaient disposés différemment, juste pour ne pas vous mettre sur la voie

Merci à tous d'avoir participé !

> lafol
Ah oui en effet, ça se pourrait bien

Cordialement
Frenicle