JFF : Les nombres chapeautés :*: - Forum mathématiques énigmes - 134495

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JFF : Les nombres chapeautés 
Posté par 
jamo   22-04-07 à 17:34
Bonjour,

Une petite énigme accessible à (presque) tous ...

Soit N un entier naturel strictement inférieur à 1000 (donc compris entre 0 et 999).

On dit qu'un nombre est "chapeauté" si le chiffre des dizaines est strictement plus grand que les deux autres. Ainsi, 354 est chapeauté, mais 555, 345, 972 ou 8 ne le sont pas.

Question : On choisit un nombre N au hasard entre 0 et 999. Quelle est la probabilité pour qu'il soit chapeauté ?

Répondre en blanké. Si possible, démontrer le résultat, et sans utiliser l'informatique.

Et pour illustrer l'énigme : des chiffres avec des chapeaux, pour ceux qui auraient pensé que les nombres chapeautés n'existe pas ! 

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Skopsre : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 17:43
Salut jamo 

Pas de 5 ?

Skops 
 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 17:46
Bonjour Skops,

Peut-etre que le monsieur n'est pas assez souple pour faire le 5 
 Posté par 
Skopsre : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 17:57
Possible 

Skops 
 Posté par 
smilre : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 18:58
bonsoir à tous

Sympa, ta JFF

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je trouve 57/200, mais je ne donne pas la démonstration, pour laisser chercher les autres, même ceux qui lisent les blanqués !!
 Posté par 
mikayaoure : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 19:31
bonjour jamo

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je trouve (1²+2²+3²+...+7²+8²+9²)/1000 ? 

 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 19:38
Smil >> 
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C'est bon !!

mikayaou >>  Cliquez pour afficher
C'est bon aussi !!!
 Posté par 
borneore : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 21:17
Joli  

Je vais chercher.
 Posté par 
borneore : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 21:18
Oups, je n'avais pas lu ça :

Citation :
Répondre en blanké. Si possible, démontrer le résultat, et sans utiliser l'informatique.

Sans excel, je suis perdue  
 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 21:21
Citation :
Sans excel, je suis perdue  

Nan, sérieux, en réfléchissant, c'est pas si compliqué ...
 Posté par 
borneore : JFF : Les nombres chapeautés   22-04-07 à 22:46
Bon, je l'ai fait à la main

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Si on accepte par exemple 010  ou 021 alors il y en a 285/1000 et sinon il y en a 240/1000

 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   23-04-07 à 05:21
borneo >> 
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d'après l'énoncé, il faut accepter les nombres tels que 010 ou 021 ...
 Posté par 
Skopsre : JFF : Les nombres chapeautés   23-04-07 à 07:17
J'y réfléchis 

Skops 
 Posté par 
borneore : JFF : Les nombres chapeautés   23-04-07 à 07:35
Bonjour Skops. Si j'ai trouvé, tu n'auras aucun mal  

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Ma réponse : 28,5 %

Merci pour cette JFF
 Posté par 
chaudrackre : JFF : Les nombres chapeautés   23-04-07 à 08:44
bonjour!

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Ma réponse 28.5%

@ plus, Chaudrack
 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   23-04-07 à 11:59
borneo >> 
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c'est bon !!

Chaudrack >>  Cliquez pour afficher
c'est bon !!
 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   09-05-07 à 08:06
Bonjour,

en effet, il y a 285 nombres "chapeautés".

Un test sur tous les nombres de 0 à 999 par exemple sur un tableau permet d'aboutir à ce nombre très facilement.

Sinon, voici comment procéder par exemple, en raisonnant sur le chiffre des dizaines :

Si le chiffres des dizaines est égal à :

* 0 : aucune possibilité pour les unités et centaines ==> 0

* 1 : les chiffres des unités et centaines peuvent prendre une seule valeur chacun : 0 ==> 1

* 2 : les chiffres des unités et centaines peuvent prendre deux valeurs chacun : 0 ou 1 ==> 2*2 = 2² = 4

* 3 : les chiffres des unités et centaines peuvent prendre trois valeurs chacun : 0, 1 ou 2 ==> 3*3 = 3² = 9

...

* 9 : les chiffres des unités et centaines peuvent prendre neuf valeurs chacun : de 0 à 8 ==> 9*9 = 9² = 81

Au total, il y a donc :

N = 1² + 2² + 3² + ... + 9²

Or : 1+2²+3²+...+n² = n*(n+1)*(2n+1)/6

Donc : N = 9*10*19/6 = 285

Voilà donc un petit exercice sympa pour aborder les dénombrements en classe ...
 Posté par 
mikayaoure : JFF : Les nombres chapeautés   09-05-07 à 08:08
Chapeau jamo !

tu l'as donnée à tes élèves, celle-ci ?

 Posté par 
jamo re : JFF : Les nombres chapeautés   09-05-07 à 08:16
Bonjour mikayaou,

non, pas encore, mais un jour peut-etre ... quand on est un peu préssé par les programmes, il est difficile de s'amuser un peu avec ce genre d'exercices ...
 Posté par 
borneore : JFF : Les nombres chapeautés   09-05-07 à 09:23
Bonjour,

je retiens l'idée pour mes CE1, un jour de neige, pour les calmer et les occuper...

ça vaut bien l'activité où on groupe des milliers de trombonnes par chaînette de 10, enveloppes de 10 chaînettes et boites de 10 enveloppes  
  Posté par 
plumemeteorere : JFF : Les nombres chapeautés   09-05-07 à 14:36
bonjour

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aux trois chiffres différents : 10*9*8/3 = 240

avec deux chiffres différents : il y a 9*10 = 90 combinaisons, sans tenir compte de l'ordre; on peut regrouper ces combinaisons par groupes de deux, où les chiffres de chacune sont les compléments à 9 de chiffrs de l'autre; dans chaque paire, il y a une combinaison dont le chiffre unique est supérieur au chffres doubles; il y a donc 90/2 = 45 combiaaisons valables

la probabilité est (240+45)/1000 = 0,285

on remarque que 285 est la somme des carrés de 1 à 81