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JFF : les suites...
Bonsoir à tous!
voici quelques énigmes sur les suites que j'aime bien et que je vous propose (en espèrant qu'elles ne soient pas déjà présente sur le site... j'ai vérifié mais bon... 
)
Premier :
Soit g une fonction de l'intervalle [0,1] dans , de classe
, tels que
.
On pose
Que dire de la suite ?
Salut tealc
Cliquez pour afficherje n'ai pas le temps de voir la suite, d'autres vont répondre et je reviendrai demain, mais c'était juste pour signaler une (petite) avancée
Romain
je trouve donc
Cliquez pour afficher Cliquez pour afficherSauf erreurs !
Salut Kaiser : je vais pouvoir vérifier si je dis une bétise
Romain
lyonnais >
Cliquez pour afficherj'attend encore d'autres personnes avant de poster une solution (sauf si Kaiser veut proposer la sienne?)
sauf si Kaiser veut proposer la sienne?
Non, non !
Je te laisse faire ! (c'est ta JFF après tout !
)Non, non !
Je te laisse faire ! (c'est ta JFF après tout ! )
C'est sympa ces petites JFF, vu qu'il n'y a pas beaucoup de mondes, ça occupe
:D
Romain
Bon voici la solution (raccourci tout de même)
l'idée comme signalée par kaiser et lyonnais et d'utiliser le fait que est de classe
pour faire une double intégrations par partie, en dérivant
puis
, et en intégrant
puis
.
On obtiens, en utilisant le résultat de lyonnais :
Ensuite, est continue sur le compact
donc bornée :
pour tout t dans [0,1].
D'où
et on déduit :
sauf erreur
Ok tealc merci
Juste une question. Est-ce que l'on pouvait aussi dire :
g" est continue sur le segment [0,1], donc il existe m et M tq :
pout tout t dans [0,1] , m 
g(t) M
??
On a aussi vu la définition que tu as donnée (avec le compact), mais je voudrais savoir si c'est correct de mettre ce que j'ai mis ... (même s'il n'y a pas une grande différence)
Merci
Oui lyonnais cet methode marchait aussi et on utilise ensuite le théorème des gendarmes...
Deuxième :
Soit f une application continue sur .
On suppose que pour tout n :
Prouver que f est identiquement nulle.
Salut tealc
J'ai essayé, mais je ne dois pas connaître la méthode à utiliser ...
Voici ce que j'ai essayé
Cliquez pour afficher Cliquez pour afficherje ne sais pas si ça peut servir à quelque chose ...
Romain
Je me demandais si une démonstration alternative via les transformées de Fourier n'était pas possible.
Je me demdandais également si on ne pouvait pas changer l'hypothèse continue en mesurable, et avoir la conclusion presque partout (via le théorème de Lusin peut être)
Solution : l'idée est donc d'utiliser le théorème de Stone - Weierstrass : f est continue sur un compact, donc limite uniforme de polynome, suite que l'on note .
Constatons que la condition donnée sur les intégrales est équivalente à
pour tout polynôme.
On déduit donc .
Constatons que, puisque l'on intégre sur un segment et que les fonctions sont continues, on peut passer à la limite et on obtient :
La fonction est donc continue et d'intégrale nulle sur
: elle est donc identiquement nulle et on déduit
.
Quelques questions :
otto > j'ai un problème pour généraliser aux fonctions mesurables, car ici ca marche puisque on approche par des polynomes. Avec le théorème de lusin, on aura une suite de fonction continues qui tend presque partout vers f, mais comment prouver que
pour tout n? si tu as une idée...
otto > (encore!) comme conclu tu si on suppose le resultat pour ?
je posterai un autre exo un peu plus tard...
Bonjour
tealc>
Si l'on se restreint à n>0, l'énoncé indique que l'on a pour tout polynôme P s'annulant en 0.
Ensuite, on peut montrer que toute fonction f continue sur [0,1] peut être approchée uniformément par une suite de polynôme s'annulant en 0 (il suffit pour cela de considérer une suite convergeant uniformément vers f et de prendre la suite
définie par
).
On a donc pour toute fonction g continue sur [0,1] et s'annulant en 0 .
En particulier, on a et on conclut.
Kaiser
Je t'en prie 
Je voudrais signaler un oubli de ma part
Ensuite, on peut montrer que toute fonction f continue sur [0,1] et s'annulant en 0...
Kaiser
otto > j'ai un problème pour généraliser aux fonctions mesurables, car ici ca marche puisque on approche par des polynomes. Avec le théorème de lusin, on aura une suite de fonction continues qui tend presque partout vers f, mais comment prouver que pour tout n? si tu as une idée...
Aucune idée, je n'ai pas essayé, et j'ai bien conscience de ce problème. Je n'ai fait que lancer l'idée, je ne dis pas que ca marche
Mais une chose est sure, la conclusion ne serait pas "f est nulle", mais "f est nulle presque partout" si jamais on voulait faire un parralèle.
a+
Bon apparemment, personne n'a vu ma nouvelle JFF... donc je reposte :
Troisième :
Soit :
vérifiant :
pour tout n,
QUe dire de la suite u?
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