Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

JFF limite (2) ... *

Posté par
lyonnais
31-07-06 à 10:26

Bonjour à tous

Nouvelle JFF, mais cette fois-ci, sur les conseils de Nightmare, je laisserai plus de temps avant de la clôturer.

JFF limite en 0 :

Soit  :   5$\rm g(x) = \frac{2tan(x)-tan(2x)}{(1-cos(3x))(\sqrt{1+x}-1)}     Déterminez     5$\rm \lim_{x\to 0} g(x)

JFF limite en +\infty :

Soit  :   5$\rm f(x) = x^2e^{\frac{1}{x}}-\sqrt[3]{x^6+3x^5+x^4}    Déterminez     5$\rm \lim_{x\to +\infty} f(x)

PS : répondez en blanké

Bonne chance

Posté par
Nightmare
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 11:32

Bonjour

 Cliquez pour afficher

Posté par
Nightmare
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 11:38

 Cliquez pour afficher


Posté par
lyonnais
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 11:40

Nightmare >

 Cliquez pour afficher


Quelqu'un d'autre ?

Posté par
kaiser Moderateur
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 13:17

Bonjour

 Cliquez pour afficher


Kaiser

Posté par
kaiser Moderateur
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 14:38

Citation :
 Cliquez pour afficher

 Cliquez pour afficher


 Cliquez pour afficher

Posté par
lyonnais
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 20:02

 Cliquez pour afficher


 Cliquez pour afficher

Posté par
kaiser Moderateur
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 20:09

Posté par
lyonnais
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 20:11

kaiser >

 Cliquez pour afficher

Posté par
geo3
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 20:58

Bonjour

 Cliquez pour afficher

A+

Posté par
kaiser Moderateur
re : JFF limite (2) ... * 31-07-06 à 22:30

 Cliquez pour afficher

Posté par
lyonnais
re : JFF limite (2) ... * 02-08-06 à 12:57

D'abord merci à tous les participants :D

Passons à la correction.

JFF limite en 0 : (tous les équivalents sont effectués en 0)

On a :   5$\rm g(x) = \frac{2tan(x)-tan(2x)}{(1-cos(3x))(\sqrt{1+x}-1)}

Méthode : on cherche un équivalent de chaque facteur !

Numérateur :

4$\rm tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)

4$\rm tan(2x) = 2x + \frac{8x^3}{3} + o(x^3)

soit :

4$\rm 2tan(x)-tan(2x) = -2x^3 + o(x^3)

d'où :

4$\rm \blue 2tan(x)-tan(2x)  ~  4$\rm \blue -2x^3

Dénominateur :

4$\rm cos(3x) = 1 - \frac{9x^2}{2} + o(x^2)
4$\rm 1-cos(3x) = \frac{9x^2}{2} + o(x^2)

d'où :    4$\rm \red 1-cos(3x)  ~  4$\rm \red \frac{9x^2}{2}

4$\rm \sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} + o(x)
4$\rm \sqrt{1+x}-1 = \frac{x}{2} + o(x)

d'où :    4$\rm \green sqrt{1+x}-1  ~  4$\rm \green \frac{x}{2}

Bilan :

5$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{-2x^3}{\frac{9x^2}{2}.\frac{x}{2}}  ~  5$\rm -\frac{8}{9}

d'où :  6$\rm \fbox{\lim_{x\to 0} f(x) = -\frac{8}{9}}


JFF limite en +\infty :

5$\rm f(x) = x^2e^{\frac{1}{x}}-\sqrt[3]{x^6+3x^5+x^4}

On  x = 1/u   et  on cherche   5$\rm \lim_{x\to 0^+} f(\frac{1}{u})

5$\rm f(\frac{1}{u}) = g(u) = \frac{e^{u}}{u^2}-\sqrt[3]{\frac{1}{u^6}+\frac{3}{u^5}+\frac{1}{u^4}} = \frac{1}{u^2}(e^{u}-\sqrt[3]{1+3u+u^2})

1ère étape :

DL2(0)  ,   4$\rm e^{u} = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)

DL2(0)  ,    4$\rm (1+x)^{1/3} = 1 + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{9} + o(x^2)

En posant  h(x) = (1+x)1/3    k(u) = 3u+u²   on a  k(0) = 0

En composant, on obtient :  

4$\rm \sqrt[3]{1+3u+u^2} = 1 + u - \frac{2u^2}{3} + o(u^2)

et

4$\rm e^{u} - \sqrt[3]{1+3u+u^2} = \frac{7u^2}{6} + o(u^2)

d'où :   4$\rm \magenta e^{u} - \sqrt[3]{1+3u+u^2}  ~  4$\rm \magenta \frac{7u^2}{6}

Alors :

5$\rm g(u)  ~  5$\rm \frac{\frac{7u^2}{6}}{u^2}  ~  5$\rm \frac{7}{6}

d'où :  6$\rm \fbox{\lim_{u\to 0^+} g(u) = \lim_{x\to +\infty} f(x) = \frac{7}{6}}

Voili voilou :D

(aux erreurs de frappe près)

Romain

Posté par
kaiser Moderateur
re : JFF limite (2) ... * 02-08-06 à 13:04

Salut Lyonnais

Bon, la prochaine fois, je vérifierais mes calculs 3 fois (voire plus) !

Kaiser

Posté par
lyonnais
re : JFF limite (2) ... * 02-08-06 à 13:12

c'est le risque avec le LaTeX  

Mais merci d'avoir participé !

Posté par
lyonnais
re : JFF limite (2) ... * 02-08-06 à 13:13

oups je voulais dire c'est le risque avec les Dl

Posté par
kaiser Moderateur
re : JFF limite (2) ... * 02-08-06 à 13:21



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !