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JFF limite ... **

Posté par
lyonnais 30-07-06 à 11:16

Bonjour à tous

Je vous propose cette JFF :

JFF limite

Déterminer la limite suivante, en discutant selon les valeurs des constantes réels  5$\rm \alpha   ,  5$\rm \beta  ,  5$\rm \gamma  ,  5$\rm \delta  

6$\rm \fbox{\lim_{x\to +\infty} \sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}-\delta x\sqrt{x+2}

PS : répondez en blanké si possible

Bonne chance

Posté par
Nightmarere : JFF limite ... ** 30-07-06 à 12:39

Salut lyonnais

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Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : JFF limite ... 30-07-06 à 15:27

Bonjour;
Je crois qu'il reste quand même d'autres cas à discuter:
(*)Si \white\fbox{\fbox{\delta\le0}} c'est immédiat la limite est \white+\infty+\infty=+\infty.
Sinon pour x assez grand on peut écrire:
\white3$\fbox{sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}-\delta x\sqrt{x+2}=\frac{(1-\delta^2)x^3+(\alpha-2\delta^2)x^2+\beta x+\gamma}{sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}+\delta x\sqrt{x+2}}}
remarquer que le dénominateur est équivalent en +\infty à \white(1+\delta)x\sqrt x d'où,
(*)Si \white\fbox{\fbox{0<\delta<1}} la limite est \white+\infty.
(*)Si \white\fbox{\fbox{1<\delta}} la limite est \white-\infty.
(*)Si \white\fbox{\fbox{\delta=1\\\alpha<2}} la limite est \white-\infty.
(*)Si \white\fbox{\fbox{\delta=1\\\alpha>2}} la limite est \white+\infty.
(*)Si \white\fbox{\fbox{\delta=1\\\alpha=2}} la limite est \white nulle. (sauf erreurs bien entendu)

Posté par
lyonnaisre : JFF limite ... ** 30-07-06 à 20:05

elhor_abdelali >

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Posté par
lyonnaisre : JFF limite ... ** 30-07-06 à 20:10

Je donne la réponse dans la soirée, donc si quelqu'un veut encore participer ...

Posté par
lyonnaisre : JFF limite ... ** 30-07-06 à 21:22

Passons à la correction

JFF limite :

Posons :  6$\rm \fbox{f(x) = \sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}-\delta x\sqrt{x+2}

1ère étape :

4$\rm \magenta \delta \le 0   alors de façon évidente :  4$\rm \magenta \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}

2ème étape :

4$\rm \magenta \delta > 0

5$\rm f(x) = \sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}-\delta x\sqrt{x+2}=\frac{(1-\delta^2)x^3+(\alpha-2\delta^2)x^2+\beta x+\gamma}{sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}+\delta x\sqrt{x+2}} = \frac{N(x)}{D(x)}

    - équivalent de D(x) en l'infini.

4$\rm D(x) = \sqrt{x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma}+\delta x\sqrt{x+2} = \sqrt{x^3}(\sqrt{1+\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x^2}+\frac{\gamma}{x^3}}+\delta\sqrt{1+\frac{2}{x}})

Or  4$\rm \lim_{x\to +\infty} \sqrt{1+\frac{\alpha}{x}+\frac{\beta}{x^2}+\frac{\gamma}{x^3}}+\delta\sqrt{1+\frac{2}{x}} = 1+\delta

d'où :

4$\rm \blue D(x)  ~  4$\rm \blue (1+\delta)x\sqrt{x}

Et finalement :

5$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{(1-\delta^2)x^3+(\alpha-2\delta^2)x^2+\beta x+\gamma}{(1+\delta)x\sqrt{x}}

3ème étape : (en l'infini)

4$\rm \magenta \delta \neq 1  ,   4$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{(1-\delta^2)x^3}{(1+\delta)x\sqrt{x}}  ~  5$\rm (1-\delta)x\sqrt{x}

                  4$\rm \red \delta > 1  ,   4$\rm \red \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty}

                  4$\rm \red 0\le \delta < 1  ,   4$\rm \red \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}


4$\rm \magenta \delta = 1  ,   4$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{(\alpha-2)x^2+\beta x+\gamma}{2x\sqrt{x}}  

                  4$\rm \green \alpha > 2  ,  4$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{x^2(\alpha-2)}{2x\sqrt{x}}  ~  5$\rm \frac{(\alpha-2)\sqrt{x}}{2}  ,  4$\rm \green \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty}

                  4$\rm \green \alpha < 2  ,  4$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{x^2(\alpha-2)}{2x\sqrt{x}}  ~  5$\rm \frac{(\alpha-2)\sqrt{x}}{2}  ,  4$\rm \green \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty}

                  4$\rm \green \alpha = 2  ,  4$\rm f(x)  ~  5$\rm \frac{\beta x+\gamma}{2x\sqrt{x}} = \frac{\beta}{2\sqrt{x}}+\frac{\gamma}{2x\sqrt{x}}  ,  4$\rm \green \fbox{\lim_{x\to +\infty} f(x) = 0

Aux erreurs de frappes près :D

Félicitations à Jord et elhor  

Romain

Posté par
Nightmarere : JFF limite ... ** 30-07-06 à 22:07

Utiliser des équivalents est une méthode bourrine. La bonne vieille méthode de la quantité conjuguée marche très bien ici

(lyonnais, tu devrais laisser plus de temps sans correction tes JFF )

Posté par
infophilere : JFF limite ... ** 30-07-06 à 22:42

Citation :
(lyonnais, tu devrais laisser plus de temps sans correction tes JFF )


S'il joint la correction si tôt c'est probablement pour jouer avec le LateX

Kévin

Posté par
lyonnaisre : JFF limite ... ** 31-07-06 à 09:54

Citation :
(lyonnais, tu devrais laisser plus de temps sans correction tes JFF )

j'y penserais la prochaine fois

Kevin :

Romain


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