salut
"travaillant" sur les entiers de Gauss j'en suis venu au problème suivant :
on sait que le quotient de deux entiers de Gauss est un "rationnel de Gauss" (et on sait quand ce quotient est entier de Gauss) ... mais :
existe-t-il deux entiers de Gauss non triviaux (= non imaginaires purs ni réels) x et y tels que ?
ou encore résoudre l'équation dans l'ensemble des entiers de Gauss ...
have some fun
en d'autres termes (plus général) l'application est-elle surjective ?
PS : si on montre aisément que c et d sont multiples de 5 (règle fondamentale des fractions et stabilité de Z[i] par somme et produit donc on peut supposer c et d premiers entre eux (avec bien sûr) ...
PPS : inutile de blanker ...
Salut à tous les deux
Une petite généralisation facile à la réponse de Verdurin , si avec y entier comme c'est le cas ici car y=5 , alors si cet entier est un produit d'entiers de Gauss , le problème est réglé .
Imod
bravo à vous messieurs !!
mais que suis-je bête ...
j'étais parti sur la même idée que Imod mais comme un c... j'avais laissé a + ib au numérateur !!!
en ayant bien vu que 5 est un module ...
et en fait cela ouvre des perspectives : si le dénominateur n'est pas somme de deux carrés alors c'est fini ...
merci encore
Bonjour carpediem,
je n'ai peut-être pas bien compris la question mais un "rationnel de Gauss" peut s'écrire avec entiers. On peut alors multiplier numérateur et dénominateur par quand pour obtenir : .
Si on multiplie par .
Remarque : verdurin a multiplié par
salut jandri :
oui je me suis précipité dans des calculs ... sans réfléchir à fond ...
en fait je suis bête !!!
on peut même multiplier par n'importe quel nombre complexe x + iy finalement ...
mais finalement je voudrais ensuite avoir/arriver au résultat suivant : avec X et Y premier entre eux (ou même en partant avec x et y premiers entre eux mais qu'on puisse alors simplifier par c)
Imod nous montre dans mon cas particulier que c'est possible mais est-ce toujours possible ?
et même question annexe : tout entier naturel est-il un produit d'entier de Gauss ?
merci encore et par avance
Attention , il y a une erreur dans mon égalité : . En fait la décomposition ne présente aucun intérêt , il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par un "vrai" complexe comme l'a fait jandri .
Les entiers premiers décomposables comme un produit de deux entiers de Gauss sont ceux qui peuvent s'écrire comme une somme de deux carrés non nuls .
Imod
Je suis tombé par hasard sur ce résultat que je ne connaissais pas :
Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k+3 est à une puissance paire .
C'est hyper-simple comme critère .
Imod
Bonjour carpediem,
je réponds à tes questions du 10-10-20 à 19:45
Tu cherches à écrire avec non nuls et premiers entre eux (on suppose non nuls et ).
Si l'égalité est vérifiée, un petit calcul montre que et d'où l'on déduit que divise (ce qui impose que n'a pas de diviseur premier de la forme ).
Réciproquement si , on a qui peut se simplifier en avec premiers entre eux, car le pgcd de et est premier avec donc il divise .
On peut ensuite multiplier numérateur et dénominateur par un bien choisi (pour que le numérateur ne soit pas un réel).
Pour ta deuxième question, "tout entier naturel est-il un produit d'entiers de Gauss ?", je suppose que tu sous-entends entiers de Gauss non réels et non imaginaires purs.
C'est possible si et seulement si possède au moins un diviseur premier égal à ou de la forme .
Par exemple, mais ce n'est pas possible pour
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