Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

JFF : nombres complexes

Posté par
carpediem
10-10-20 à 13:29

salut

"travaillant" sur les entiers de Gauss j'en suis venu au problème suivant :

on sait que le quotient de deux entiers de Gauss est un "rationnel de Gauss" (et on sait quand ce quotient est entier de Gauss) ... mais :

existe-t-il deux entiers de Gauss non triviaux (= non imaginaires purs ni réels) x et y tels que \dfrac x y = \dfrac 1 5(2 + 3i) ?

ou encore résoudre l'équation 5x = (2 + 3i)y dans l'ensemble des entiers de Gauss ...

have some fun

en d'autres termes (plus général) l'application f : \begin{matrix} (\Z[i] - \Z - iZ) \times (\Z[i] - \Z - i\Z)^* & \to & \Q[i] - \Z - i\Z \\ (x, y) & \mapsto & \dfrac x y \end{matrix} est-elle surjective ?


PS : si \dfrac {a + ib} {c + id} = \dfrac {2 + 3i} 5 on montre aisément que c et d sont multiples de 5 (règle fondamentale des fractions et stabilité de Z[i] par somme et produit donc on peut supposer c et d premiers entre eux  (avec cd \ne 0 bien sûr) ...




PPS : inutile de blanker ...

Posté par
verdurin
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 18:33

Salut carpediem.
Pour la première question on a   \dfrac{13+13i}{25-5i}=\dfrac{2+3i}5

Posté par
Imod
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 19:03

Salut à tous les deux

Une petite généralisation facile à la réponse de Verdurin , si \frac xy avec y entier comme c'est le cas ici car y=5 , alors si cet entier est un produit d'entiers de Gauss , le problème est réglé .

\frac xy=\frac{2+3i}5=\frac{2+3i}{(2+i)(2-i)}=\frac{(2+3i)(2+i)}{2-i}
  
Imod

Posté par
carpediem
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 19:23

bravo à vous messieurs !!

mais que suis-je bête ...
j'étais parti sur la même idée que Imod mais comme un c... j'avais laissé a + ib au numérateur !!!

en ayant bien vu que 5 est un module ...

et en fait cela ouvre des perspectives : si le dénominateur n'est pas somme de deux carrés alors c'est fini ...

merci encore

Posté par
jandri Correcteur
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 19:30

Bonjour carpediem,

je n'ai peut-être pas bien compris la question mais un "rationnel de Gauss" peut s'écrire \dfrac{a+ib}c avec a,b,c entiers. On peut alors multiplier numérateur et dénominateur par 1+i quand a\neq\pm b pour obtenir : \dfrac{a+ib}c=\dfrac{a-b+i(a+b)}{c+ic}.
Si a=\pm b on multiplie c par 2+i.

Remarque : verdurin a multiplié par 5-i

Posté par
carpediem
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 19:45

salut jandri :

oui je me suis précipité dans des calculs ... sans réfléchir à fond ...

en fait je suis bête !!!

on peut même  multiplier par n'importe quel nombre complexe x + iy finalement ...


mais finalement je voudrais ensuite avoir/arriver au résultat suivant : \dfrac {a + ib} c = \dfrac {(a + ib)(x + iy)} {c(x + iy)} = \dfrac {A + iB} {X + iY} avec X et Y premier entre eux (ou même en partant avec x et y premiers entre eux mais qu'on puisse alors simplifier par c)

Imod nous montre dans mon cas particulier que c'est possible mais est-ce toujours possible ?

et même question annexe : tout entier naturel est-il un produit d'entier de Gauss ?

merci encore et par avance

Posté par
verdurin
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 20:10

Il y a des entiers de Gauss premiers et de partie imaginaire nulle.
Par exemple 7.

Posté par
carpediem
re : JFF : nombres complexes 10-10-20 à 22:02

verdurin : je parle de X et Y premiers entre eux dans numérateur X + iY (et X et Y non nuls) ...

Posté par
Imod
re : JFF : nombres complexes 11-10-20 à 11:18

Attention , il y a une erreur dans mon égalité : \frac{2+3i}5=\frac{2+3i}{(2+i)(2-i)}=\frac{(2+3i)(2+i)}{5(2+i)} . En fait la décomposition ne présente aucun intérêt  , il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par un "vrai" complexe comme l'a fait jandri .

Les entiers premiers décomposables comme un produit de deux entiers de Gauss sont ceux qui peuvent s'écrire comme une somme de deux carrés non nuls .

Imod

Posté par
Imod
re : JFF : nombres complexes 11-10-20 à 13:01

Je suis tombé par hasard sur ce résultat que je ne connaissais pas :

Un entier est somme de deux carrés si et seulement si chacun de ses facteurs premiers de la forme 4k+3 est à une puissance paire .

C'est hyper-simple comme critère .

Imod

Posté par
carpediem
re : JFF : nombres complexes 11-10-20 à 13:05

effectivement c'est un classique ... que j'avais oublié !!

Posté par
jandri Correcteur
re : JFF : nombres complexes 11-10-20 à 16:19

Bonjour carpediem,

je réponds à tes questions du 10-10-20 à 19:45

Tu cherches à écrire  \dfrac {a + ib} c =  \dfrac {A + iB} {X + iY} avec X,Y non nuls et premiers entre eux (on suppose a,b,c non nuls et pgcd(a,b,c)=1).

Si l'égalité est vérifiée, un petit calcul montre que (a^2+b^2)X=c(aA+bB) et (a^2+b^2)Y=c(aB-bA) d'où l'on déduit que c divise a^2+b^2 (ce qui impose que c n'a pas de diviseur premier de la forme 4k+3).

Réciproquement si a^2+b^2=cd, on a  \dfrac {a + ib} c =  \dfrac {a^2+b^2} {c(a-b i)}=\dfrac {d} {a-b i} qui peut se simplifier en \dfrac{d'} {X-Y i} avec X,Y premiers entre eux, car le pgcd de a et b est premier avec c donc il divise d.
On peut ensuite multiplier numérateur et dénominateur par un k+i bien choisi (pour que le numérateur ne soit pas un réel).

Pour ta deuxième question, "tout entier naturel N est-il un produit d'entiers de Gauss ?", je suppose que tu sous-entends entiers de Gauss non réels et non imaginaires purs.
C'est possible si et seulement si N possède au moins un diviseur premier égal à 2 ou de la forme 4k+1.

Par exemple, 6=(1-i)(3+3i) mais ce n'est pas possible pour 1,3,7,9,11,19,21...

Posté par
carpediem
re : JFF : nombres complexes 11-10-20 à 16:59



merci beaucoup jandri

Posté par
Imod
re : JFF : nombres complexes 11-10-20 à 17:53

Il sont vraiment amusants ces petits critères et ils sont à la source de nombreuses énigmes . Malheureusement on les oublie aussi vite qu'on les a vus .

Imod

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !