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Niveau énigmes
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JFF * ou ** le match de rugby

Posté par
borneo
24-03-06 à 10:19

Il y a quelques années, à chaque fin de trimestre, les profs et les élèves du lycée Ribeaupierre faisaient un match amical () de rugby. A cette époque, l'essai valait 4 points et la pénalité 3 points.

Un jour, les élèves ont battu les profs par le score serré de 35 à 34.

Comment a-t-on obtenu ce score ? On indiquera toutes les possibilités.

Cette énigme vaut 1 étoile par la méthode bourin, et 2 étoiles avec un raisonnement. Dans ce cas, postez seulement les équations finales.

Réponses en blanqué, bien sûr. Petit rappel :
on met des balises latex (bouton sous ce cadre LTX)
on écrit \rm    \white entre les balises (ce sont des antislash)
en écrit le texte entre \rm et \white sans mettre d'accents ni de cédilles
pour aller à la ligne on met \\ sinon on a un message d'un mètre de large.
on prévisualise pour éviter les impairs
c'est tout

Bonne journée

Posté par
Youpi
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 12:14

Bonjour Borneo.

Voici ma réponse:
Si on note:

a : Le nombre d'éssais marqués par les élèves
b : Le nombre de pénalité marqués par les élèves
a': Le nombre d'éssais marqués par les profs
b': Le nombre de pénalité marqués par les profs

Voici les équations diophantiennes à résoudre : 3$ \white \rm \fbox{\{4a+3b=35 \\ et \\ 4a^'+3b^'=34}

on trouve donc ensuite les cas possibles 3$ \white \rm \fbox{\{a=2 et b=9 ou a=5 et b=5 ou a=8 et b=1 \\ a^'=1 et b^'=10 ou a^'=4 et b^'=6 ou a^'=7 et b^'=2

soit en tout : 3$ \white \rm 9 possibilites d'obtenir ce score.

Posté par
kiko21
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 12:39

Bonjour borneo,

Est-ce qu'on pouvait tenter la transformation après un essai (soit +2points) pendant ces matchs "amicaux"?
Je pense qu'on ne différenciera pas les drops (+3points) des pénalités.

A+, KiKo21.

P.S. Ah! Le rugby-passion!!


Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 12:40

Bonjour Youpi, pour entretenir le suspense, je ne donne pas les réponses. Je sais qu'il y a des amateurs d'équations diophantiennes sur l'île, je les laisse chercher. Joli latex, en tout cas. Dans le blanké, je n'ai pas encore essayé

J'ai oublié de dire que le capitaine de l'équipe était le prof de maths (que je salue) mais ça ne change rien à l'énigme.

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 12:42

Salut Kiko21, ne m'embrouille pas, j'ai passé une demi-heure sur le net ce matin pour essayer de comprendre les règles du rugby...
J'espère au moins que mon score est crédible.

Posté par
kiko21
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 14:52

Re-bonjour borneo,

c'était du 2nd degré je sais que ça te plait !!

Bon, ma réponse, obtenue à l'ancienne, et postée en blanqué :

\rm essai a 4 points et penalite a 3 points soit 3.4=4.3=12\\12 est l'increment, c'est a dire que quand tu marque 12 points de plus avec 3 essais\\pour compenser 4 penalites ratees d'ou l'interet de marquer des essais\\donc il suffit de demarrer avec une solution evidente\\pour les 35 points, c'est 8 essais et 1 penalite soit 32+3=35\\ensuite, on trouve 32-12=20 soit 5 essais et donc 5 penalites\\et aussi 20-12=8 soit 2 essais et donc 9 penalites\\ \\pour les 34 points, c'est 1 essai et 10 penalites soit 4+30=34\\ensuite, on trouve 4+12=16 soit 4 essais et donc 6 penalites\\et aussi 16+12=28 soit 7 essais et donc 2 penalites \\coclusion : 3.3 = 9 combinaisons pour ce score fleuve !!\white

Quel pied ! .... le Rugby et les Maths !
Pour les règles du rugby, je fais tu soutien, si ça t'intéresse.

A+, KiKo21.

P.S. Dur, dur, le blanqué, j'avais mis des accents partout !!

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 15:43

Bonjour,

Soit x le nombre d essais de la 1ere equipe
Soit x' le nombre d'essais de la 2nde equipe
Soit y le nombre de penalites de la 1ere equipe
Soit y' le nombre de penalites de la 2nde equipe.

On a donc :

4x - 3y = 35

4x' - 3y' = 34

Mais après, je ne sais pas s'il doit s'agir d'un système ? ... Je ne pense pas puisque le résultat d'une équipe ne dépend pas de l'autre, mais bon, on ne sait jamais

J'ai besoin de savoir s'il s'agit ou non d'un système pour les résoudre...

Merci pour l'énigme borneo.

Estelle

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 15:45

Borneo je suis désolée !!! :embaras:

J'ai oublié le blanké ! Je ne m'en suis aperçu qu'après avoir cliqué sur Poster.

Heureusement que je n'ai pas donné les solutions.

Estelle

Posté par
Youpi
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 15:48

C'est pas grave STL parce qu'en plus tu as écrit des bétises (relis bien) ..Je met ça sur le compte de l'étourderie !

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 15:56

Bonjour Youpi,

A cette époque, l'essai valait 4 points et la pénalité 3 points.

Ca veut bien qu'un essai se traduit par +4 et une pénalité par -3 non ?

Ou le problème n'est pas là ?

Estelle

Posté par
Youpi
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:02

Tu n'as peut-être jamais vu un match de Rugby, mais il me semble que lorsqu'on marque une pénalité, on gagne des points au lieu dans perdre.

Je dis ça mais je ne suis pas non plus experte en rugby !

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:10

Effectivement, je n'en ai jamais vu ^^

Donc un essai se traduit par +4 et une pénalité par +3 ?

Merci Youpi.

Donc :

\rm \white Soit x le nombre d essais de la 1ere equipe \\ Soit x' le nombre d'essais de la 2nde equipe \\ Soit y le nombre de penalites de la 1ere equipe \\ Soit y' le nombre de penalites de la 2nde equipe. \\ \\ On a donc : \\ 4x + 3y = 35 \\ 4x' + 3y' = 34 \\ Mais... est-ce un système ?

Estelle

Posté par
Youpi
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:14

Je te répond en blanqué sur le post suivant (pour être sur du blanc):

Posté par
Youpi
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:14

4$ \rm \white non ce n'est pas un systeme, car les deux equations sont independantes \\ par contre ce sont des equations diophantiennes.

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:16

Idem (16:14)1

Estelle

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:18

\rm \white OK merci. C est bien ce que je pensais. \\ Kevin (Infophile) m avait parle de ces equations diophantiennes lors de l engime des orchidees. \\ Pourtant j avoue que ca ne va pas etre facile pour moi de les resoudre. \\ On apprend ca en quelle classe ?

Estelle

Posté par
Youpi
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:24

Bon j'arrête de blanquer, je pense que ça sert plus à grand chose.

Pour être honnête je sais même pas si c'est au programme de lycée..Infophile pourra peut-être mieux te renseigner que moi.

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:34

OK

Pour les résoudre, faut-il se servir de l'identité de Bézout ?

Estelle

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:42

Oui, les équations diophantiennes, ou la méthode bourin, qui marche aussi.

1 pénalité = +3
1 essai = +4

pour le reste, c'est Kiko21 le spécialiste.

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 16:48

Bonsoir STL,

il y a une maniere moins difficile de résoudre les équations diophantiennes, que Euler a mise au point...(google)

Benoit

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 17:05

Estelle, ce n'est pas grave pour le blanqué, car les équations à trouver découlent des tiennes, avec une manip expliquée par infophile dans l'énigme des orchidées.

Les orchidées

benitoelputoamo, je croyais que tu allais te lancer ?

Posté par
kiko21
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 17:23

Bonsoir,

Pour en savoir plus... sur le Rugby, et si vous avez Canal+, je vous propose de regarder la superbe affiche :

Bourgoin / Perpignan le samedi 25 mars (15H00) dans le chaudron de Saint-Etienne, au Stade Geoffroy Guichard.
36000 spectateurs!!
Spectacle assuré et commentaires professionnels.

A+, KiKo21.

P.S. petit problème "rugbystique" sympa et à priori facile probleme

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 17:48

Salut Kiko21, en postant mon énigme, je me suis demandée s'il fallait un écart minimum entre les scores... je vois que tu n'as pas protesté, je respire

Le rugby, je ne connais pas, mais les rugbymen, si. J'avais des gars de Bayonne dans mon couloir à la cité U à Montpellier, je connais toutes leurs chansons

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 17:49

Ah... la cité U de Montpellier, on y mange bien ! lol N'est-ce pas borneo ?

Estelle

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 17:55

Je viens de regarder vos solutions... je n'ai vu que des solutions à une étoile, quoique Youpi, je ne suis pas sûre, puisque tu n'as pas détaillé.

Les équations que je demandais en blanké sont celles qui donnent directement les couples de solutions. L'énigme reste ouverte... si vous croisez Pythagore Jimmy, je crois qu'il cherchait une énigme de ce genre.

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 17:57

C'était une cité U un peu spéciale... on y mangeait très bien, on avait même le vin de l'école à volonté

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 18:00

Bon, pour Borneo , je me lance!

\rm \white 4a+3b = 35\\3b = 35 - 4a\\ b = \frac{35-4a}{3}\\b=11-a+\frac{2-a}{3}\\p = \frac{2-a}{3}\\b = 11-a+p\\2-a=3p\\a = -3p +2\\b = 11+3p-2+p\\b=9+4p\\a=-3p+2 ou p dans \mathbb{Z}\\PROBLEME : si p = 1, alors a = -3+2 = -1!!! a peut-il etre negatif?

Posté par
_Estelle_
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 18:30

\rm \white D'apres les explications de Kevin sur les orchidees, j ai : \\ 4x + 3x = 35 \\ 3y = 35 - 4x \\ y = \frac {35-4x}{3} \\ y = 11 - x + \frac {2-x}{3} \\ t = \frac {2-x}{3} \\ x = 2-3t \\ y = 11 - x + t \\ Je ne suis pas censee avoir ce type de resultat ! Ou est le probleme ?

Estelle

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 18:35

Benito, ça m'a l'air bien parti, mais je n'arrive pas à bien lire ton blanqué.

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 18:47

Estelle, c'est bien parti aussi

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 19:39

Estelle, il faut dire que x et y sont des entiers et en déduire les valeurs de t.

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 19:58

Bonsoir,

Borneo si tu lis mon blanqué, tu t'apercevras que je trouve une valeur de a négative! Normal?

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 20:43

Salut benitoelputoamo (super pseudo)
j'ai réussi à lire ton blanqué. Tes equations sont ok, mais tu dois dire que a0 et en déduire les valeurs de p qui peuvent être négatives. Pareil pour b0 et on en déduit les valeurs de p qui se trouve en fait pris en sandwich entre deux valeurs entières.
Puis on trouve les couples a et b
Courage, tu brûles

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 21:00

Re-bonsoir Borneo,
\rm \white a\ge0\\-3p+2\ge0\\-3p\ge-2\\p\le2/3\\p\le 0.67\\b\ge0\\4p+9\ge0\\4p\ge-9\\p\ge \frac{-9}{4}\\p \ge -2.25
Ok je crois que j'ai compris :
\rm \white \left[-2,25;p;\frac{2}{3}\right]\\Pour p = -2 :\\a = 8 et b = 1 \\Pour p = -1 on a : \\ a = 5 et b=5

En 3ème, c'est chaud! Vivement que je voie les équations diophantiennes en Spé Maths!!!

(Saint)Benoit

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 21:06

Ah mince j'ai oublié un cas!
\rm \white pour p =0,\\a =2,b=9
Je me pose une seconde et je résous la deuxième équation diophantienne.

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 21:43

Tatoubon. Bravo, moi, il y a un mois, je ne savais même pas que ça existait. Grâce à Kévin, j'ai abandonné la méthode bourin pour les équations diophantiennes. Je ne me souviens pas d'avoir vu ça au bac, d'ailleurs

Posté par
infophile
re : JFF * ou ** le match de rugby 24-03-06 à 21:53

Grâce à "Oh les maths"

Les équations de diophante sont abordées rapidement en post-bac, mais elles ne necessitent pas de connaissances poussées

Va voir sur bac à maths !

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 25-03-06 à 08:22

Bon, après une bonne nuit de sommeil

c : nombre d'éssais marqués par les profs
d : nombre de pénalités marquées par les profs
\rm \white 4c+3d=34\\3d=34-4c\\d=\frac{34-4c}{3}\\d= 11-c+\frac{1-c}{3}\\p=\frac{1-c}{3}\\d=11-c+p\\1-c=3p\\ -c=3p-1\\c=1-3p ou p dans \mathbb{Z}\\d=11-c+p\\d=11-1+3p+p\\d = 10+4p\\c\ge0\\1-3p\ge0\\-3p\ge-1\\p\le\frac{1}{3}\\d\ge0\\10+4p\ge0\\4p\ge-10 \\p\ge-\frac{10}{4}\\\left[-\frac{5}{2};p;\frac{1}{3}\right]\\En remplacant p par -2, -1 et 0, j'obtiens : c=7 et d=2, \\c=4 et d=6\\c=1 et d = 10

Merci pour cette belle J.F.F. Borneo!

(Saint)Benoit

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 25-03-06 à 12:13

Bonjour, je vois que la relève est effectivement assurée ! Bravo benitoelputoamo ! Ceux qui veulent encore répondre n'ont pas besoin de poster tout le raisonnement, mais seulement les équations finales qui permettent de trouver tous les couples.

Comme prévu, je posterai ce soir ma solution élégante (à deux étoiles) et ma solution bourin (à une étoile).

JFF  ou  le match de rugby

Posté par
benitoelputoamo
re : JFF * ou ** le match de rugby 25-03-06 à 13:25

Pour ceux qui veulent, la méthode d'Euler détaillée et son application, pour résoudre les équations diophantiennes :


(Saint)Benoit

Posté par
borneo
Match de fin d année au Lycée Ribeaupierre 25-03-06 à 13:47

Très clair et très bien présenté. Merci pour le lien.
Magnifique signature

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 25-03-06 à 17:46

Bonsoir, je vous mets en premier la méthode bourin : en cas de temps limité, c'est bien plus rapide que la méthode élégante
J"ai mis le cas du score des élèves, mais pour celui des profs, la manip est la même.

Dans la colonne 1, je mets le total.
Dans la colonne 2 je mets les multiples de 3
Dans la colonne 3, le reste colonne 1 moins colonne 2
Dans la colonne 4, le quotient de la colonne 3 par 4
Et dans la colonne 5, une formule qui me dit "yesss" si le quotient est un entier.

Voilà



JFF  ou  le match de rugby

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 25-03-06 à 17:49

Et voilà la méthode préconnisée par les pros
Ne soyez pas trop sévères pour les fautes de frappe, je débute en latex...

J'appelle x le nombre de pénalités et y le nombre d'essais.

Pour le score des élèves, on a l'équation : 3x + 4y = 35

x = 4$\frac{35-4y}{3} = 11 + 4$\frac{2}{3} - y -  4$\frac{y}{3} = 11 - y + 4$\frac{2-y}{3}     je pose t = 4$\frac{2-y}{3}

x = 11 - y + t

t = 4$\frac{2-y}{3} donc y = 2 - 3t

x = 11 - (2 - 3t) + t   donc x = 9 + 4t

j'obtiens le système 4$\{{x=9+4t\atop y=2-3t}

je rappelle que x et y sont des entiers 0

9 + 4t 0
t 4$\frac{-9}{4} donc t (qui est un entier) -2

2 - 3t   0
-3t   -2 donc t 4$\frac{2}{3} donc t 0

t est donc compris entre -2 et 0, il prend les valeurs -2 ; -1 ; 0

pour t = -2 on a le couple 4$\{{x=1\atop y=8}

pour t = -1 on a 4$\{{x=5\atop y=5}

pour t = 0 on a 4$\{{x=9\atop y=2}



Pour le score des profs, on a l'équation : 3x + 4y = 34

x = 4$\frac{34-4y}{3} = 11 + 4$\frac{1}{3} - y -  4$\frac{y}{3} = 11 - y + 4$\frac{1-y}{3} je pose t = 4$\frac{1-y}{3}

x = 11 - y + t

t = 4$\frac{1-y}{3} donc y = 1 - 3t

x = 11 - (1 - 3t)  + t   donc x = 10 + 4t

j'obtiens le système 4$\{{x=10+4t\atop y=1-3t}

Avec le même raisonnement on trouve t compris entre -2 et 0

pour t = -2 on a le couple 4$\{{x=2\atop y=7}

pour t = -1 on a 4$\{{x=6\atop y=4}

pour t = 0 on a 4$\{{x=10\atop y=1}

Comme on a trois possibilités chez les élèves et trois chez les profs, il y a 9 manières différentes d'obtenir ce score.

Bon week end

Posté par
kiko21
re : JFF * ou ** le match de rugby 26-03-06 à 12:24

Bonjour à tous, bonjour borneo,

Bravo pour ta JFF très sympa et très pédagogique.
Je viens de comprendre que la méthode 2 étoiles utilisée est la réciproque de celle que j'employais quand j'étudiais une fonction paramétrée ( type courbe cardioïde avec y=f(t) et x=g(t), où il fallait essayer quand c'était possible d'obtenir y=h(x) pour s'affranchir du paramètre t )...
Pour l'énigme des orchidées, j'avais bien répéré la méthode dans les différentes solutions proposées, mais je ne l'ai jamais appliquée.

Même si je suis une gazelle (je joue plutôt 3/4), j'ai appliqué la méthode bourin (d'avant !!!), relativement rapide sur cette JFF, surtout en ayant calculé l'incrément de 12 points. Tout rugbyman savait bien que lorsque tu ratais 4 pénalités, il fallait à l'époque marquer 3 essais non transformés pour compenser !!!

Encore merci et à bientôt, KiKo21.



Posté par
minkus Posteur d'énigmes
re : JFF * ou ** le match de rugby 26-03-06 à 23:51

Salut,

J'ai enfin eu un peu de temps pour plancher sur ce match de rugby (perso je prefere le football americain mais bon...).

Voila comment je resouds cette petite diophantienne, un melange entre methode generale et methode rapide.

Prenons le probleme des eleves.

Soit e le nombre d'essais marques et p le nb de penalites.

On a donc 4e + 3p = 35

D'abord j'essaie de trouver une solution de tete (ce qu'on pourrait appeler une soution evidente)

Ici e = 5 et p = 5 vient tout de suite mais si les nombres sont plus grands, on y arrive quand meme.

Par exemple pour le 34 des profs c'est moins evident alors je me suis dit "supposons qu'ils aient marques 9 essais alors cela fait 2 points de trop donc il faut remplacer 2 essais par 2 penalites car il y a un point d'ecart entre les deux. Cela ressemble a une resolution arithmetique de certains problemes du genre 30 tetes et 100 pattes avec des autruches et des girafes. On suppose qu'il n'y a que des girafes et ca donne 20 pattes de trop donc il faut enlever 10 girafes soit 20 pattes. On obtient alors 20 girafes et 10 autuches.

Bref je reviens a la demo.

J'appelle e' et p' la solution evidente trouvee (e' = 5 et p' =5)

On a alors 4e + 3p = 35 et 4e' + 3p' = 35

Par soustraction, il vient 4(e-e') + 3(p-p') = 0

et donc 4(e-e') = 3(p'-p) et on en deduit que 4 divise p'-p et que 3 divise e-e' car 4 et 3 sont premiers entre eux.

D'ou il existe k et k' dans Z tels que p'-p = 4k et e-e' = 3k'.

En fait en remettant dans l'equation on verifie que k=k'

D'ou  p = p' - 4k = 5 - 4k et e = e' + 3k = 5 + 3k

On a evidemment p < 12 et e < 9  car 4*9 = 36> 35 et 3*12=36>35

En faisant varier k on trouve toutes les solutions.

k=-2 donne p = 13 et k=2 donne e=11 donc ces 2 solutions sont impossibles.

Il reste

k=-1 qui donne p=9 et e=2
k=0  qui redonne p=5 et e=5
k=1 qui donne p=1 et e=8

Donc 3 solutions : 9 penalites et 2 essais
5 penalites et 5 essais
1 penalite et 8 essais


Et je procede de la meme facon pour les profs...

minkus

Posté par
borneo
re : JFF * ou ** le match de rugby 27-03-06 à 00:53

Bonsoir à tous. Cette énigme m'a été inspirée par le prof de maths que j'ai eu de la 4e à la première, (les profs du lycée allaient aussi au collège car le lycée n'avait que 4 classes à l'époque). Les profs ne jouaient pas au rugby mais au foot, et le prof de maths était dans les goals . Il a pris sa retraite il y a quelques années, après 32 ans au lycée Ribeaupierre. Il m'a vraiment donné l'amour des maths

C'était la minute émotion du dimanche soir

Posté par
Meldi
re : JFF * ou ** le match de rugby 04-08-07 à 18:09

Trop cool !!! C'est super une article sur les maths et le rugby: mes 2 passions !!

Posté par
lucas951
re : JFF * ou ** le match de rugby 04-08-07 à 18:16

Tu joues quel poste ? Moi je préfère ailier (même si je suis pas fin, j'ai le physique de Dominici ).

Et vive le salon de thé... on va voir si ça part en vrac ou pas.

Posté par
Meldi
re : JFF * ou ** le match de rugby 04-08-07 à 18:18

Je ne peux pas jouer car les club accepte pas la mixité par chez moi. Mais mon post est celui de demi ded mélée quand je joue.

Posté par
lucas951
re : JFF * ou ** le match de rugby 04-08-07 à 18:25

Nous, on accepte la mixité. En revanche, une ou deux filles (une qui vient presque jamais), pour quarante garçons, tu parles de mixité.

Y en a au moins une dans les benjamins 2° année qui vont devenir minimes, peut-être qu'on arrivera à 3, et avec beaucoup de chance à 5...

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