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JFF : polynôme

Posté par neo (invité) 25-06-06 à 01:00

Bonsoir,

En ces heures tardives, je vous propose de démontrer qu'un polynôme vérifiant dans 4$\mathbb{C}[X]  :   4$P(z)=\bar{z} n'existe pas.

Bonne chance !

Posté par
lotfi
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 01:03

je ne comprend pas bien! peux tu m'expliqué?

Posté par neo (invité)re : JFF : polynôme 25-06-06 à 01:04

Il faut montrer qu'un tel polynôme ne peut exister !

Posté par
lotfi
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 01:07

voici ce que je ne comprend pas: DANS C  p(z)=...

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 02:08

Salut,

 Cliquez pour afficher


Sauf erreur évidemment.

*Message édité*

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 02:12

Juste une chose, j'ai dit que

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*message édité*

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 02:13

Juste pour chip(p)oter:

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a+

*message édité*

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 02:17

Salut,
re belotte, c'est encore moi (désolé)
Je viens de me rendre compte en parcourant les autres énigmes que j'ai gaché la surprise.
Je ne savais pas qu'il fallait masquer ses réponses, et je ne savais même pas que c'était possible.
Comme je ne veux pas gacher la surprise, si quelqu'un d'habilité voulait bien le faire pour moi, ce serait gentil, je ne veux pas être le casseur d'ambiance et donner les réponses au problème.
Je suis confus...
Désolé...

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 03:17

Encore désolé d'avoir dévoilé le punch, je pensais que pour les énigmes, on ne voyait jamais les solutions avant la fin.
J'ai néanmoins trouvé comment cacher ses réponses et j'en profite parce qu'il manque un argument que j'avais sous entendu:

 Cliquez pour afficher

Une autre méthode serait
 Cliquez pour afficher

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 05:59

Bonjour otto,

Rassure-toi : ce n'est pas une vraie énigme. Les réponses aux vraies énigmes, postées dans le forum "énigmes" sont invisibles jusqu'à la correction.

Ici, c'est une JFF, du forum expresso. Il est conseillé de blank-er comme tu l'as fait dans ton dernier message.

Nicolas

Posté par neo (invité)re : JFF : polynôme 25-06-06 à 13:51

Je ne savais pas qu'on ne pouvait pas blanquer le latex !

Ce n'est rien otto

Voilà ce que je propose :
*On suppose que 3$P(z)=\bar z
3$P \in \mathbb{C} donc 3$P est scindé.
Soit 3$z_0 une racine de 3$P, on a donc 3$P(z_0)=0=\bar z_0 et donc 3$z_0=0.
On en déduit donc que 3$P(X)=\lambda X^n
Or 3$P(exp{\frac{i\pi}{n}})=\lambda (exp{\frac{i\pi}{n}})^n=-\lambda=exp{\frac{-i\pi}{n}} et donc que 3$\lambda=-exp{\frac{-i\pi}{n}}
D'autre part, 3$P(1)=\lambda=1 (d'après l'hypothèse) d'où la contradiction.



* Supposons qu'il existe un tel polynôme vérifiant 3$P(z)=\bar z avec 3$z dans 3$\mathbb{C}
Soit x un réel.
On a donc 3$P(x)=x soit 3$Q(X)=P(X)-X.
On remarque que 3$Q admet donc tous les réels comme racines donc 3$Q(X)=0 donc 3$P(X)=X.
Mais 3$P(i)=i \neq \bar i d'où la contradiction.

Q'en penses-tu otto ?
(ou les autres)

Posté par neo (invité)re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:20

merci

Posté par neo (invité)re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:24

Je viens de me rendre compte qu'à chaque fois je trouve un contre exemple, mais je ne sais pas si c'est suffisant.

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:27

Salut.
Merci Nicolas_75, et merci à celui qui m'a "blanké" (en bon francais ) (je pense Nicolas_75 justement).
Ta première démonstration est semblable à la 3e que je proposais, mais en plus longue mais peut être un peu plus rigoureuse.
La deuxième est jolie et astucieuse, je n'ai pas pensé à regarder ce qui se passe dans R, et ca "trivialise" vraiment le problème.

Je t'en propose une autre à laquelle je viens juste de penser:
P(z)=\overline{z}
On compose par P à gauche (ou à droite, mais ca ne changera rien) et on trouve
p(p(z))=p(\overline{z})=\overline{p(z)}=\overline{\overline{z}}=z
Notamment p est du premier degré puisqu'inversible, et même involutif. On a alors
P(z)=az+b
p(p(z))=a^2z+ab+b
et donc il suffit de résoudre le système a^2=1 et ab+b=0 ce qui va nous donner a=-1 comme solution, et donc -z=\overline{z} ce qui est clairement une contradiction.
A+
ps: j'ai encore une fois "blanké" ma réponse, mais le tex n'y est pas réactif, donc finalement ca ne servait plus à rien.
A+

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:30

Neo, tu ne trouves pad de contre exemple, tu raisonnes par condition nécessaire. C'est à dire que si P existe alors on a ca et ca=quelque chose d'impossible.
En fait si je ne dis pas de bétise, tu utilises le fait que
A implique faux
signifie nécessairement que A=faux
et c'est une méthode tout à fait acceptable.
A+

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:43

otto >> je t'en prie.
En effet, on ne peut pas blanker le LaTeX.
Ce n'est pas moi qui ait blanké ton message. Je n'ai pas ce pouvoir !

Cordialement,

Nicolas

Posté par neo (invité)re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:44

ok merci pour les explications.

Ta dernière méthode est très jolie également et je la trouve plus "naturelle".

Si tu veux je poste une autre JFF sur les polynômes.

Neo

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:44

Merci pour tes réponses, et merci à celui ou à celle qui l'a fait dans ce cas

Posté par
otto
re : JFF : polynôme 25-06-06 à 14:46

Mon dernier message s'adressait à Nicolas.
Neo, postes si tu veux, tu n'as pas à avoir mon consentement pour ca
En revanche je ne serai pas là de la journée pour y participer.
A+



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