je ne comprend pas bien! peux tu m'expliqué?

Il faut montrer qu'un tel polynôme ne peut exister !

voici ce que je ne comprend pas: DANS C  p(z)=...

Salut,

 Cliquez pour afficher

deux méthodes simples s'imposent naturellement je pense:
La première est évidente, un polynôme (ou plutôt une fonction polynômiale) est dérivable en z, et le membre de droite ne l'est pas.
La seconde méthode consiste en multiplier par z
On trouve alors un polynôme Q(z)=zP(z)=|z|^2
On suppose que P est de degré n, donc Q est de degré n+1
On prend n+2 points z_1 z_2,z_3,....,z_{n+2} et on voit que Q(z_i)-z_i=0 pour n+2 points, et donc Q est identiquement nul, donc P aussi. Contradiction.

Juste une chose, j'ai dit que

 Cliquez pour afficher

Q était identiquement nul, c'est un raccourci (mais c'est vrai). Il suffit de voir que Q est nécessairement constant, mais de degré supérieur strictement à celui de P...
Ce n'est possible que si le degré est -infini, et donc si P=Q=0

Juste pour chip(p)oter:

 Cliquez pour afficher

Si tu es dans C[x], alors P(z) n'y existe pas.
Si c'est ca la réponse c'est un peu léger et fourbe
Sinon il faudrait dire que tu es dans C[z].

Salut,
re belotte, c'est encore moi (désolé)
Je viens de me rendre compte en parcourant les autres énigmes que j'ai gaché la surprise.
Je ne savais pas qu'il fallait masquer ses réponses, et je ne savais même pas que c'était possible.
Comme je ne veux pas gacher la surprise, si quelqu'un d'habilité voulait bien le faire pour moi, ce serait gentil, je ne veux pas être le casseur d'ambiance et donner les réponses au problème.
Je suis confus...
Désolé...

Encore désolé d'avoir dévoilé le punch, je pensais que pour les énigmes, on ne voyait jamais les solutions avant la fin.
J'ai néanmoins trouvé comment cacher ses réponses et j'en profite parce qu'il manque un argument que j'avais sous entendu:

 Cliquez pour afficher

les z_i que je prend sont de même module, et distincts

 Cliquez pour afficher

de remarquer que le polynôme P a n racines, alors que le membre de droite ne peut s'annuler qu'une seule fois en 0

Bonjour otto,

Rassure-toi : ce n'est pas une vraie énigme. Les réponses aux vraies énigmes, postées dans le forum "énigmes" sont invisibles jusqu'à la correction.

Ici, c'est une JFF, du forum expresso. Il est conseillé de blank-er comme tu l'as fait dans ton dernier message.

Nicolas

Je ne savais pas qu'on ne pouvait pas blanquer le latex !

Ce n'est rien otto

Voilà ce que je propose :
*On suppose que
donc est scindé.
Soit une racine de , on a donc et donc .
On en déduit donc que
Or et donc que
D'autre part, (d'après l'hypothèse) d'où la contradiction.



* Supposons qu'il existe un tel polynôme vérifiant avec dans
Soit x un réel.
On a donc soit .
On remarque que admet donc tous les réels comme racines donc donc .
Mais d'où la contradiction.

Q'en penses-tu otto ?
(ou les autres)

merci

Je viens de me rendre compte qu'à chaque fois je trouve un contre exemple, mais je ne sais pas si c'est suffisant.

Salut.
Merci Nicolas_75, et merci à celui qui m'a "blanké" (en bon francais ) (je pense Nicolas_75 justement).
Ta première démonstration est semblable à la 3e que je proposais, mais en plus longue mais peut être un peu plus rigoureuse.
La deuxième est jolie et astucieuse, je n'ai pas pensé à regarder ce qui se passe dans R, et ca "trivialise" vraiment le problème.

Je t'en propose une autre à laquelle je viens juste de penser:

On compose par P à gauche (ou à droite, mais ca ne changera rien) et on trouve

Notamment p est du premier degré puisqu'inversible, et même involutif. On a alors
P(z)=az+b
p(p(z))=a^2z+ab+b
et donc il suffit de résoudre le système a^2=1 et ab+b=0 ce qui va nous donner a=-1 comme solution, et donc ce qui est clairement une contradiction.
A+
ps: j'ai encore une fois "blanké" ma réponse, mais le tex n'y est pas réactif, donc finalement ca ne servait plus à rien.
A+

Neo, tu ne trouves pad de contre exemple, tu raisonnes par condition nécessaire. C'est à dire que si P existe alors on a ca et ca=quelque chose d'impossible.
En fait si je ne dis pas de bétise, tu utilises le fait que
A implique faux
signifie nécessairement que A=faux
et c'est une méthode tout à fait acceptable.
A+

otto >> je t'en prie.
En effet, on ne peut pas blanker le LaTeX.
Ce n'est pas moi qui ait blanké ton message. Je n'ai pas ce pouvoir !

Cordialement,

Nicolas

ok merci pour les explications.

Ta dernière méthode est très jolie également et je la trouve plus "naturelle".

Si tu veux je poste une autre JFF sur les polynômes.

Neo

Merci pour tes réponses, et merci à celui ou à celle qui l'a fait dans ce cas

Mon dernier message s'adressait à Nicolas.
Neo, postes si tu veux, tu n'as pas à avoir mon consentement pour ca
En revanche je ne serai pas là de la journée pour y participer.
A+