JFF probabilité

 Niveau énigmesPartager :
			        
JFF probabilité
Posté par 
carpediem  02-11-18 à 14:29
salut les neuroneurs ... du vendredi 

on considère les fonctions  et leur courbe  tracées dans le carré comme ci-dessous où ne sont tracées que les dix premières ...

on lance une fléchette dans le carré et on gagne n € lorsque la fléchette se plante entre les courbes Pn et Pn + 1 ... dans le carré de côté 1 bien sur !

quelles sont mon espérance de gain et sa variance ?

have some fun 

PS : on blanke son raisonnement complet donnant la réponse 
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 18:18
très intéressant

juste une question : on gagne 0€ si la fléchette arrive en dessous de P1 je présume ?
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 18:45
donc un début de réponse...

 Cliquez pour afficher
en calculant les aires j'ai trouvé que la probabilité de gagner n€ (n1) vaut :

la somme de ces trucs-là donne bien 2/3, complément à 1 de la partie située sous P1 (cas où on gagne 0€)

on voit assez rapidement que  à l'infini

et donc le calcul d'espérance mène à une série divergente ...

j'ai loupé un truc en route ! 
 Posté par 
carpediemre : JFF probabilité  02-11-18 à 18:45
oui ...

P_0 étant bien sur l'axe des abscisses ...
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 18:47
carpediem @ 02-11-2018 à 18:45

oui ...

P_0 étant bien sur l'axe des abscisses ...

ah ben oui, j'suis bête ! 
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  02-11-18 à 20:54
Une tentative.

Soit X la variable aléatoire donnant le gain.

Je suppose que la probabilité pour que la fléchette se plante dans une région donnée est  proportionnelle à son aire.

 Cliquez pour afficher
On a alors, pour tout n entier 

Or il est bien connue que, pour une v.a. à valeurs dans N,

Il en découle que X n'a pas une espérance finie et n'a donc pas de variance.
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 23:02
petit complément ...

 Cliquez pour afficher
je pense que pour avoir une espérance et une variance finies, 

il faudrait que le gain associé à "être entre Pn et Pn+1" 

soit en na avec a<1/4
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 23:07
verdurin

(bonsoir)

oui, je suis arrivé au même résultat que toi avec la définition de l'espérance... 
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  02-11-18 à 23:18
Bonsoir matheuxmatou.

 Cliquez pour afficher
En faisant les calculs à la louche, j'ai le sentiment que P(X=n) est équivalent à C k-3/2 où C est une constante.

Pour avoir une espérance finie, il suffirai donc d'avoir un gain en na avec a<1/2.

Je n'ai pas vérifié pour la variance, mais ta condition me semble vraisemblable.
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  02-11-18 à 23:22
PS : j'ai oublié les O(na).

Je crois que tu peux les remettre tout seul.
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 23:22
verdurin

 Cliquez pour afficher
effectivement, 

donc si le gain associé est  alors l'espérance est finie si a<1/2

et comme V(X)=E(X²)-(E(X))² il faut que E(X²) converge , ce qui donne a<1/4
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  02-11-18 à 23:34
En effet c'est évident.

J'ai eu un court-circuit neuronal.
 Posté par 
carpediemre : JFF probabilité  02-11-18 à 23:44
 Cliquez pour afficher
 messieurs

je n'ai pas dit que qu'on pouvait calculer l'espérance et la variance ... j'ai simplement demandé de les calculer :D

mais effectivement l'espérance est infinie et donc la variance n'existe pas

l'idée m'est venue à l'esprit comme ça en survolant je ne sais plus quel sujet mais je trouve le problème intéressant parce qu'il associe probabilité, calcul intégral et suite sans aucune réelle difficulté puisque tous les résultats sont assez élémentaires

il suffit de travailler proprement et avec méthode

 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  02-11-18 à 23:52
carpediem

je confirme, je trouve également cet idée intéressante... 
 Posté par 
carpediemre : JFF probabilité  03-11-18 à 12:24
allez pour le plaisir :

le même avec les fonction 

have some fun  

ou encore avec les fonctions  ... dans le cas où ça diverge à nouveau .... mais il ne me semble pas ...
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  03-11-18 à 17:08
 Cliquez pour afficher
avec e-nx je trouve que

série à nouveau divergente car équivalente à 1/n

sauf erreur de ma part ... 
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  03-11-18 à 17:27
 Cliquez pour afficher
J'ai lu le blank de matheuxmatou et je suis d'accord.

En prenant  on a une espérance et une variance ( sauf erreur de ma part).

Mais il va falloir réfléchir pour les calculer.

À vue de nez je dirais que l'on ne peut pas faire mieux que de chercher des valeurs approchées.

Mais je vais quand même chercher un peu.
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  03-11-18 à 17:37
avec  

 Cliquez pour afficher
je trouve effectivement une espérance finie

série convergente car équivalente à 1/n²

par contre pour l'espérance du carré (qui mène à la variance) je tombe sur

série divergente car équivalente à 2/n

sauf erreur de ma part, pas de variance !
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  03-11-18 à 19:43
Salut matheuxmatou.

Avec  

Je ne suis pas d'accord avec toi.

 Cliquez pour afficher
On a 

D'où  et  me semble être une série convergente.

J'ai l'impression que tu fis une erreur en calculant 

Mais c'est peut-être moi qui me trompe.
 Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  03-11-18 à 23:17
verdurin

salut à toi aussi ... j'insiste... je ne suis pas d'accord avec ton équivalent

 Cliquez pour afficher
 Posté par 
verdurinre : JFF probabilité  03-11-18 à 23:47
Et tu as raison.
  Posté par 
matheuxmatoure : JFF probabilité  03-11-18 à 23:48
(merci Verdurin)