salut
un petit problème sans prétention :
la courbe est la parabole représentant la fonction carrée.
quelle est le rapport entre l'aire grisée et celle du triangle ABC ?
have some fun
soyons fou !!
généralisation proposée par lake : c'est "simplement" plus analytique ... dans le sens où les calculs sont plus fastidieux !!
la courbe est la parabole représentant la fonction carrée.
les droites (AC) et (BC) sont tangentes à la parabole.
quelle est le rapport entre l'aire grisée et celle du triangle ABC ?
lake : f est la fonction carrée et g la fonction affine représentée par la droite (AB)
pour représenter l'aire taper intégraleDomaine (g, f, x(B), x(A))
tu tapes les premières lettres et un menu déroulant s'affiche
effectivement ... c'est pourquoi j'ai pris la fonction carrée !!
la démo est assez simple en fait avec la forme canonique :
si on l'applique à
alors les translations x --> x + s et y --> y - m nous ramènent à et ne changent pas l'aire
ensuite le facteur a correspond à une transvection ou dilatation suivant une droite (ici l'axe des ordonnées)
les longueurs "parallèle" à cet axe sont multipliées par a, les aires aussi et le rapport des aires restent le même
Bonjour à tous,
C'est finalement un problème de géométrie affine qu'on peut reformuler ainsi :
Une parabole est définie par deux tangentes sécantes en et leurs points de contact
et
.
Rapport des aires domaines déterminées par la parabole dans le triangle
Avec des questions subsidiaires :
- Montrer que deux tangentes sécantes et leurs points de contact définissent bien une parabole unique.
- La construire autrement dit déterminer son foyer et sa directrice
Bonjour,
Je ne me fais pas trop d'illusions sur les questions subsidiaires. Regarde qui veut.
et merci lake... mais dans ce domaine je te sais très doué au contraire de moi
donc merci
pour ma questions initiale ou la première tienne je voulais rester à un niveau "élémentaire de maintenant"!!
la géométrie pure ayant (quasiment) disparue j'ai tellement perdu ...
Une question qui probablement n'a pas d'avenir :
Existe-t-il des courbes autres que les paraboles pour lesquelles le rapport des aires est constant ?
mon pb initial et la généralisation de lake est relativement simple pour se traiter par l'analyse grace à un repère qui permet de calculer l'aire par une intégrale
cela devrait pouvoir se faire "aisément" pour une hyperbole, mais pour une ellipse ça me semble plus coton pour calculer l'aire
dernière minute : avec une hyperbole ça n'a pas l'aire d'être constant ...
par contre on peut s'intéresser à la limite de ce rapport quand A et B "partent" à l'infini
Bonjour larrech,
Je n'ai pas trop le temps de regarder mais avec Daniel Perrin, ça ne peut être que brillant.
alb12 bonjour, bonne question; je n'ai pas la réponse...
Bonjour carpediem,
Sans compter que deux tangentes et leurs points de contact définissent un faisceau d'hyperboles ou d'ellipses et non une unique conique à centre.
rapidement avant d'aller au jardin ...
avec l'hyperbole canonique f(x) = 1/x :
aire (ABC) =
aire (domaine) =
reste plus qu'à calculer le quotient ...
avec a et b les abscisses des points A et B ...
en espérant ne pas avoir fait d'erreur ...
Un rapport d'aires constant, je veux bien mais lorsque quel paramètre varie ?
Une animation avec des ellipses où ça ne peut pas marcher (la parabole précédente est en rouge):
Mêmes soucis avec des hyperboles.
La même avec des hyperboles où les points de contact son sur une branche :
La question d'alb12 :
J'étais moins ambitieux
Je voulais savoir si il est possible de trouver une courbe qui n'est pas une parabole telle que le rapport des aires quand A et B varient est constant
Je comprends mieux.
En tout état de cause, on doit tomber sur une équation différentielle du premier ordre. Très franchement, j'ai la flemme de me lancer là dedans ...
Mais je suis intiment convaincu qu'on doit tomber sur les paraboles. Ce qui me fait penser que, si on s'y prend bien, on doit aboutir.
Crayon, papier et calculs messieurs-dames ...
c'est pourquoi je ne l'ai fait qu'avec l'hyperbole "canonique" où on peut se poser la question de la valeur de ce rapport ...
pour l'ellipse déjà se pose plus clairement et immédiatement (que l'hyperbole ou la parabole) le pb de sa forme (plus ou moins aplatie)
en tout cas merci à lake pour ses développements ...
Bonsoir alb12,
Si j'ai bien compris, tu testes ici la courbe représentative de la fonction inverse. Sans surprise : ça ne marche pas. Rien d'étonnant !
Si on veut répondre à ta question, il faut passer par une équation différentielle.
Comme déjà dit, j'ai l'intime conviction que seules, les paraboles sont solutions.
Cela reste à prouver.
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