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JFF : rapport d'aire

Posté par
carpediem
21-02-23 à 19:53

salut

un petit problème sans prétention :

la courbe est la parabole représentant la fonction carrée.

quelle est le rapport entre l'aire grisée et celle du triangle ABC ?

JFF : rapport d\'aire

have some fun

Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 21-02-23 à 20:06

précision : les droites (AC) et (BC) sont tangentes à la parabole ...

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 21-02-23 à 20:27

Bonjour,

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Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 21-02-23 à 20:35

lake :

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mais tout le monde sait-il ce que l'on sait ?

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 21-02-23 à 21:55

>>carpediem,

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Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 21-02-23 à 22:41

soyons fou !!

généralisation proposée par lake : c'est "simplement" plus analytique ... dans le sens où les calculs sont plus fastidieux !!

la courbe est la parabole représentant la fonction carrée.
les droites (AC) et (BC) sont tangentes à la parabole.

quelle est le rapport entre l'aire grisée et celle du triangle ABC ?

JFF : rapport d\'aire


lake : f est la fonction carrée et g la fonction affine représentée par la droite (AB)

pour représenter l'aire  taper intégraleDomaine (g, f, x(B), x(A))

tu tapes les premières lettres et un menu déroulant s'affiche

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 21-02-23 à 23:04

Ah ! Merci carpediem

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 00:41

Au fait, carpediem, on peut utiliser n'importe quelle parabole ...

Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 09:53

effectivement ... c'est pourquoi j'ai pris la fonction carrée !!

la démo est assez simple en fait avec la forme canonique :

si on l'applique à g(x) = a(x - s)^2 + m

alors les translations x --> x + s et y --> y - m nous ramènent à h(x) = ax^2 et ne changent pas l'aire

ensuite le facteur a correspond à une transvection ou dilatation suivant une droite (ici l'axe des ordonnées)

les longueurs "parallèle" à cet axe sont multipliées par a, les aires aussi et le rapport des aires restent le même

Posté par
alb12
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 11:53

salut,
No comment

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Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 12:33

Bonjour à tous,
C'est finalement un problème de géométrie affine qu'on peut reformuler ainsi :
Une parabole est définie par deux tangentes sécantes en O et leurs points de contact A et B.
Rapport des aires domaines déterminées par la parabole dans le triangle OAB

JFF : rapport d\'aire

Avec des questions subsidiaires :
- Montrer que deux tangentes sécantes et leurs points de contact définissent bien une parabole unique.
- La construire autrement dit déterminer  son foyer et sa directrice

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 12:35

Oh!

Citation :
Rapport des aires des domaines déterminés par la parabole dans le triangle OAB ?

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 15:42

Bonjour,
Je ne me fais pas trop d'illusions sur les questions subsidiaires. Regarde qui veut.

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Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 18:18

et merci lake... mais dans ce domaine je te sais très doué au contraire de moi

donc merci

pour ma questions initiale ou la première tienne je voulais rester à un niveau "élémentaire de maintenant"!!

la géométrie pure ayant (quasiment) disparue j'ai tellement perdu ...

Posté par
larrech
re : JFF : rapport d'aire 22-02-23 à 19:10

Bonjour à tous,

Vous connaissez sans doute, mais moi j'ai découvert à cette occasion
Pas tout à fait élémentaire, mais brillant.

Posté par
alb12
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 13:12

Une question qui probablement n'a pas d'avenir :
Existe-t-il des courbes autres que les paraboles pour lesquelles le rapport des aires est constant ?

Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 14:36

mon pb initial et la généralisation de lake est relativement simple pour se traiter par l'analyse grace à un repère qui permet de calculer l'aire par une intégrale

cela devrait pouvoir se faire "aisément" pour une hyperbole, mais pour une ellipse ça me semble plus coton pour calculer l'aire



dernière minute : avec une hyperbole ça n'a pas l'aire d'être constant ...

JFF : rapport d\'aire

par contre on peut s'intéresser à la limite de ce rapport quand A et B "partent" à l'infini

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 14:37

Bonjour larrech,
Je n'ai pas trop le temps de regarder mais avec Daniel Perrin, ça ne peut être que brillant.
alb12 bonjour, bonne question; je n'ai pas la réponse...

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 14:43

Bonjour carpediem,

Sans compter que deux tangentes et leurs points de contact définissent un faisceau d'hyperboles ou d'ellipses et non une unique conique à centre.

Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 15:28

rapidement avant d'aller au jardin ...

avec l'hyperbole canonique f(x) = 1/x :

aire (ABC) = \dfrac {(b - a)^3} {ab(a + b)}

aire (domaine) = \dfrac {b^2 - a^2} {2ab} + \ln \dfrac b a

reste plus qu'à calculer le quotient ...

avec a et b les abscisses des points A et B ...

en espérant ne pas avoir fait d'erreur ...

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 15:49

Un rapport d'aires constant, je veux bien mais lorsque quel paramètre varie ?
Une animation avec des ellipses où ça ne peut pas marcher (la parabole précédente est en rouge):
JFF : rapport d\'aire
Mêmes soucis avec des hyperboles.

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 16:26

La même avec des hyperboles où les points de contact son sur une branche :
JFF : rapport d\'aire
La question d'alb12 :

Citation :
Existe-t-il des courbes autres que les paraboles pour lesquelles le rapport des aires est constant ?


doit être reformulée pour avoir un sens : une famille de courbes (dépendant d'un paramètre) ?
J'ai l'impression que tenter d'écrire un énoncé précis permet déjà d'avoir une bonne idée de la réponse

Posté par
alb12
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 16:53

J'étais moins ambitieux
Je voulais savoir si il est possible de trouver une courbe qui n'est pas une parabole telle que le rapport des aires quand A et B varient est constant

Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 17:11

Je comprends mieux.
En tout état de cause, on doit tomber sur une équation différentielle du premier ordre. Très franchement, j'ai la flemme de me lancer là dedans ...
Mais je suis intiment convaincu qu'on doit tomber sur les paraboles. Ce qui me fait penser que, si on s'y prend bien, on doit aboutir.
Crayon, papier et calculs messieurs-dames ...

Posté par
carpediem
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 18:43

c'est pourquoi je ne l'ai fait qu'avec l'hyperbole "canonique" où on peut se poser la question de la valeur de ce rapport ...

pour l'ellipse déjà se pose plus clairement et immédiatement  (que l'hyperbole ou la parabole) le pb de sa forme (plus ou moins aplatie)

en tout cas merci à lake pour ses développements ...

Posté par
alb12
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 20:26

Pour tester rapidement des courbes.

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Posté par
lake
re : JFF : rapport d'aire 23-02-23 à 22:16

Bonsoir alb12,
Si j'ai bien compris, tu testes ici la courbe représentative de la fonction inverse. Sans surprise : ça ne marche pas. Rien d'étonnant !
Si on veut répondre à ta question, il faut passer par une équation différentielle.
Comme déjà dit, j'ai l'intime conviction que seules, les paraboles sont solutions.
Cela reste à prouver.

Posté par
alb12
re : JFF : rapport d'aire 24-02-23 à 10:30

mon programme permet de tester rapidement des courbes de fonctions.
Par exemple f(x)=x^3, f(x)=7x+3+4*sqrt(2x+1),f(x)=a*x^2+b*x+c
Seules les paraboles donnent un rapport constant.
On cherche un candidat pour la demo



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