JFF :*::*: Skops et Estelle jouent aux dés :-) - forum mathématiques

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JFF  Skops et Estelle jouent aux dés 
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borneo  23-09-06 à 12:02
Bonjour, je profite d'une accalmie dans les énigmes officielles pour poster une petite JFF. Les intéressés me pardonneront j'espère ce titre raccoleur, mais les temps sont durs pour les posteurs de JFF...  n'est-ce pas, Lucas ?

Pendant les pauses du congrès de l'île des mathématiques, Estelle et Skops jouent  à un jeu de dés. 

Ils disposent de 2 dés non pipés à 6 faces. 

La règle du jeu est la suivante : le joueur qui commence lance les deux dés simultanément. On additionne les points. Si le score est égal à un certain total (qu'on peut choisir selon les parties), il gagne. 

Sinon, le 2e joueur lance les deux dés. Là aussi, on additionne les points, et il gagne s'il obtient un certain total. Sinon, c'est le premier joueur qui relance, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'un d'eux ait gagné.

Skops, en galant homme, propose à Estelle de commencer. Comme à l'évidence, cela lui donne l'avantage, il lui propose la règle suivante :

Si elle obtient un total de 2, 3, ou 4, elle gagne. Quant à lui, il l'emporte s'il obtient 9, 10, 11, ou 12.

1) Estelle se méfie, elle veut être sûre que la partie soit honnête. Qu'en pensez-vous ? A-t-elle raison d'être méfiante ? Quelles sont ses chances de gagner au bout du compte ?

2) Si vous trouvez que la partie n'est pas équitable, proposez une règle pour qu'elle le soit.

3) Skops aimerait trouver une règle qui soit à la fois équitable, et qui permette de jouer la partie la plus longue possible. Pourez vous lui proposer une règle ?

Réponse blanquée obligatoire, sous peine de houspillage. 

 Posté par 
Nicolas_75 re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 12:36
Je lis dans l'énoncé :

"Estelle a-t-elle raison de se méfier de Skops ?"

Au moins, la réponse à cette question est facile ! 
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 12:43
Je ne dirais pas cela... il faut justifier 

Merci de faire remonter ma JFF Nicolas.
 Posté par 
_Estelle_re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 14:23
Bonjour,

Borneo > Belle JFF 

Citation :
Skops, en galant homme,

Skops >  Cliquez pour afficher
Vive le sprite  

Estelle 
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 14:45
Bonjour,

Nicolas >> Qu'est ce que tu insinues ?  
 Cliquez pour afficher
moi, je la connais la réponse 

Borneo >> Merci pour la JFF

Estelle >> 

Skops 
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 15:09
Merci, Skops et Estelle. Pour avoir une JFF qui remonte de temps en temps, je crois que j'ai les bons personnages 

N'hésitez pas à faire d'autres commentaires, dans le forum expresso, c'est permis..
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 15:14
Mdr, tu veux qu'il y ait 3 pages de messages sans qu'il y ait de réponse ?

Dans ce cas, tu as trouvé les bonnes personnes je crois 

Skops 
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 15:18
Non, je voudrais aussi des réponses, mais comme c'est assez long à calculer, je ne veux pas qu'elle disparaisse sans être vue. Je pense que quelques fanas des énigmes officielles vont peut-être se lancer, en constatant qu'il n'y a pas de nouvelle énigme. 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 16:48
Bonjour, 

On dirait que ta JFF marche mieux que la mienne ! 

 Cliquez pour afficher
1) Elle a raison de se méfier 

 Cliquez pour afficher
2) La partie n'est pas vraiment équitable. Si ils veulent garder ces nombres, il faudrait qu'Estelle joue quatre coups et que Skops n'en joue que trois. 

 Cliquez pour afficher
3) Une partie équitable et infinie : que les deux dés fassent 1 ! 

Merci pour cette belle JFF

Quand à moi, je poste pas mal de JFF car je voudrais être posteur d'énigmes, mais étant très jeune...

Tu vois, il n'y avait pas à se méfier de ma JFF...

Lucas
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 17:38
Citation :
On dirait que ta JFF marche mieux que la mienne ! 

Tu es tout de même le premier de l'après-midi qui ose répondre 
 Posté par 
plumemeteorere : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 18:10
Bonjour,

 Cliquez pour afficher
La probabilité pour Estelle de gagner au premier coup est de 1/6.

La probabilité pour Estelle de gagner au coup n+1 est (sa probabilité de gagner au coup n) *  (probabilité d'insuccès d'Estelle en un coup) * (probabilité d'insuccès de Skops en un coup.

La probabilité de gain d'Estelle est donc somme des (1/6)*(130/216)k pour k allant de zéro à l'infini soit (1/6)*(216/130)/((216/130)-1) = (1/6) * (216/86) = 36/86.

Le jeu est donc défavorable pour Estelle.

 Cliquez pour afficher
Pour un jeu équitable :

Soit a la probabilité (donnée) d'insuccès d'Estelle en un coup et x la probabilité (à calculer en fonction de a) d'insuccès de Skops en un coup.

(1-a)*(ax)k pour k de zéro à l'infini = ((1-a)/ax)/((1/ax)-1) = 0,5

((1-a)/ax)/((1-ax)/ax) = (1-a)/(1-ax) = 0,5.

0,5 - O,5 ax = 1-a; 0,5 ax = a-0,5; x = 2-(1/a)

a et x doivent être des nombres entiers de trente-sixièmes: soit b et y ces nombres entiers

y/36 = 2-(1/(b/36) = 2-(36/b)

y = 72-1296/b

b est un diviseur de 1296 inférieur ou égal à 36 et supérieur ou égal à 18

b = 36, y = 36 : les deux joueurs perdent quel que soit leur tirage

b = 27, y = 24 : par exemple les résultats gagnants sont 6 4 2 pour Estelle, 12 10 9 7 pour Skops

b = 24, y = 18; b = 18, y = 0 : si Estelle a la malchance de perdre à son premier coup, Skops est sûr de gagner.

Finalement les seules probabilités réalistes de succès par coup est de 1/4 pour Estelle et de 1/3 pour Skops. 
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 19:36
Salut Plumemeteore,

 Cliquez pour afficher
Tu n'as pas répondu à la question 3

Ne lisez pas, les autres !
 Posté par 
kiko21re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:17
Bonjour à tous, Bonjour Bornéo,

Citation :
Skops et Estelle jouent aux dés 

C'est donc ainsi qu'ils s'expliquent ces deux là !!! 

1ère question

 Cliquez pour afficher
Estelle a toutafé raison d'être méfiante, connaissant Skops !! 

Je justifierai plus tard...

A+, KiKo21.
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:19
 Posté par 
kiko21re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:39
C'est bien ce que je pensais

 Cliquez pour afficher
Skops est un escroc ! Il a 6 chances sur 21 alors que la pauvre Estelle n'a que 4 chances sur 21

2ème question

 Cliquez pour afficher
Pour que la partie soit équitable, on peut rajouter le 5 pour Estelle

 Cliquez pour afficher
L'idéal est de choisir un nombre au hasard entre 2 et 12, et de jouer la partie en 2 manches

A+, KiKo21.
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:39
borneo : 

Citation :
Tu es tout de même le premier de l'après-midi qui ose répondre 

Je n'aurai pas osé répondre si c'était une énigme officielle...

LucaS
 Posté par 
_Estelle_re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:42
Citation :
 Cliquez pour afficher
C'est bien ce que je pensais

Skops est un escroc ! Il a 6 chances sur 21 alors que la pauvre Estelle n'a que 4 chances sur 21

Estelle 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:47
J'aurais bien aimé voir : dédié aux amoureux du jour... :D ...Non, je rigole ! 

LucaS
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:50
Citation :
 Cliquez pour afficher
C'est bien ce que je pensais

Skops est un escroc ! Il a 6 chances sur 21 alors que la pauvre Estelle n'a que 4 chances sur 21

 Cliquez pour afficher
Ce ne serait pas 18 ?

LucaS

Edit Kaiser : ne pas oublier la balise [blank] la prochaine fois 
 Posté par 
_Estelle_re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:53
Bravo pour le blanké... 

Estelle 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:58
...

...je ne sais pas quel smiley mettre ! 

Désolé, mais comme tout curieux qui se respecte, je regarde le blanké des autres.

LucaS
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 20:59
 Cliquez pour afficher
J'étais obligé d'être un escroc sinon, il y aurait eu moins de questions 

 Cliquez pour afficher
Estelle >> Je suis un escroc ? 

Skops 
 Posté par 
plumemeteorere : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 21:01
Bonsoir, Bornéo !

 Cliquez pour afficher
J'ai aussi répondu à la troisième question.

Il n'y a que trois règles parfaitements équitables.

1. Les deux ont à chaque coup 0/36 de gagner (par exemple, ils doivent obtenir 13) : la partie se poursuit indéfiniment et personne n'a de chance de gagner, ce qui n'a pas de sens.

2. Estelle a 18/36 = 1/2 de gagner et Skops gagne à coup sûr. Par exemple Estelle doit faire 2 3 4 5 6 ou 10 et Skops n'a qu'à lancer les dés. On sait après un lancer qui a gagné !

3. Estelle à 9/36 = 1/4 de chance de gagner et Skops 12/36 = 1/3 de gagner. Estelle doit faire par exemple 2 4 ou 6 et Skops 12 11 10 ou 7. Voilà la réponse à la troisième question.
 Posté par 
plumemeteorere : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   23-09-06 à 21:11
Bonsoir, Kiko.

 Cliquez pour afficher
Ta réponse de 20 h 39 n'est pas logique.

D'après cette réponse, la probabilité que l'un des deux gagne est 6/21 + 4/21 = 10/21;

Donc il faudrait admettre le cas ou personne ne gagne (avec une probabilité de 11/21, supérieure à un demi).
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 09:08
Citation :
Edit Kaiser : ne pas oublier la balise [blank] la prochaine fois 

Salut Kaiser, tu ne fais pas ma JFF ? Remarque que tu n'as sans doute pas le temps... c'est chaud sur l' en ce moment...
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 09:42
Bonjour,

 Cliquez pour afficher

  1  2  3  4  5  6

1 2  3  4  5  6  7

2 3  4  5  6  7  8  

3 4  5  6  7  8  9 

4 5  6  7  8  9  10

5 6  7  8  9 10  11 

6 7  8  9 10 11  12

Avec ce tableau j'en déduis que la probabilité qu'Estelle gagne est de 3/18 et quelle ce "Skops" est de 5/18

2. Il faudrait rajouter le nombre 5

Ainsi pour Estelle, cela ferait (1/36)+(2/36)+(3/36)+(4/36)=5/18

Skops 
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 09:43
 Cliquez pour afficher
Avec ce tableau j'en déduis que la probabilité qu'Estelle gagne est de 3/18 et que celle de ce "Skops" est de 5/18

Skops 
 Posté par 
kaiser re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 13:19
Citation :
Salut Kaiser, tu ne fais pas ma JFF ? Remarque que tu n'as sans doute pas le temps... c'est chaud sur l' en ce moment...

Salut Borneo

Effectivement, aujourd'hui les topics arrivent de partout mais je vais essayer de trouver un peu de temps pour me consacrer à ta JFF. 

Kaiser
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 14:00
C'est sympa, Kaiser. Prends ton temps, je ne vais pas mettre la solution tout de suite 
 Posté par 
kaiser re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 14:07
Merci Borneo. 
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 16:31
 Posté par 
kaiser re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 19:31
 Cliquez pour afficher
1) Comme les dés sont jetés simutanément, alors on ne prend pas en compte l'ordre. Ainsi, tirés 1 et 3 c'est la même chose que tirer 3 et 1. On compte ainsi 21 tirages possibles : 6 tirages possibles pour lesquels on tombe sur 2 fois le même chiffres et 15 tirages où les deux chiffres sont différents (2 parmis 6).

2=1+1, 3=1+2, 4=1+3=2+2 donc Estelle a donc 4 chances sur 21 de gagner.

9=4+5=3+6, 10=5+5=4+6, 11=6+5, 12=6+6 donc si Estelle n'a pas encore gagné, Skops a 6 chances sur 21 de gagner.

En effet, Skops ne pas gagner si Estelle gagne (car Skops ne pourra pas jouer).

Mon raisonnement est donc le suivant (mais je pense qu'il va poser problème pour la suite):

Lors d'une partie, Estelle a donc 4 chances sur 21 et Skops a (6/21)*(17/21) de gagner, 17/21 représentant les "possibilités" de perdre d'Estelle.

Avec ce raisonnement, on se rend compte que Skops a plus de chances de gagner et donc Estelle a raison de se méfier.

Si on ne prend pas en compte le facteur 17/21,la réponse est la même.

Pour les questions suivantes, je me trouve confronté à un sérieux problème car le premier raisonnement ne m'apporte aucune réponse valable (en particulier, le jeu ne sera jamais équitable).

En effet, essayons de voir si c'est possible. Si on note p le nombre de possibilités de gagner d'Estelle et q le nombre de possibilités de gagner de Skops, lors d'un partie, la probabilité qu'Estelle gagne est de p/21 et celle que Skops gagne est de (q/21)*((21-p)/21). Il me semble donc que le jeu est équitable si ces deux probabilités sont égales mais ça coince à cause du fait que p et q doivent être compris entre 1 et 21.

Je pense que quelque chose m'a échappé.
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 20:37
Je posterai un joli corrigé, mais pas tout de suite. Comme il n'y a pas d'énigme officielle, autant laisser les JFF. 
 Posté par 
kaiser re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   24-09-06 à 21:25
OK ! 
 Posté par 
plumemeteorere : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 00:54
Bonne nuit Kaiser !

 Cliquez pour afficher
chaque résultat 'bigarré' (deux nombres différents) a deux fois plus de chance que chaque double. Il doit donc compter pour deux résultats, et 15*2 + 6 = 36
 Posté par 
kiko21re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 08:59
Bonjour,

Plumemeteore

 Cliquez pour afficher
"chaque résultat 'bigarré' (deux nombres différents) a deux fois plus de chance que chaque double.

 Cliquez pour afficher
Il doit donc compter pour deux résultats, et 15*2 + 6 = 36"

 Cliquez pour afficher
Je crois que tu as raison, il faut considérer les positions possibles prises par les deux dés

 Cliquez pour afficher
(6 chacuns donc 36 possibilités ce que j'avais trouvé, et je ne sais pas pourquoi, j'ai éliminé les doublons !!)

 Cliquez pour afficher
Ce qui ferait 1/6 de chances pour Estelle et 5/18 pour Skops

 Cliquez pour afficher
Pour la deuxième question, je pense toujours qu'on peut rajouter le 5 à la liste d'Estelle pour qu'elle ait aussi 5 chances sur 18 de gagner.

 Cliquez pour afficher
Ou enlever le 9 de la liste de Skops l'escroc !!

 Cliquez pour afficher
Il faut jouer la partie en 2 manches pour que les tous les deux puissent jouer en premier de manière équitable.

 Cliquez pour afficher
En cas d'égalité, on rejoue 2 manches autant de fois qu'il est nécessaire. ça peut être long et répondre à la 3ème question !!

 Cliquez pour afficher
3ème question. Plutôt que de choisir un score au hasard, prendre 2 ou 12, soit 1 chance sur 36 et jouer en 2 manches minimum.

A+, KiKo.

P.S. Bornéo, ta JFF marche bien !!
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 15:03
 Cliquez pour afficher
Je vais avoir une réputation d'escroc 

Skops 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 15:09
Allez, je défends Skops : 

Il n'est pas un escroc, et je le remercie de tout ce temps sur le site, car il était le premier à me répondre à mon premier sujet et aussi à mon premier message.

LucaS
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 15:12
Ah ?  tu me files le lien s'il te plaît ?

Skops 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 15:22
Pour que tout le mùonde puisse rire... :  Aires

LucaS
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 15:24
Merci 

Skops 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 15:25
Je t'en prie. 

LucaS
 Posté par 
kiko21re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 18:23
> LucaS et Skops

Je reconnais que LucaS a fait une entrée fracassante sur l'île !!!

Skops, tu n'es pas un escroc. Tu as juste le rôle du méchant dans cette JFF.

A+, KiKo21.
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 18:26
M'enfin, j'ai écrit galant homme... 
 Posté par 
kiko21re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 18:29
Tu as aussi écrit :  Estelle se méfie... 

Pourquoi se méfierait-elle d'un galant homme ??
 Posté par 
borneore : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   25-09-06 à 21:45
Sinon il n'y a plus d'énigme 
 Posté par 
Nicolas_75 re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   26-09-06 à 03:34
Lucas951 >> merci de nous avoir redonné le lien. Un bon souvenir en effet. 
 Posté par 
Skopsre : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   26-09-06 à 15:36
 Cliquez pour afficher
Tu as vu borneo, j'en étais sur sans connaitre la réponse  (sinon, il y aurait eu moins de question )

Skops 
 Posté par 
lucas951re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   26-09-06 à 18:23
Citation :
Lucas951 >> merci de nous avoir redonné le lien. Un bon souvenir en effet. 

 (désolé Bourricot)

Franchement, tu te souviens des autres topics que j'ai faits ?

LucaS
  Posté par 
Nicolas_75 re : JFF  Skops et Estelle jouent aux dés   26-09-06 à 18:38
Non. En fait, j'avais oublié celui-là. Mais le relire m'a fait sourire.