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JFF somme (2) **

Posté par
lyonnais 28-07-06 à 19:39

Bonjour à tous

Je complique un peu les choses . Vous me direz si ça vallait 2 étoiles !

JFF somme 2

En introduisant les racines troisièmes de l'unité (1 , j , j²) calculez les 3 sommes suivantes en fonction de n :

4$\rm S_0 = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})} \(n\\3k\) = \(n\\0\) + \(n\\3\) + \(n\\6\) ...

4$\rm S_1 = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})} \(n\\3k+1\) = \(n\\1\) + \(n\\4\) + \(n\\7\) ...

4$\rm S_2 = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})} \(n\\3k+2\) = \(n\\2\) + \(n\\5\) + \(n\\8\) ...

Bon courage

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:28

Bonsoir

Il faut remarquer que
\Large{\white{\{A+B+C=2^n\\ A+jB+j^{2}C=(1+j)^n\\ A+j^{2}B+jC=(1+j^{2})^{n} }}

Kaiser

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:31

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Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:34

Avant tout, une petite simplification.

\Large{\white{\{A+B+C=2^n\\ A+jB+j^{2}C=(-1)^{n}j^{2n}\\ A+j^{2}B+jC=(-1)^{n}j^{n}}}

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Kaiser

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:42

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\Large{\white{\{A+B+C=2^n\\ A+jB+j^{2}C=e^{in\pi/3}\\ A+j^{2}B+jC=e^{-in\pi/3}}}

ça simplifi les solutions je pense !!

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:47

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Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:51

C'est bon, c'est j'ai trouvé ! Combinaisons
Par contre, il n'y pas de correction, seulement la solution !

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:52

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Romain

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:55

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Posté par
kaiser Moderateurre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 21:57

Citation :
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Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 22:21

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par exemple pour avoir l'équation  \Large{\white A+jB+j^{2}C=e^{in\pi/3}}

\Large{\white (1+j)^n = (e^{i\pi/3})^n = e^{in\pi/3}

Or :

\Large{\white (1+j)^n = \Bigsum_{q=0}^n\(n\\q\)j^q  
\Large{\white (1+j)^n = \Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 0[3]}\(n\\q\)j^q+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 1[3]}\(n\\q\)j^q+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 2[3]}\(n\\q\)j^q
\Large{\white (1+j)^n = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})}\(n\\3k\)j^{3k}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})}\(n\\3k\)j^{3k+1}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})}\(n\\3k\)j^{3k+2}
\Large{\white (1+j)^n = A+jB+j^2C}

et voila, j'attend jusqu'a demain et si j'ai le courage, je tappe la correction !!

Merci d'avoir participé :D

Romain

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 28-07-06 à 22:27

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Ce serait plutôt :

\Large{\white (1+j)^n = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})}\(n\\3k\)j^{3k}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})}\(n\\3k+1\)j^{3k+1}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})}\(n\\3k+2\)j^{3k+2}

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 29-07-06 à 11:26

Passons à la correction

L'idée (comme l'a remarqué kaiser) était de calculer de 2 façons différentes les trois termes (1+1)n , (1+j)n , (1+j²)n pour en déduire A , B et C

1ère partie :

\Large{(1+1)^n= 2^n}

Or

\Large{(1+1)^n = \Bigsum_{q=0}^n\(n\\q\)}
\Large{(1+1)^n = \Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 0[3]}\(n\\q\)+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 1[3]}\(n\\q\)+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 2[3]}\(n\\q\)
\Large{(1+1)^n = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})}\(n\\3k\)+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})}\(n\\3k+1\)+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})}\(n\\3k+2\)
\Large{(1+1)^n=A+B+C}

On déduit donc une première équation :  \Large{\magenta \fbox{A+B+C=2^n}}

2ème partie : (celle que j'avais faite en blanc précédement)

\Large{(1+j)^n = (e^{i\pi/3})^n = e^{in\pi/3}

Or :

\Large{(1+j)^n = \Bigsum_{q=0}^n\(n\\q\)j^q
\Large{(1+j)^n = \Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 0[3]}\(n\\q\)j^q+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 1[3]}\(n\\q\)j^q+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 2[3]}\(n\\q\)j^q
\Large{(1+j)^n = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})}\(n\\3k\)j^{3k}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})}\(n\\3k+1\)j^{3k+1}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})}\(n\\3k+2\)j^{3k+2}
\Large{(1+j)^n = A+jB+j^2C}

On déduit donc une deuxième équation :  \Large{\magenta \fbox{A+jB+j^2C=e^{in\pi/3}}}

3ème partie :

\Large{(1+j^2)^n = (e^{-i\pi/3})^n = e^{-in\pi/3}

Or :

\Large{(1+j^2)^n = \Bigsum_{q=0}^n\(n\\q\)j^{2q}
\Large{(1+j^2)^n = \Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 0[3]}\(n\\q\)j^{2q}+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 1[3]}\(n\\q\)j^{2q}+\Bigsum_{q\in [|0,n|]\\q\equiv 2[3]}\(n\\q\)j^{2q}
\Large{(1+j^2)^n = \Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n}{3})}\(n\\3k\)j^{6k}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-1}{3})}\(n\\3k+1\)j^{6k+2}+\Bigsum_{k=0}^{E(\frac{n-2}{3})}\(n\\3k+2\)j^{6k+4}
\Large{(1+j^2)^n = A+j^2B+jC}

On déduit donc une dernière équation :  \Large{\magenta \fbox{A+j^2B+jC=e^{-in\pi/3}}}

Finalement :

On obtient le système suivant qu'il reste à résoudre ...

\Large{{\{A+B+C=2^n\\ A+jB+j^{2}C=e^{in\pi/3}\\ A+j^{2}B+jC=e^{-in\pi/3}}}

En sommant les 3 équations, on trouve assez facilement en utilisant la belle formule  \blue \Large{\fbox{1+j+j^2=0}}  que :

\Large{\red \fbox{A=\frac{1}{3}(2^n+2cos(\frac{n\pi}{3}))}

\Large{{\{A+B+C=2^n\\ A+jB+j^{2}C=e^{in\pi/3}\\ A+j^{2}B+jC=e^{-in\pi/3}}} \Leftrightarrow \Large{{\{A+B+C=2^n\\ j^2A+B+j^C=j^2e^{in\pi/3}=e^{\frac{i(n-2)\pi}{3}}\\ jA+B+j^2C=je^{-in\pi/3}=e^{\frac{i(2-n)\pi}{3}}}

En sommant les 3 équations, on trouve :

\Large{\red \fbox{B=\frac{1}{3}(2^n+2cos(\frac{(n-2)\pi}{3}))}

Enfin en remplacant dans la première ligne par exemple, on trouve aussi :

\Large{\red \fbox{C=\frac{1}{3}(2^n+2cos(\frac{(n+2)\pi}{3}))}

Ouff

Félicitations à kaiser

A+ pour de nouvelles JFF ;)

Romain

Posté par
tealcre : JFF somme (2) ** 29-07-06 à 11:43

à nouveau, quel beau latex merci pour cette JFF!

Posté par
veledare:JJF somme(2) 29-07-06 à 18:24

bonjour,c'est une belle correction ,je voulais simplement dire qu'à partir de (1+j)n on a immédiatement (1+j2)n en prenant le conjugué de A+jB+j2C et celui de ein /3(A,B,C sont réels donc c'est immédiat)
la démonstration est moins"symetrique" mais c'est plus rapide à taper

Posté par
lyonnaisre : JFF somme (2) ** 29-07-06 à 18:42

ah oui, bien vu veleda

Merci !  


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