Salut,
peux-tu préciser davantage de choses sur la fonction f s'il-te-plaît?
(où elle est définie, continue et dérivable )

oui, les précisions que tu demandes sont vraies sur [0,1]

Donc il faut trouver c dans ]0;1[ tel que la tangente en (c;f(c)) passe par 0, c'est ça?
Car il est évident que le choix de c = 0 marche, sinon!

Oui c'est ça.
Bien sûr cet exo n'est pas très compliqué quoiqu'il demande une certaine réflexion.
Mais j'ai envie que la plupart des gens puissent y participer.

Neo

ok, alors voici ma réponse:

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Soit g la fonction définie sur [0;1] par :

g(x)= f(x)/x si x non nul, et
g(0)= f'(0) = 0

Alors g est continue en 0 (en effet on a f(0)=0 d'où par dérivabilité de f en 0, g(x) --> g(0) lorsque x --> 0); de plus f est clairement continue sur ]0;1].
Ainsi g est continue sur [0;1], dérivable sur ]0,1[ (comme quotient de deux fct qui le sont, avec le dénominateur qui ne s'y annule pas).
De plus on a g(0) = g(1) = 0.

En appliquant le lemme de Rolle à g on en déduit qu'il existe c dans ]0,1[ tel que g'(c) = 0.
Or pour tout x dans ]0,1[ on a g'(x) = [xf'(x) - f(x)]/x².
Ainsi c verifie: f'(c) = f(c)/c.

L'équation de la tangente à la courbe de f au point (c,f(c)) est :

y = f'(c)(x-c) + f(c).
On remplace :
y=f(c)(x-c)/c + f(c)

Le point de cette droite d'abscisse x=0 a pour ordonnée:
y= -f(c).c/c + f(c) = 0.

Ainsi cette tangente passe par l'origine.

Oui, merci d'avoir participé !
En fait, le plus "dur" était de penser à poser la première fonction de ton post.

Je t'en prie
Il s'agit de procéder par analyse-synthèse et de "flairer" à quoi ressemble une certaine expression..puis de remettre les arguments en place!

Personne d'autre ?

Il faut quel niveau ?

Sticky

Je crois qu'un bon niveau de terminale suffit.
Ou alors Sup...

Ah ok ...

Merci pour l'info
Sticky

Salut!

Vous êtes sûr que c'est à une étoile?Parce que ça me parait vachement dure!Ou alors c'est un défi à une étoile pour un niveau assez élevé!c'est ou qu'on apprend à faire ce genre d'exercice,(seconde,première?):?

Pas en troisième en tout cas.

Personnellement j'arrive pas

Sticky

Je me doute bien qu'on ne fait pas ça en toisième,mais ou alors?

neo a dit:

Sticky :

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Connais-tu la définition du taux d'accroissement et le théorème des accroissements finis ?

Sticky :

Moi par contre,je connais la proportionnalité des accroissements.

salut fabuloso,

Tu peux détailler ?

Neo

Tigweg : connais-tu une autre démo (j'aime la diversité...) ?

Moi j'en avais une reprenant l'idée d'une fonction auxiliaire, légèrement différente de celle de Tigweg.
J'ai du arreter en cours de route par manque de temps

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et je n'ai pas conclu, mais je pensais utiliser le théorème de Darboux. J'avoue avoir été bloqué lorsque je voulais utiliser les hypothèses. Ma fonction auxiliaire était évidemment g(t)=f(t)-tf'(t). La démonstration de Tigweg permet de ne pas tomber dans ce piège et d'utiliser directement les hypothèses.

Bonsoir otto, je voulais une autre démo car la mienne est quasi identique à celle de Tigweg.
Par contre,

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je ne connais pas le théorème de Darboux

Bon bah, ca a pas l'air top

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f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)
Comme on est sur [0;1]
f'(c) = (f(1)-f(a))/(1-0)
      = 0/1 =0

La tangente en C(c;f(c)) et de la forme:
f'(c)(x-c)+f(c)=y

Comme ca doit passer par 0 on a:

f'(c)(x-c)+f(c)=0
Comme f'(c)=0
f(c)=0
c'est vérifié par c=0 et c=1 donc C existe.

Bonjour

neo>

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le théorème de darboux dit la chose suivante :

Si f est une fonction dérivable, alors f' vérifie le théorème des valeurs intermédiaires. Plus précisément, l'image par f' d'un intervalle est un intervalle.

Ok merci Kaiser !

Mais je t'en prie !

Et moi?On m'oubli?c'est pourtant neo qui m'as demandé de détailler la proportionnalité des accroissements.je voulais savoir ce que vous pensiez de ma petite "demonstration",même si ça ne vous sert pas à grand chose dans ce topic.

Je ne t'oublie pas fabuloso !!

Ca a l'air correct mais je ne vois pas trop à quoi cela sert ici...

Neo

Merci neo.Oui je sais,ça ne sert à rien ici.

Désolé néo , j'étais ailleurs lol...et comme ça, je ne vois pas d'autre démonstration
Mais, d'après les posts de certains, j'ai cru comprendre qu'on pouvait "décrypter" des posts blankés, non?

Tigweg

Mort de rire, ok!!

En plus c'est tout bête, je n'avais pas essayé, pensant que seul l'auteur de l'énigme et les modos étaient en mesure de "décrypter"
Décidément, ce site me réserve bien des surprises!

Pour en revenir à l'énigme,

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je ne vois pas comment utiliser le théorème de Darboux pour montrer le résultat.Il faut montrer qu'on a
f'(c) = f(c)/c pour un certain c, donc à part introduire une fonction auxiliaire, je ne vois pas...

Tigweg, as-tu lu le post de otto en blanké ?

Bon je crois qu'on peut arreter de blanker !

Sinon, d'une manière plus générale, la résolution du problème repose sur l'analyse-synthèse.
Or la phase d'analyse permet de prouver l'unicité sous réserve d'existence (sauf erreur).
Là où je veux en venir, c'est comment introduire la fonction g(x)=f(x)/x rigoureusement.
Moi je dirai ceci : Supposons qu'il existe c tel que la tangente en c passe par l'origine. Alors, il est évident que f'(c)=f(c)/c. (d'où l'unicité ?)
Posons donc g(x)=f(x)/x.

En fait, dans la majorité des bouquins, pour certaines démos, ils zapent la phase d'analyse et balancent une fonction sortie de nul part sans rien expliqué. Je trouve ça très frustrant.

Neo

Ah déjà parti apparament.
Tant pis !

Je suis encor elà mais répondais à un autre post lol
Oui j'ai lu le post d'otto.
Pour la phase d'analyse, j'ai fait comme toi, puis écrit l'égalité sous la forme cf'(c) - f(c) = 0.J'ai aussi fait un dessin qui m'a assez peu aidé

Ca m'a fait penser à la dérivée de f(x)/x en c, et au lemme de Rolle.
Il ne restait plus qu'à tenter de prolonger cette fct en 0, et à s'assurer que cette fct g verifiait bien les bonnes hypothèses.

tigweg

OK mais quelque chose me chiffonne : écrire f'(c)=f(c)/c suffit-il à prouver l'unicité de c ?

Merci

PS : je me corrige : nulle part sans rien expliquer

Non absolument pas: en TOUT point ou g'(x) s'annule on aura le même résultat.Or le lemme d eRolle n'assure en aucun cas l'unicité de c...

D'accord merci, c'est clair maintenant (et élémentaire, je m'en veux...)

Mais je t'en prie neo!
Sur ce, bonne nuit, je vais me coucher!

Tigweg

Je posterai la solution dans la matinée pour ceux qui seraient intéressés.
Merci pour cet entretien agréable et instructif.

Merci à toi pour l'exrcice et la conversation

En fait le point 1 n'est pas essentiel à l'énoncé, tu peux remplacer 1 par ce que tu veux, par exemple 1/2. A ce moment on n'a aucune information sur le comportement de f entre 1/2 et 1, ce qui montre bien qu'en général, c n'est pas unique.Maintenant si tu rajoutes une condition de régularité sur g(x) = f(x)/x, par exemple que g' est croissante, g' ne peut s'annuler qu'une fois et donc c ser

pardon je reprends: et donc c sera unique.
Mais bon l'énoncé n'y gagne rien, me semble-t-il

Tigweg

pardon, je voulais dire si g' est STRICTEMENT croissante, bien entendu.
Au fait, je ne vois toujours pas comment Kaiser voulait utiliser le théorème de Darboux pour fournir une solution alternative à l'exercice, quelqu'un voit-il?

Salut,
je ne crois pas que c'était Kaiser, je crois plutôt que c'était moi qui cherchait ca, mais je n'ai pas trouvé de truc intéressant pour l'instant.
L'idée est que l'on voit évidemment que l'ordonnée à l'origine de la tangente au point t est donnée par g(t)=f(t)-f'(t)t. Ma première idée a donc été de montrer que ceci était tantôt négatif, tantôt positif, et de conclure via le théorème de Darboux.
Le problème est que les hypothèses ne me suffisent pas à trouver un truc intéressant pour le signe de toute cette expression. C'est facile de montrer qu'elle est positive ou négative, mais pas les deux en même temps.
De même, on trouve des trucs intéressants sur f' (TAF) mais pas sur g.
Je pense que c'est une voie de garage.
a+