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JFF : Tirelire mathématique 
Bonjour,
Une p'tite JFF pour les accros (elhor, papanoël...)
Un jeune mathîlien a dégoté un job d'été de serveur dans un café du bord de plage.
Il sait qu'il recevra des pourboires et décide ne pas tout claquer avant la rentrée; il se propose d'en mettre progressivement une partie de côté et de constituer une tirelire "Pourboires" qu'il alimente comme suit :
- 1 € le premier jour, avec une pièce de 1 €,
- 2 € le deuxième jour, avec une pièce de 2 €,
- 3 € le troisième jour, avec deux pièces : 1 € et 2 €,
- 4 € le quatrième jour, avec deux pièces de 2 €,
- 5 € le cinquième jour, avec un billet de 5 €,
- 6 € le sixième jour, avec un billet de 5 € et une pièce de 1 €,
-...
- 10 € le dixième jour, avec un billet de 10 €,
-...
- 20 € le vingtième jour, avec un billet de 20 €,
-...
Sa règle est d'optimiser la somme en mettant le minimum de pièces (1 € et 2 €) et de billets (5 €, 10 €, 20 € et 50 €).
Q1 : au bout de combien de jours aura-t-il plus de billets que de pièces ? quelle somme aura-t-il alors ?
2) Plus mathématiquement :
Il décide cette fois-ci d'alimenter sa tirelire avec uniquement des pièces de 1 € et des billets de 10 €, tout en maintenant sa règle d'optimisation de mettre le minimum de pièces de 1 € à l'aide des billets de 10 €.
Q2 : au bout de combien de jours aura-t-il plus de billets que de pièces ? quelle somme aura-t-il alors ?
Bonne réflexion !
Philoux
Nota : problème complexifié d'un Rallye Mathématique de Bourgogne
Salut,
Q1, je trouve apres 30 jours il aura 465 euros
Q2, je trouve apres 100 jours il aura 5050 euros
@+
j'espere que je me suis pas embrouillé. desolé je sais pas comment vous faites pour cacher la solution.
Bonjour philoux;
Deux façons de comprendre l'énoncé:
la 1ère:
à la fin de chaque journée notre serveur optimise la somme S de son tirelire.
au jour j=1;S=1 euro
au jour j=2;S=3 euros
au jour j=3;S=6 euros optimisation ---> 1 billet de 5 + 1 pièce de 1
au jour j=4;S=10 euros optimisation ---> 1 billet de 10 + 0 pièces
au jour j=1;S=1 euro
au jour j=2;S=3 euros (3 pièces de 1 euro)
au jour j=3;S=6 euros (6 pièces de 1 euro)
au jour j=4;S=10 euros optimisation ---> 1 billet de 10 + 0 pièces
la seconde:
à la fin de chaque journée notre serveur ne touche pas à la somme déjà existente dans son tirelire et se contente d'optimiser la somme qu'il y vas rajouter.
notons les jours de travail de notre serveur.
remarquons que:
pièce
pièce (de 1euro)
pièce (de 2euros)
pièces (de 1 et 2euros)
pièces (de 2euros)
ainsi au jour (division euclidienne)le nombre de pièces en sa possession sera:
de à
;
billets
de à
;
billet chaque jour (de 5euros)soit
billets (de 5euros)
de à
;
billet (de 10euros)chaque jour soit
billets (de 10euros)
de à
;
billets (de 10 et 5euros)chaque jour soit
billets
on voit alors qu'avant le 19ième jour le nombre de pièces et strictement supérieur à celui des billets et qu'au bout du 19ième autant de pièces que de billets (20)et donc qu':
au bout du 20ième jour notre serveur mathilien aura plus de billets que de pièces (21 billets et 20 pièces)et il aura alors la somme:
euros
pas de solutions dans ce cas car le nombre de pièces reste strictement supérieur à celui des billets par contre si on remplace nombre de.. par valeur de.. on aura que la valeur des billets (de 10 euros) dépasse celle des pièces (de 1 euro) dés que:
ie
donc au bout du 9ième jour:
valeur-billets=450 euros
valeur-pièces=405 euros
Voilà en tout cas c'est ce que j'ai compris 
Salut elhor
à la fin de chaque journée notre serveur ne touche pas à la somme déjà existente dans son tirelire et se contente d'optimiser la somme qu'il y vas rajouter.
Normalement, dans une tirelire, on ne peut pas toucher à la somme sinon que casser la tirelire 
Pour Q1, je trouve 30 jours comme papanoel,
Pour Q2, je trouve 98 jours en lien avec un autre post
Philoux
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