Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau énigmes
Partager :

JFF : Tirelire mathématique **

Posté par philoux (invité) 10-08-05 à 12:32

Bonjour,

Une p'tite JFF pour les accros (elhor, papanoël...)

Un jeune mathîlien a dégoté un job d'été de serveur dans un café du bord de plage.

Il sait qu'il recevra des pourboires et décide ne pas tout claquer avant la rentrée; il se propose d'en mettre progressivement une partie de côté et de constituer une tirelire "Pourboires" qu'il alimente comme suit :
- 1 € le premier jour, avec une pièce de 1 €,
- 2 € le deuxième jour, avec une pièce de 2 €,
- 3 € le troisième jour, avec deux pièces : 1 € et 2 €,
- 4 € le quatrième jour, avec deux pièces de 2 €,
- 5 € le cinquième jour, avec un billet de 5 €,
- 6 € le sixième jour, avec un billet de 5 € et une pièce de 1 €,
-...
- 10 € le dixième jour, avec un billet de 10 €,
-...
- 20 € le vingtième jour, avec un billet de 20 €,
-...

Sa règle est d'optimiser la somme en mettant le minimum de pièces (1 € et 2 €) et de billets (5 €, 10 €, 20 € et 50 €).

Q1 : au bout de combien de jours aura-t-il plus de billets que de pièces ? quelle somme aura-t-il alors ?


2) Plus mathématiquement :

Il décide cette fois-ci d'alimenter sa tirelire avec uniquement des pièces de 1 € et des billets de 10 €, tout en maintenant sa règle d'optimisation de mettre le minimum de pièces de 1 € à l'aide des billets de 10 €.

Q2 : au bout de combien de jours aura-t-il plus de billets que de pièces ? quelle somme aura-t-il alors ?

Bonne réflexion !

Philoux

Nota : problème complexifié d'un Rallye Mathématique de Bourgogne

Posté par papanoel (invité)re : JFF : Tirelire mathématique ** 10-08-05 à 15:35

Salut,
Q1, je trouve apres 30 jours il aura 465 euros
Q2, je trouve apres 100 jours il aura 5050 euros
@+
j'espere que je me suis pas embrouillé. desolé je sais pas comment vous faites pour cacher la solution.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re:JFF : Tirelire mathématique 10-08-05 à 20:46

Bonjour philoux;
Deux façons de comprendre l'énoncé:
la 1ère:
à la fin de chaque journée notre serveur optimise la somme S de son tirelire.
(Q_1)
au jour j=1;S=1 euro
au jour j=2;S=3 euros
au jour j=3;S=6 euros optimisation ---> 1 billet de 5 + 1 pièce de 1
au jour j=4;S=10 euros optimisation ---> 1 billet de 10 + 0 pièces
(Q_2)
au jour j=1;S=1 euro
au jour j=2;S=3 euros (3 pièces de 1 euro)
au jour j=3;S=6 euros (6 pièces de 1 euro)
au jour j=4;S=10 euros optimisation ---> 1 billet de 10 + 0 pièces
la seconde:
à la fin de chaque journée notre serveur ne touche pas à la somme déjà existente dans son tirelire et se contente d'optimiser la somme qu'il y vas rajouter.
notons j=1,2,..,n,.. les jours de travail de notre serveur.
(Q_1)
remarquons que:
j=5k;0 pièce
j=5k+1;1 pièce (de 1euro)
j=5k+2;1 pièce (de 2euros)
j=5k+3;2 pièces (de 1 et 2euros)
j=5k+4;2 pièces (de 2euros)
ainsi au jour 3$\blue n=5q+r (division euclidienne)le nombre de pièces en sa possession sera:
3$\blue\{{6q,r=0\\6q+1,r=1,2\\6q+2,r=3,4
de j=1 à j=4 ;0 billets
de j=5 à j=9 ;1 billet chaque jour (de 5euros)soit 5 billets (de 5euros)
de j=10 à j=14 ;1billet (de 10euros)chaque jour soit 5 billets (de 10euros)
de j=15 à j=19 ; 2 billets (de 10 et 5euros)chaque jour soit 10 billets
on voit alors qu'avant le 19ième jour le nombre de pièces et strictement supérieur à celui des billets et qu'au bout du 19ième autant de pièces que de billets (20)et donc qu':
au bout du 20ième jour notre serveur mathilien aura plus de billets que de pièces (21 billets et 20 pièces)et il aura alors la somme:
3$\red S=1+2+3+..+20=210 euros
(Q_2)
pas de solutions dans ce cas car le nombre de pièces reste strictement supérieur à celui des billets par contre si on remplace nombre de.. par valeur de.. on aura que la valeur des billets (de 10 euros) dépasse celle des pièces (de 1 euro) dés que:
10(1+2+..+n)\ge45n ie n\ge8 donc au bout du 9ième jour:
valeur-billets=450 euros
valeur-pièces=405 euros
Voilà en tout cas c'est ce que j'ai compris

Posté par philoux (invité)re : JFF : Tirelire mathématique ** 11-08-05 à 19:09

Salut elhor

à la fin de chaque journée notre serveur ne touche pas à la somme déjà existente dans son tirelire et se contente d'optimiser la somme qu'il y vas rajouter.

Normalement, dans une tirelire, on ne peut pas  toucher à la somme sinon que casser la tirelire

Pour Q1, je trouve 30 jours comme papanoel,
Pour Q2, je trouve 98 jours en lien avec un autre post

Philoux

Posté par papanoel (invité)re : JFF : Tirelire mathématique ** 11-08-05 à 21:07

philou> au bout de 98 jours il aura seulement le meme nombre de billet que de piece alors que tu demandais quel jour il aurais plus de billet... ou est ce que j ai fait une faille



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !