Inscription / Connexion Nouveau Sujet
JFF : une figure étonnatante
salut
préparant un DM (je résiste : 
Baisse des demandes 
) pour mes élèves je suis tombé sur une figure "étonnante"
les données : ABC est un triangle isocèle en A tel que BC = 2r.
I est le milieu de la hauteur issue de A tel que le triangle BIC est rectangle en I.
je vous passe le reste des détails et autres informations qui sont données par la figure suivante :
(il faut maintenant wouatmille questions intermédiaires pour en arriver à cette figure !!)
mais ce qui est intéressant (enfin il me semble) est posée en question :
comparer (questions dans le désordre) :
1/ les aires du cert-volant MANO avec celles des triangles BAC et CON
2/ les aires du trapèze MNCB et du triangle ABC
3/ les distances MN et BC
4/ les angles et
par contre j'ai une question plus particulière :
je en vois pas comment calculer la distance MN "simplement" (= niveau lycée voire même avec de la géométrie simple)
pour ma part j'ai pris un repère orthonormé d'origine O, déterminer l'équation du cercle et de la droite (AC) pour en déduire les coordonnées des points M et N.
donc je suis ouvert à toute proposition permettant de calculer cette distance "simplement" (même avec de la trigo éventuellement)
have some fun 
je précise pour ma question particulière : j'y arrive donc avec de la géométrie analytique mais je ne vois pas comment faire sans (Thalès, Pythagore, triangles semblables, angles, ...)
Il y a plusieurs décennies, en fin de secondaire, en Belgique, on aurait pu faire ceci :
Bonjour,
Avec H milieu de [MN]
AO = OC.tan(ACO)
2r = r.tan(ACO)
tan(ACO) = 2
Angle(ACO) = arctan(2)
angle(NOC) = Pi - 2.arctan(2)
angle(HON) = Pi2 - (Pi - 2.arctan(2)) = 2.arctan(2) - Pi/2
HN = r.sin(HON) = r.sin(2.arctan(2) - Pi/2) = -r.cos(2arctan(2)) = - r*(1-2²)/(1+2²) = 0,6.r
MN = 2.HN = 1,2.r
*****
Mais j'ignore le niveau actuel d'enseignement en France, pour voir si cette méthode est utilisable.
Bonjour.
Une méthode :
— On calcule avec Pythagore.
— La hauteur avec l'aire du triangle ABC.
— La longueur avec Pythagore.
— Une soustraction donne
Et on conclu avec les triangles semblables ABC et AMN.
Mais je ne sais pas si le fait que BNC est rectangle car inscrit dans un demi-cercle est encore au programme.
En fait il y a encore plus simple si on peut utiliser les triangles semblables hors position de Thalès.
Les triangles ABC et OCN sont semblables ( angles égaux ) et on déduit directement CN en calculant le rapport AB/OC.
Bonjour à tous
Une fois connu le rapport , le théorème de Thalès règle la question.
Amicalement
pappus
merci à tous et plus particulièrement à verdurin 
qui propose la (une) solution la plus élémentaire.
candide2 : je suis bien d'accord avec ta solution aussi qui est relativement simple, autrefois de collège ... maintenant de plus en plus difficile au au lycée !! pour ce qui est en rouge :
Il y a plusieurs décennies, en fin de secondaire, en Belgique, on aurait pu faire ceci : j'aime bien !! (ironie...)
HN = r.sin(HON) = r.sin(2.arctan(2) - Pi/2) = -r.cos(2arctan(2)) = - r*(1-2²)/(1+2²) = 0,6.r
qui pourrait presque convenir à des élèves de collège seconde ... mais dès qu'ils voient le mot tangente ... ils la prennent !!
verdurin : tu me présentes les "meilleures" solutions au sens de niveau collège :
la première est "calculatoire" mais plait bien aux élèves puisque pour eux "faire des math = faire du calcul"
il faut cependant leur faire un parcourt fléché car il n'y a plus de capacité d'initiative
la seconde est "bien plus mieux meilleure" puisqu'il n'y a (quasiment) pas de calcul.
il faut avoir une idée (triangle semblable : qui provient de l'analyse de la figure) mais que quasiment aucun élève n'est capable d'avoir maintenant
mon cher pappus, je sais que ce pb est fort modeste par rapport à ce que tu nous proposes ici et surtout sur les math.net et que j'appréciais de lire et "étudier" ...
je suis malheureusement d'une génération après toi (je pense), j'ai fait "un peu" de géométrie mais très certainement moins que toi ! et j'avais beaucoup de mal "à suivre" tes problèmes (comme ceux de Jean-Louis Ayme)
et maintenant qu'on n'en fait quasiment plus (lire les programmes actuels) je suis quasiment devenu une quiche ...
au lycée il n'y a quasiment pas de géométrie sans calcul.
par hasard savez-vous ce qu'il en est du site les math.net ?
Bonjour,
la chasse aux angles débute par tan OAC =0.5
On arrive à MON (73°7398) dont MN est une corde de longueur 1.2r on a ainsi les deux diagonales du cerf-volant MANO donc son aire .
Mon cher carpediem
Je m'intéresse à tous les problèmes des plus simples aux plus compliqués.
C'est effectivement très difficile de s'intéresser à la géométrie quand elle a pratiquement disparu de nos programmes.
Je ne sais pas ce qu'est devenu les-mathematiques.net mais je me trouve bien sur ce forum et je compte bien y rester si c'est possible
Amicalement
pappus
>pappus
Nous apprécions ta venue
Je n'ai pas vu de réactions à MN corde du cercle avec angle MON
facile à calculer.
Mon cher dpi
Comme je l'ai dit, la longueur se calcule via le théorème de Thalès.
Tout cet exercice peut être résolu sans l'intervention de la trigonométrie.
Amicalement
pappus
Bonjour à tous
Quand j'étais gamin ( à la grande époque des maths modernes ) , on résolvait tout par l'algébrique et l'analytique . C'était propre et sans bavure mais les problèmes géométriques laissaient toujours une question en suspens . Depuis j'ai pris l'habitude de chercher l'idée cachée derrière le problème avant de me lancer dans les calculs . Ici , il y a tout de même une idée simple avec le fameux triangle 345 :
Imod
La figure complète :
Les longueurs , les aires et les angles se lisent directement . Il n'y a pas d'entourloupe car la figure est unique à une similitude près .
Imod
Annuler
connectez vous