Bonsoir,

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des carrés de rationnels?

Cauchy> Oui bien sûr, des carrés de rationnels. Avec des carrés de réels, ce serait vraiment trop simple

Je pensais pas au carrés de réels sinon il suffit de prendre a>0

Je parlais de carrés d'entiers mais évidemment il faudrait que a soit entier

Bonsoir,

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Je propose 0  
à part 24, en-dessous de 1000, je n'en trouve pas

Salut frenicle,

J'etais au salon des maths cet apres-midi ou Ahmed Djebbar a fait une petite conference. He bien figure toit qu'il a parle de toi

minkus

Bonjour,

Borneo> Bien vu On va dire un rationnel a strictement positif !
Cauchy> Qui sait, il y a peut-être des solutions entières...
Minkus> C'est quoi ce salon des maths ? C'est ouvert aujourd'hui ?

Cordialement
Frenicle, le vrai

salut frenicle

en écrivant a=p/q², on a :

p+q² carré
2p+q² carré
5p+q² carré

faut-il ensuite "voir" quelquechose de particulier pour trouver (p,q) ou suffit-il de faire tourner excel ou un quelconque programme ?

si c'est la deuxième solution, avec cette remarque, les aficionados d'excels séviront...

Salut frenicle,

Oui c'est encore ouvert aujourd'hui mais dans une version reduite dans la mairie du 5e arrondissement. J'y suis alle il y a une heure voir mes eleves particper au trophee Lewis Carroll et je vais sans doute y retourner pour les resultats vers 14h.

Il y a d'ailleurs aussi une conference a 16h de Benoit Rittaud sur "Le fabuleux destin de racine carree de 2."

Voir ici [autre]_Annonce du 8ème salon des jeux mathématiques

minkus

Bonjour,

Je viens de faire tourner un programme (permet de traiter plus de cas et plus rapidement qu'Excel), et à part me sortir toutes les fractions égales à 24, rien d'autre ...

Donc, 2 possibilités :

1) la fraction à trouver n'est pas évidente du tout (mon programme n'a pas testé l'infinité des fractions)

2) il n'existe pas d'autre possibilité

Je pencherais plutot pour la 2ème possibilités. Il reste à le démontrer ...

jamo>

Alors le nombre a n'est pas trés sympathique à trouver ...

En fait, un peu d'algèbre et une bonne dose d'ingéniosité suffisent. Pas besoin d'un logiciel de course

Bonjour

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j'en ai un strictement négatif ... a=-9240/58081
a+1 = (221/241)², 2a+1 = (199/241)² et 5a+1 = (109/241)²

joli lafol : j'ai pas eu le courage d'aller à 241²

la méthode que j'utilise me permet de le trouver sur la 21° ligne de mon tableur, mais n'en donnera que des négatifs
je cherche autre chose ....

Alors, les fans de Maple et d'Excel n'ont encore rien trouvé ?

(Bon d'accord il est un peu voyant le up...)

  

je te l'ai dit : je cherche encore ....

bon, je jette l'éponge .... tu peux envoyer la soluce

Bonsoir,

En fait ce problème a été résolu par Fermat au XVIIème siècle et il n'avait qu'une version très rudimentaire d'Excel  (mais peut-être a-t-il utilisé Pascal ).
Il ne s'est servi que de notions qu'un élève de première maîtrise en principe parfaitement. Mais comme il était génial, ces outils prenaient dans ses mais une puissance extraordinaire. Ni Diophante, ni Viète, ni Bachet, ni...Frenicle n'avaient réussi avant lui.
Je vous donne juste le début de sa méthode, pour que vous en jugiez et aussi pour vous mettre sur la voie.

On veut que a+1, 2a+1 et 5a+1 soient des carrés.
Fermat se simplifie d'abord la vie en posant a = x² + 2x.
Ainsi la première expression a + 1 = x² + 2x + 1 est automatiquement un carré, et il ne reste plus que deux expressions à égaler à des carrés :
2a + 1 = 2x² + 4x + 1  et 5a + 1 = 5x² + 10x + 1.
(Cette idée semble simple, mais il faut déjà y penser.)

Si 5x² + 10x + 1 = u²  et  2x² + 4x + 1 = v²,  alors la différence 3x² + 6x est égale à u² - v², c'est-à-dire (u - v)(u + v).

Mais 3x² + 6x = 3x(x + 2)
Il est tentant de poser (u - v) = 3x et (u + v) = x + 2, ce qui donne u = (3x + x + 2)/2 = 2x + 1
En remplaçant u par sa valeur dans l'équation 5x² + 10x + 1 = u², il vient :
5x² + 10x + 1 = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
Soit
x² + 6x = 0

(Remarquez que comme le terme constant disparait, les solutions de cette équation sont automatiquement rationnelles.)

On obtient x = 0 et x = -6, ce qui donne a = 0 (la solution de Borneo) et a = 24 (la solution de l'énoncé).

Bon ce n'est déjà pas mal, mais ça ne nous donne pas une autre solution rationnelle positive.

Fermat a continué dans la même veine, et il l'a trouvée.
Comment a-t-il procédé ?

Bonne réflexion

Cordialement
Frenicle

tentative de poursuite :

5v² - 2u² = 3
5(1) - 2(1) = 3

=> 5(v²-1) = 2(u²-1)

v² = 2k+1 et u² = 5k+1 => u²-v² = 3k = (u-v)(u+v)  => v = (k-3)/2 et u = (k+3)/2

faut-il continuer de creuser ou est-ce une impasse ?

Mika > C'est une impasse. En fait, Fermat part de la solution x = -6 que l'on vient de trouver et il fait un truc tout simple...

en tous cas, c'est une belle prise de tête!...
j'ai cru trouver une bonne dizaine de fois mais je tourne en rond sans aucune élégance!...

Bonsoir,

A la demande générale, voici la suite de la solution de Fermat

Il part de la valeur x = -6, déjà trouvée et fait un changement de variable en posant simplement x = y - 6.
Cette idée est géniale.

Les équations
5x² + 10x + 1 = u²  et  2x² + 4x + 1 = v²
s'écrivent maintenant :
5(y - 6)² + 10(y - 6) + 1 = u²  et  2(y - 6)² + 4(y - 6) + 1 = v²
ou encore :
5y² - 50y + 121 = u²  et  2y² - 20y + 49 = v²

Il n'y a plus qu'à procéder comme dans la première partie pour les résoudre, mais en évitant les pièges.

D'abord, pour que le terme constant s'annule en faisant la différence des deux expressions, il faut multiplier 2y² - 20y + 49 par le carré 121/49, ce qui donne les deux équations :

5y² - 50y + 121 = u²  et  (2.121/49)y² - (20.121/49)y + 121 = (11v/7)² =w²

On fait alors la différence, comme plus haut, ce qui donne :

(5 - 242/49)y² - (50 - 2420/49)y = u² - w²

ou

(3/49)y² - 30/49y = (u - w)(u + w)


Maintenant, si l'on factorise (3/49)y² - 30/49y n'importe comment, par exemple comme ceci :
(3/49)y² - 30/49y = (3y/49)(y - 10), on ne va pas trouver une solution rationnelle, car les termes constants ne s'annuleront pas.
Il faut écrire :
(3/49)y² - 30/49y = (15y/539)(11y/5 - 22)
De telle façon que le terme constant du deuxième facteur soit égal à 22, le double de la racine de 121.

On pose maintenant comme plus haut
(u - w) = 15y/539 et (u + w) = (11y/5 - 22)
ce qui donne
u = (15y/539 + 11y/5 - 22)/2 = 3002y/2695 - 11

Comme cela le terme constant de u est égal à 11, qui est la racine carrée de 121.

Il ne reste plus qu'à écrire

5y² - 50y + 121 = (3002y/2695 - 11)²
ou
27303121y²/7263025 - 6246y/245 = 0

D'où y = 185162670/27303121

Puis x = y - 6 = 21343944/27303121

et
a = x² + 2x = (21343944/27303121)²+2.21343944/27303121 = 1621076516773584/745460416340641

On a bien
a + 1 = 2366536933114225/745460416340641 = (48647065/27303121)²
2a + 1 = 3987613449887809/745460416340641 = (63147553/27303121)²
5a + 1 = 8850843000208561/745460416340641 = (94078919/27303121)²

Epoustouflant, non ?


Cordialement
Frenicle

Impressionant !

Trop fort ce Fermat ! Et cette fois il ne l'a pas écrit dans la marge

waow ! j'en étais loin, avec mon a < 0 !

j'avais le changement de variable... mais rien d'autre de bien convaincant!

pfiuuu !

bravo frenicle pour ce développement

t'as dîné avec Fermat ces derniers temps ?

mika : non, mais il a échangé de nombreux courriers avec lui

...courriers électroniques, bien sûr !