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_JFF_ Veillée d'armes 
Assis sous sa tente, Alexandre écoutait attentivement le rapport de son espion :
- Majesté, j'ai appris que l'armée de Darius est composée de 9344 phalanges.
- C'est impossible, je suis certain qu'il a moins d'hommes que moi. Mon armée n'a que 6720 phalanges !
- C'est que ses phalanges sont plus petites que les vôtres, Majesté. Mais il lui suffirait d'une seule phalange supplémentaire pour que son armée surpasse la vôtre !
Certains historiens considèrent comme exagérés les récits des chroniqueurs de l'époque, qui attribuent plus d'un million d'hommes à chacune des armées en présence.
Qu'en pensez-vous ?
Réponses en blanké, SVP.
Cordialement
Frenicle
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Minkus,
On est d'accord, j'étais à coté de la plaque..
Merci pour tes explications
@ plus, Chaudrack
Bonjour,
Puisque plus personne ne semble chercher, voici la solution :
Soit a l'effectif d'une phalange d'Alexandre et b celle d'une phalange de Darius.
L'énoncé permet d'écrire :
9344b < 6720a < 9345b.
C'est-à-dire :
146b < 105a
et
64a < 89b
Posons :
105a - 146b = u
89b - 64a = v
u et v sont des entiers strictement positifs, donc supérieurs ou égaux à 1.
En résolvant les équations ci-dessus, on obtient :
a = 146v + 89u
b = 105v + 64u
Donc les plus petites valeurs possibles de a et b sont obtenues en prenant u = v = 1, ce qui donne a = 235 et b = 169, c'est-à-dire que l'armée d'Alexandre a au minimum 1 579 200 hommes et celle de Darius 1 579 136 hommes.
Le même raisonnement permet de prouver le résultat indiqué par Minkus (sans utiliser les fractions continues):
Si deux fractions x/y et z/t sont telles que 0 < x/y < z/t et zy-xt = 1, alors la fraction a/b la plus simple (celle dont le numérateur et le dénominateur sont les plus petits possibles) vérifiant x/y < a/b < z/t est la fraction (x+z)/(y+t).
Merci à tous d'avoir participé 
Cordialement
Frenicle
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