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JFF: vive les inégalités!

Posté par musichien (invité) 25-05-06 à 14:03

bonjour!
Voici un classique, que j'ai beaucoup aimé cherché (comme toutes les inégalités)
Démontrer Nesbitt, soit que la somme cyclique des a/(b+c) est supérieure à 3/2 , pour a,b,c des naturels dont 2 au moins sont non-nuls.
Bonne chance!
(là c'est infaisable niveau term, ou alors c'est trés moche)

Posté par
plumemeteore
re : JFF: vive les inégalités! 25-05-06 à 21:22

la dite somme est (a(a+b)(a+c)+b(a+b)(b+c)+c(a+c)(b+c))/((b+c)(a+c)(a+b) à comparer avec 3/2
quand c et d sont positifs, a/b > c/d ssi ad >bc

en développant :
2a³+2a²c+2a²b+2abc + b³+2b²a+2b²c+2abc + 2c³+2c²a+2c²b+2abc >? 3ac²+3bc²+3abc+3bc²+3a²c+3b²a+3ba²+3abc
2a³+2b³+2c³ >? a²b+a²c+b²a+b²c+c²a+c²b
le premier membres est (a³+b³)+(a³+c³)(+(b³+c³)
et on peut regrouper le deuxième membre en (a²b+ab³)+(a²c+ac²)+(b²c+bc²)
tout groupe du premier membre est supérieur ou égal au groupe correspondant du deuxième membre :
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²) > (ab)(a+b) car (a²-ab+b²) > ab car (a²-ab+b²) = (a-b)²>= 0
tout groupe du premier membre est supérieur ou égaol au groupe correspondant du deuxième groupe selon que les deux nombres en cause sont différents ou égaux

conclusion : Nesbitt est vrai, à moins que les nombres ne soient pas tous les trois égaux, auquel cas la somme serait précisément égale à 3/2.

remarque : on a toujours multiplié les membres d'une inégalité par un nombre positif, ce qui a permis d'en conserver le sens.

Posté par
plumemeteore
re : JFF: vive les inégalités! 25-05-06 à 21:24

post-scriptum : dans mon avant-dernière ligne, supprimer le pas --> ne soient tous les trois égaux

Posté par musichien (invité)re : JFF: vive les inégalités! 27-05-06 à 10:29

baaaa! je l'avais dit que ce serait laid! Mais c'est quand même bien d'avoir trouvé!
Sinon, ya carrément plus "simple" Lorsqu'on a une inégalité avec des fractions, il peut être bon de regarder une certaine forme de Cauchy-Schwartz: On va appeler S la somme en question , P= la somme des a(b+c): alors, S fois P supérieur à (a+b+c)². On passe P dans le membre de droite. Par le réordonnement, P est inférieur à  2 (a² + b² +c²). Par Cauchy toujours, 3 (a² + b² +c²) supérieur à (a+b+c)², donc (a+b+c)²/3 inférieur à (a² + b² +c²). En combinant tout ça, ça donne la bonne inégalité.



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