Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau énigmes
Partager :

JFF : Yin-Yang et cercle inscrit ***

Posté par philoux (invité) 15-02-06 à 12:52

Bonjour,

Une p'tite JFF inspirée de celle de puisea...

Non rancunier (je m'y suis lamentablement planté (4²=4) ), je vous propose cette extension :

Trouver, en fonction de x, le rayon y maximal du cercle inclus dans le Yin-Yang...

Bonne réflexion...

Philoux

JFF : Yin-Yang et cercle inscrit

Posté par
infophile
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:09

Salut philoux

On place le cercle jaune dans le bleu

J'ai dû me planter aussi, parce que je n'ai pas eu à utiliser de 4

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:11

>Kévin (salut)

As-tu démontré que c'était le plus grand cercle ?

Philoux

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:18

Bonjour philoux,

Il serait peut-être préférable que l'énigme de Puisea soit cloturée avant de la décliner, non ?
Je n'en suis pas sûr, mais des explications données sur ce topic pourraient peut-être servir à des participants encore hésitants pour l'énigme en cours

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:20

Tu as raison T_P

j'aurais du attendre un peu => n'hésites pas à le "killer"...

Philoux

Posté par
infophile
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:21

Non c'est pas le plus grand. Faut déjà trouver f(x), puis dériver et étudier les variations de f, mais faut trouver f(x)

Posté par
infophile
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:22

Ok, on remet ça à plus tard alors

Bonjour T_P

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 13:22

Je ne "kille" pas, mais je "lock" donc temporairement ce topic, je le réouvrirais lorsque je verrais l'énigme de Puisea cloturée.

Merci de ta compréhension Philoux

Posté par
Tom_Pascal Webmaster
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 14:00

et voiloù, il ne sera pas resté bloqué très longtemps

Posté par
infophile
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 21:47

Je vois que youpi est connecté, en général il participe aux JFF de philoux, je me permet le "up"

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 21:57

C'est gentil de penser à moi Infophile... Pour le moment je suis effectivement connecté mais je suis pas mal occupée (grâce à bébé).
A première vu l'enigme ne paraît pas si simple que cela, on a effectivement l'impression que le max s'obtient lorsque le cercle jaune est confondue avec l'arc de cercle bleu, mais connaissant les JFF de Philoux rien n'est moins sûr. Mais je vais quand même essayer d'y réfléchir.

Posté par
infophile
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 22:27

C'est normal

Oui je me doute bien que c'est plus tordu que ça connaissant philoux

Une smiley ce mois-ci ? bonne chance

Kévin

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 15-02-06 à 22:37

Merci Kévin,

Je viens effectivement de m'appercevoir, à ma grande surprise, que je suis pour le moment en tête du challenge mensuel.
Mais je m'emballe pas car je me suis déja fait avoir en décembre et en plus la concurrence est très rude encore ce mois ci (on est 7 à égalité de points)!

Sinon concernant la JFF j'ai fais une simulation sur Cabri et je suis prise de doutes car visiblement le max s'obtient bien lorsque y=x. A moins que quelque chose ne m'ait échappé !

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 16-02-06 à 10:01


Je vois que youpi est connecté, en général il participe aux JFF de philoux, je me permet le "up"


Salut Kevin

Youpi(e) ne t'en veut point...

Par ailleurs, je n'ai pas dit que tu avais faux, simplement qu'il faut démontrer que c'est bien le cercle max...

Rien de bien sorcier en considérant l'arc de cercle dont le diamètre est le segment reliant le centre du cercle bleu au point de jonction des cercles rouge et vert...

Philoux

Posté par
infophile
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 16-02-06 à 11:23

Je parlais du membre Youpi

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 16-02-06 à 11:33

Rien de bien sorcier en considérant l'arc de cercle dont le diamètre est le segment reliant le centre du cercle bleu au point de jonction des cercles rouge et vert...

Bonjour Philoux,

Si tu laisse sous-entendre par là que cette arc est le lieu géométrique des centres des cercles tangents à la fois aux cercles vert et rouge, alors c'est faux. Ce n'est pas le cas.

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 12:34

Bonjour Philoux

Je viens de relire mon post d'hier et je me dis qu'après tout j'ai peut-être mal interprété ton indice.
Comment exploites-tu donc cet arc de cercle "dont le diamètre est le segment reliant le centre du cercle bleu au point de jonction des cercles rouge et vert..."

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 12:52

>Youpi

Tu avais très bien interprété mon (pseudo) indice qui n'en est malheureusement pas un !

Tu as tout à fait raison : je comptais exploiter le fait que le lieu géométrique des centres des cercles inscrits était sur le demi cercle indiqué,

mais que nenni !

Ca fait un p'tit moment que je cherche ce lieu, sans aboutir analytiquement !

Est-ce qu'un(e) GM saurait répondre à cette nouvelle formulation de cette JFF :

Quel est le lieu géométrique des centres des cercles inscrits dans le Yin-Yang ?


Je continue de chercher...

Merci à toi, Youpi, de continuer de t'y intéresser...

Philoux

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 16:20

J'ai trouvé une équation cartésienne de ce lieu géométrique.
voici l'équation en question en considérant le repère de centre O (centre du cercle vert) et l'abscisse et l'ordonnée correspondent à l'horizontal et la verticale du dessin.
je remplace le x de l'énoncé par R pour éviter les confusions ainsi x et y sont les abscisses et ordonnées des centres des cercles inscrits.
donc l'équation:
3$ \fbox{y^2+(x+R)^2-(3R-\sqrt{x^2+y^2})^2=0}

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 18:00

Merci Youpi

Je ne pense pas que ton équation soit bonne car en prenant R=1 et en remplaçant dans ma figure, j'obtiens un arc d'ellipse de centre M(-1/2;0) et de grand axe 3/2 sur Ox et petit axe V2 sur Oy

En revanche, si le point M est en (1/2;0) ça marche !

ton équation doit être :

y²+(x-R)²-(3R-rac(x²+y²))²=0

qui se simplifie en :

(x-R/2)²/(3/2)² + y²/(V2) = R² qui est l'équation de l'ellipse citée

Je suis cependant preneur de ton développement...

Philoux

JFF : Yin-Yang et cercle inscrit

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 18:20

Oui tout à fait Philoux c'est une faute de recopie (petite erreur de signe) tu as bien réécrit l'équation  donc je ne le refais pas.

Pour trouver l'équation je n'ai utilisé que le théorème de Phytagore..dès que j'ai un peu de temps je te post le développement.

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 18:22

Merci à toi

Philoux

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 17-02-06 à 20:22

pour info, la différence avec le cercle pointillé rouge...

Philoux

JFF : Yin-Yang et cercle inscrit

Posté par
Youpi
re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 18-02-06 à 09:22

En se basant sur la figure:
on pose :
rayon du cercle bleu=r
rayon du cercle rouge=R
rayon du cercle vert=2R
x et y sont les coordonnées du point B

Ainsi OB=2R-r
et AB=R+r
avec Pythagore on obtient deux équations:
HB²+OH²=OB² <=> y²+x²=(2R-r)²    (1)
et
HB²+AH²=AB² <=> y²+(R-x)²=(R+r)²    (2)

on développe en éliminant de l'expresssion "r" et on arrive à l'équation de l'éllipse.




JFF : Yin-Yang et cercle inscrit

Posté par philoux (invité)re : JFF : Yin-Yang et cercle inscrit *** 20-02-06 à 10:04

Bonjour,

Merci pour ta réponse Youpi; voici, à mon tour, le mode opératoire que j'ai suivi.

Tout d'abord, passons en coordonnées réduites en divisant tout par x (ou R, pour toi) et en prenant une origine de repère en O jonction de rouge et bleu : les demi-cercles rouge et bleu ont un rayon unitaire, le vert a un rayon de 2.

Le point P a des coordonnées paramétriques fonctions de l'angle t=(OA,OP) : xP=1-cost et yP=sint , 0<t<pi
M(X;Y) et r sont tels que MQ=MP=r
OQ=2 => r+V(X²+Y²)=2 et donc r=2-V(X²+Y²)
AM=(1+r)=Y/sint=(1-X)/cost => sint=Y/(1+r) et cost=(1-X)/(1+r)

Appliquons cos²t+sin²t=1

(1-X)²/(1+r)²+Y²/(1+r)²=1 => (1-X)²+Y²=(1+r)²
et remplaçons r par 2-V(X²+Y²)
1-2X+X²+Y²=(3-V(X²+Y²))²=9+X²+Y²-6V(X²+Y²) => 3V(X²+Y²)=4+X
élevons au carré
9(X²+Y²)=16+8X+X² => 8X²-8X+9Y²=16 => 8(X-1/2)²+9Y²=18

(X-1/2)²/(3/2)² + Y²/(V2)² = 1

Equation d'ellipse de centre (1/2;0) et de grand axe 3/2 sur x et petit axe V2 sur y

Si on veut revenir à l'équation avec R, multiplions chaque coordonnée par 1/R :

(X-R/2)²/(3/2)² + Y²/(V2)² = R²

Le plus étonnant, c'est l'expression du rayon du cercle inscrit, qui, en fonction de l'abscisse de son centre M, s'exprime comme r=(2-X)/3 (je ne m'attendais pas à une relation linéaire !).
Ce rayon varie alors de 0 à 2, et le plus grand cercle est bien celui épousant le demi-cercle bleu.

Philoux

JFF : Yin-Yang et cercle inscrit



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !