Bonjour,
Une p'tite JFF inspirée de celle de puisea...
Non rancunier (je m'y suis lamentablement planté (4²=4) ), je vous propose cette extension :
Trouver, en fonction de x, le rayon y maximal du cercle inclus dans le Yin-Yang...
Bonne réflexion...
Philoux
Salut philoux
On place le cercle jaune dans le bleu
J'ai dû me planter aussi, parce que je n'ai pas eu à utiliser de 4
>Kévin (salut)
As-tu démontré que c'était le plus grand cercle ?
Philoux
Bonjour philoux,
Il serait peut-être préférable que l'énigme de Puisea soit cloturée avant de la décliner, non ?
Je n'en suis pas sûr, mais des explications données sur ce topic pourraient peut-être servir à des participants encore hésitants pour l'énigme en cours
Tu as raison T_P
j'aurais du attendre un peu => n'hésites pas à le "killer"...
Philoux
Non c'est pas le plus grand. Faut déjà trouver f(x), puis dériver et étudier les variations de f, mais faut trouver f(x)
Je ne "kille" pas, mais je "lock" donc temporairement ce topic, je le réouvrirais lorsque je verrais l'énigme de Puisea cloturée.
Merci de ta compréhension Philoux
C'est gentil de penser à moi Infophile... Pour le moment je suis effectivement connecté mais je suis pas mal occupée (grâce à bébé).
A première vu l'enigme ne paraît pas si simple que cela, on a effectivement l'impression que le max s'obtient lorsque le cercle jaune est confondue avec l'arc de cercle bleu, mais connaissant les JFF de Philoux rien n'est moins sûr. Mais je vais quand même essayer d'y réfléchir.
C'est normal
Oui je me doute bien que c'est plus tordu que ça connaissant philoux
Une smiley ce mois-ci ? bonne chance
Kévin
Merci Kévin,
Je viens effectivement de m'appercevoir, à ma grande surprise, que je suis pour le moment en tête du challenge mensuel.
Mais je m'emballe pas car je me suis déja fait avoir en décembre et en plus la concurrence est très rude encore ce mois ci (on est 7 à égalité de points)!
Sinon concernant la JFF j'ai fais une simulation sur Cabri et je suis prise de doutes car visiblement le max s'obtient bien lorsque y=x. A moins que quelque chose ne m'ait échappé !
Je vois que youpi est connecté, en général il participe aux JFF de philoux, je me permet le "up"
Salut Kevin
Youpi(e) ne t'en veut point...
Par ailleurs, je n'ai pas dit que tu avais faux, simplement qu'il faut démontrer que c'est bien le cercle max...
Rien de bien sorcier en considérant l'arc de cercle dont le diamètre est le segment reliant le centre du cercle bleu au point de jonction des cercles rouge et vert...
Philoux
Rien de bien sorcier en considérant l'arc de cercle dont le diamètre est le segment reliant le centre du cercle bleu au point de jonction des cercles rouge et vert...
Bonjour Philoux,
Si tu laisse sous-entendre par là que cette arc est le lieu géométrique des centres des cercles tangents à la fois aux cercles vert et rouge, alors c'est faux. Ce n'est pas le cas.
Bonjour Philoux
Je viens de relire mon post d'hier et je me dis qu'après tout j'ai peut-être mal interprété ton indice.
Comment exploites-tu donc cet arc de cercle "dont le diamètre est le segment reliant le centre du cercle bleu au point de jonction des cercles rouge et vert..."
>Youpi
Tu avais très bien interprété mon (pseudo) indice qui n'en est malheureusement pas un !
Tu as tout à fait raison : je comptais exploiter le fait que le lieu géométrique des centres des cercles inscrits était sur le demi cercle indiqué,
mais que nenni !
Ca fait un p'tit moment que je cherche ce lieu, sans aboutir analytiquement !
Est-ce qu'un(e) GM saurait répondre à cette nouvelle formulation de cette JFF :
Quel est le lieu géométrique des centres des cercles inscrits dans le Yin-Yang ?
Je continue de chercher...
Merci à toi, Youpi, de continuer de t'y intéresser...
Philoux
J'ai trouvé une équation cartésienne de ce lieu géométrique.
voici l'équation en question en considérant le repère de centre O (centre du cercle vert) et l'abscisse et l'ordonnée correspondent à l'horizontal et la verticale du dessin.
je remplace le x de l'énoncé par R pour éviter les confusions ainsi x et y sont les abscisses et ordonnées des centres des cercles inscrits.
donc l'équation:
Merci Youpi
Je ne pense pas que ton équation soit bonne car en prenant R=1 et en remplaçant dans ma figure, j'obtiens un arc d'ellipse de centre M(-1/2;0) et de grand axe 3/2 sur Ox et petit axe V2 sur Oy
En revanche, si le point M est en (1/2;0) ça marche !
ton équation doit être :
y²+(x-R)²-(3R-rac(x²+y²))²=0
qui se simplifie en :
(x-R/2)²/(3/2)² + y²/(V2) = R² qui est l'équation de l'ellipse citée
Je suis cependant preneur de ton développement...
Philoux
Oui tout à fait Philoux c'est une faute de recopie (petite erreur de signe) tu as bien réécrit l'équation donc je ne le refais pas.
Pour trouver l'équation je n'ai utilisé que le théorème de Phytagore..dès que j'ai un peu de temps je te post le développement.
pour info, la différence avec le cercle pointillé rouge...
Philoux
En se basant sur la figure:
on pose :
rayon du cercle bleu=r
rayon du cercle rouge=R
rayon du cercle vert=2R
x et y sont les coordonnées du point B
Ainsi OB=2R-r
et AB=R+r
avec Pythagore on obtient deux équations:
HB²+OH²=OB² <=> y²+x²=(2R-r)² (1)
et
HB²+AH²=AB² <=> y²+(R-x)²=(R+r)² (2)
on développe en éliminant de l'expresssion "r" et on arrive à l'équation de l'éllipse.
Bonjour,
Merci pour ta réponse Youpi; voici, à mon tour, le mode opératoire que j'ai suivi.
Tout d'abord, passons en coordonnées réduites en divisant tout par x (ou R, pour toi) et en prenant une origine de repère en O jonction de rouge et bleu : les demi-cercles rouge et bleu ont un rayon unitaire, le vert a un rayon de 2.
Le point P a des coordonnées paramétriques fonctions de l'angle t=(OA,OP) : xP=1-cost et yP=sint , 0<t<pi
M(X;Y) et r sont tels que MQ=MP=r
OQ=2 => r+V(X²+Y²)=2 et donc r=2-V(X²+Y²)
AM=(1+r)=Y/sint=(1-X)/cost => sint=Y/(1+r) et cost=(1-X)/(1+r)
Appliquons cos²t+sin²t=1
(1-X)²/(1+r)²+Y²/(1+r)²=1 => (1-X)²+Y²=(1+r)²
et remplaçons r par 2-V(X²+Y²)
1-2X+X²+Y²=(3-V(X²+Y²))²=9+X²+Y²-6V(X²+Y²) => 3V(X²+Y²)=4+X
élevons au carré
9(X²+Y²)=16+8X+X² => 8X²-8X+9Y²=16 => 8(X-1/2)²+9Y²=18
(X-1/2)²/(3/2)² + Y²/(V2)² = 1
Equation d'ellipse de centre (1/2;0) et de grand axe 3/2 sur x et petit axe V2 sur y
Si on veut revenir à l'équation avec R, multiplions chaque coordonnée par 1/R :
(X-R/2)²/(3/2)² + Y²/(V2)² = R²
Le plus étonnant, c'est l'expression du rayon du cercle inscrit, qui, en fonction de l'abscisse de son centre M, s'exprime comme r=(2-X)/3 (je ne m'attendais pas à une relation linéaire !).
Ce rayon varie alors de 0 à 2, et le plus grand cercle est bien celui épousant le demi-cercle bleu.
Philoux
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