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Ton triangle de Pythagore se simplifie en :
(828000, 828604, 1171396) = 4 × (207000, 207151, 292849) irréductible
(même forme exactement, cotés plus petits).
ratio = 1.000729

En restant dans les mêmes ordres de grandeur des 800000, on trouve :
(803760, 803761, 1136689)
ratio = 1.0000012
qui est le mieux qu'on peut faire dans ces eaux là.

dans les triangles plus petits, on a déja :
(137903, 137904, 195025) < (207000, 207151, 292849), deux fois plus petit que le tiens réduit
ratio = 1.00000725

Bien sûr on peut augmenter indéfiniment la taille du triangle pour avoir un ratio aussi proche de 1 que l'on veut.

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on part des triplets de Pythagore et de leur formule "bien connue" :
x = u² - v²
y = 2uv
z = u² + v²

on veut "à peu près" (u² + v²)/(u² - v²) = 2
et donc après réduction : (u/v) = 1 + 2

on choisit une approximation rationnelle aussi précise que l'on veut de
1 + 2
par exemple je peux prendre "sauvagement" avec 1 + 2 = 2.414213562373
u = 2414213562373 et v = 1000000000000
on aura une erreur de 1 + 2 - 2.414213562373 = 10^(-13) sur "lisoscèlité" du triangle en mettant ces valeurs de u et v pour générer un triplet de Pythagore.

Je peux mettre autant de décimales que je veux dans mon approximation de 1 + 2

On peut aussi choisir v/u = 1/(1 + 2) = 2 - 1 = 0.414213562373095... et par exemple la solution de Watson initialement proposée avec v/u = 0.414 c'est à dire 414/1000

Générer les "meilleures" approximations (la précision la plus grande pour le triangle le plus petit) est une autre histoire.

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Prenons donc un triangle de Pythagore avec les côtés de l'angle droit "le plus voisins possible", donc différent de 1 (on ne peut pas faire moins) :
donc x² + (x + 1)² = y²
qui s'écrit 2x² + 2x + 1 = y², soit (2x + 1)² + 1 = 2y²
ou encore u² - 2y² = -1 en posant u = 2x + 1

Une solution évidente de cette équation est u = 1, y = 1, peu intéressante en ce qui nous concerne car donne x = 0 ! qu'à cela ne tienne :
si u, v est une solution, alors aussi
3u + 4y
2u + 3y

En effet :
(3u + 4y)² - 2(2u + 3y)² = 9u² + 16y² + 24uy - 2(4u² + 12uy + 9y²) = u² - 2y² = -1

Reste que ce que l'on veut c'est x. Chaque u impair donne une valeur de x.
Les formules précédentes u' = 3u + 4y donnent u' impair si u impair et tous les u obtenus ainsi à partir de u = 1 sont donc impairs.

Si on veut, on peut obtenir une relation de récurrence directement en x, y sans passer par u :
x' = (u' - 1)/2 = (3u + 4y - 1)/2 = (3(2x + 1) + 4y - 1)/2 = 3x + 2y + 1
y' = 2u + 3y = 2(2x + 1) + 3y = 4x + 3y + 2
A partir de x = 0, y = 1.

On peut donc générer autant qu'on veut de solutions croissantes de triangles de Pythagore avec les côtés de l'angle droit différant de 1 avec cette suite.
Le ratio étant (x + 1)/x = 1 + (1/x) peut être rendu aussi voisin de 1 qu'on veut.

En partant de u = 1, x = 0, y = 1 un petit coup de tableur donne :

x	x+1	y
0	1	1	(point de départ de la récurence)
3	4	5
20	21	29
119	120	169
696	697	985
4059	4060	5741
23660	23661	33461
137903	137904	195025
803760	803761	1136689
4684659	4684660	6625109
27304196	27304197	38613965
...

On retrouve les solutions que je proposais (137903, 137904, 195025)

Nota : on peut montrer que cette suite en x devient de plus en plus proche d'une progression géométrique de raison 3 + sqrt(8) = 5.828427...
En gros chaque triangle est 6 fois plus grand que le précédent
et la précison "d'isocélité" augmente dans les mêmes proportions d'un facteur 6