Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

Jordanisation

Posté par
Jean1418
22-05-22 à 17:10

Bonjour,
Soit E un \mathbb{C}-espace vectoriel de dimension finie et u\in L(E) nilpotent d'indice de nilpotence p. Soit x\in S non nul, où S est un supplémentaire de \ker(u^{p-1})
Pour mettre un peu de contexte, on a montré précédemment que pour tout k\in [1;p], \ker (u^{k-1}) \oplus Vect (u^{p-k}(x)) \subset \ker (u^k). En particulier, c'est vrai pour k=1. Soit S_p un supplémentaire de \ker (u^{p-1}) \oplus Vect(x) dans \ker (u^p). Il faut montrer qu'il existe S_{p-1} tel que u(S_p) soit inclus dans S_{p-1} et S_{p-1} soit un supplémentaire de \ker (u^{p-2}) \oplus Vect(u(x)) dans \ker u^{p-1}. Je ne parviens pas à construire un tel ensemble. Quelqu'un peut me donner une piste svp ?
J'imagine qu'il faut utiliser quelque part que (u^{p-1},...,u(x),x) est libre, mais je ne vois pas trop.

Posté par
GBZM
re : Jordanisation 22-05-22 à 17:37

Bonjour,

Est-ce que les quotients d'espaces vectoriels te font peur ? Sinon, je pense que c'est la meilleure manière d'aborder ce truc, au moyen de la suite d'applications linéaires injectives

\large E/\ker(u^{p-1})\hookrightarrow \ker(u^{p-1})/\ker(u^{p-2})\hookrightarrow\ldots\hookrightarrow\ker(u^2)/\ker(u)\hookrightarrow\ker(u)
où chacune des p-1 flèches est induite par u.

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 22-05-22 à 17:38

Oui ils me font peur. C'est possible de faire sans svp ?

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 22-05-22 à 17:53

De la même façon, je bloque pour la suite. On peut généraliser la question précédente et montrer qu'on peut construire (S_k)_{k\in [1;p]} telle que S_k soit un supplémentaire de \ker(u^{k-1}) \oplus Vect(u^{p-k}(x)) dans \ker (u^{k}) et tel que u(S_{k+1}) \subset S_k (k<p). Ceci n'a pas l'air dur puisqu'il suffit simplement de répéter le procédé précédent (ce que je saurai faire après avoir répondu à la question précédente). Soit F=Vect(u^{p-1}(x),...,u(x),x). Il faut montrer que (S_1+...+S_p)\oplus F=E. Comment faire ceci ? Le fait que la somme génère E ne me pose pas de souci. C'est le caractère direct qui me pose problème. Je n'arrive pas à montrer que l'intersection est réduite au vecteur nul.

Posté par
GBZM
re : Jordanisation 22-05-22 à 18:10

Dommage. Le travail avec les supplémentaires est un ersatz de quotient (le passage au quotient induit un isomorphisme d'un supplémentaire du sous-espace F sur le quotient par F), mais c'est moins maniable à mon avis. La preuve, tu as du mal à t'y retrouver ici.

Comment je vois les choses : tu as \bar x que tu complètes en une base (\bar x,\bar y_2,\ldots, \bar y_k) de E/\ker(u^{p-1}). Ton S_p est \mathrm{vect}(y_1,\ldots,y_k).
Tu envoies tout ça par u dans \ker(u^{p-1})/\ker(u^{p-2}), tu obtiens une famille libre (puisque le morphisme induit par u est injectif) (\bar{u(x)},\bar{u(y_1)},\ldots, \bar{u(y_k)})  que tu complètes en une base (\bar{u(x)},\bar{u(y_1)},\ldots, \bar{u(y_k)},\bar{z_1},\ldots,\bar{z_\ell}) de \ker(u^{p-1})/\ker(u^{p-2}), et ton S_{p-1} est \mathrm{vect}(u(y_1),\ldots,u(y_k),z_1,\ldots,z_\ell).

Commode, non ? Tu peux reprendre l'idée de compléter la base sans quotient, mais ça sera plus casse-pieds.

Il y a une tendance à penser que les quotients, c'est trop compliqué pour les étudiants et à éviter d'en parler. Morale, les étudiants ont peur des quotients et ne maîtrisent pas cet outil pas si compliqué, en fait, et qui a pourtant bien des avantages !

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 22-05-22 à 18:24

Ok merci, je crois avoir compris. Concernant ma deuxième question, je peux avoir aussi un peu d'aide svp ?

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 22-05-22 à 18:51

Bon en fait en essayant de refaire la démo, je n'y arrive pas. Est-ce possible de ré-exprimer la démo avec un peu moins de quotients svp ?

Posté par
GBZM
re : Jordanisation 22-05-22 à 23:03

Ça, c'est ton boulot a priori.

Un truc pour t'aider : si on a une base (a_1,\ldots, a_n) de F et une base (\bar{b_1,}\ldots,\bar{b_q}) du quotient E/F, on récupère une base (a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots, b_q) de E (autrement dit, (b_1,\ldots,b_q) est une base d'un supplémentaire de F dans E).
Et dans l'autre sens (c'est à peu près ce que je t'ai déjà dit), si on a une base (c_1,\ldots, c_q) d'un supplémentaire de F, alors (\bar{c_1,}\ldots,\bar{c_q}) est une base du quotient.
Ça devrait te permettre de voir comment éliminer les quotients pour ne parler que de supplémentaires (ce qui est contre-nature, à mon avis).

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 23-05-22 à 18:56

Bon je ne vois toujours pas. Je veux faire sans quotient car c'est pas l'esprit du programme ni de mon ds.
Je veux montrer que u(S_p)+ker(u^p-2)+Vect(u(x)) est directe. Ensuite je complèterai cette somme avec un supplémentaire S dans Ker(u^p-1) et je poserai S_p-1=u(Sp)+S. Mais déjà comment montrer que la somme est directe ?

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 23-05-22 à 19:56

bon j'ai essayé par tous les moyens, cette somme est directe mais impossible de le montrer

Posté par
Jean1418
re : Jordanisation 23-05-22 à 20:59

Update : j'ai trouvé.

Posté par
GBZM
re : Jordanisation 23-05-22 à 23:18

Voila, tu as traduit cette partie du discours quotientesque :

GBZM @ 22-05-2022 à 18:10

tu as \bar x que tu complètes en une base (\bar x,\bar y_2,\ldots, \bar y_k) de E/\ker(u^{p-1}). Ton S_p est \mathrm{vect}(y_1,\ldots,y_k).
Tu envoies tout ça par u dans \ker(u^{p-1})/\ker(u^{p-2}), tu obtiens une famille libre (puisque le morphisme induit par u est injectif) (\bar{u(x)},\bar{u(y_1)},\ldots, \bar{u(y_k)})  que tu complètes en une base (\bar{u(x)},\bar{u(y_1)},\ldots, \bar{u(y_k)},\bar{z_1},\ldots,\bar{z_\ell}) de \ker(u^{p-1})/\ker(u^{p-2}), et ton S_{p-1} est \mathrm{vect}(u(y_1),\ldots,u(y_k),z_1,\ldots,z_\ell).



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !