Bonjour,
Soit un -espace vectoriel de dimension finie et nilpotent d'indice de nilpotence . Soit non nul, où S est un supplémentaire de
Pour mettre un peu de contexte, on a montré précédemment que pour tout , . En particulier, c'est vrai pour . Soit un supplémentaire de dans . Il faut montrer qu'il existe tel que soit inclus dans et soit un supplémentaire de dans . Je ne parviens pas à construire un tel ensemble. Quelqu'un peut me donner une piste svp ?
J'imagine qu'il faut utiliser quelque part que est libre, mais je ne vois pas trop.
Bonjour,
Est-ce que les quotients d'espaces vectoriels te font peur ? Sinon, je pense que c'est la meilleure manière d'aborder ce truc, au moyen de la suite d'applications linéaires injectives
où chacune des flèches est induite par .
De la même façon, je bloque pour la suite. On peut généraliser la question précédente et montrer qu'on peut construire telle que soit un supplémentaire de dans et tel que (k<p). Ceci n'a pas l'air dur puisqu'il suffit simplement de répéter le procédé précédent (ce que je saurai faire après avoir répondu à la question précédente). Soit . Il faut montrer que . Comment faire ceci ? Le fait que la somme génère E ne me pose pas de souci. C'est le caractère direct qui me pose problème. Je n'arrive pas à montrer que l'intersection est réduite au vecteur nul.
Dommage. Le travail avec les supplémentaires est un ersatz de quotient (le passage au quotient induit un isomorphisme d'un supplémentaire du sous-espace sur le quotient par ), mais c'est moins maniable à mon avis. La preuve, tu as du mal à t'y retrouver ici.
Comment je vois les choses : tu as que tu complètes en une base de . Ton est .
Tu envoies tout ça par dans , tu obtiens une famille libre (puisque le morphisme induit par est injectif) que tu complètes en une base de , et ton est .
Commode, non ? Tu peux reprendre l'idée de compléter la base sans quotient, mais ça sera plus casse-pieds.
Il y a une tendance à penser que les quotients, c'est trop compliqué pour les étudiants et à éviter d'en parler. Morale, les étudiants ont peur des quotients et ne maîtrisent pas cet outil pas si compliqué, en fait, et qui a pourtant bien des avantages !
Ok merci, je crois avoir compris. Concernant ma deuxième question, je peux avoir aussi un peu d'aide svp ?
Bon en fait en essayant de refaire la démo, je n'y arrive pas. Est-ce possible de ré-exprimer la démo avec un peu moins de quotients svp ?
Ça, c'est ton boulot a priori.
Un truc pour t'aider : si on a une base de et une base du quotient , on récupère une base de (autrement dit, est une base d'un supplémentaire de dans ).
Et dans l'autre sens (c'est à peu près ce que je t'ai déjà dit), si on a une base d'un supplémentaire de , alors est une base du quotient.
Ça devrait te permettre de voir comment éliminer les quotients pour ne parler que de supplémentaires (ce qui est contre-nature, à mon avis).
Bon je ne vois toujours pas. Je veux faire sans quotient car c'est pas l'esprit du programme ni de mon ds.
Je veux montrer que u(S_p)+ker(u^p-2)+Vect(u(x)) est directe. Ensuite je complèterai cette somme avec un supplémentaire S dans Ker(u^p-1) et je poserai S_p-1=u(Sp)+S. Mais déjà comment montrer que la somme est directe ?
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