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Jordanisation de matrice
Bonsoir
J'ai un petit soucis je n'arrive pas à Jordaniser ma matrice alors que je pense avoir compris.
A=[6,0,0,0;-1,7,-1,-2;1,-1,7,2;-1,1,-1,4]
Je trouve (X-6)^4 pour le polynome caractéristique.
Je calcule une base de Ker(A-6I4)
je trouve E6 = vect((1,1,0,0)(-1,0,1,0)(-2,0,0,1))
Ensuite je vois que (A-6I4)² = 0 je pose donc v1 = (1,0,0,0) et v3=(0,1,0,0)
puis je calcule v2 et v4 par v2=(A-6i4)v1 = (0,-1,1,-1) et v4=(A-6I4)v3 = (0,1,-1,1) mais lorsque je fait P^(-1)*A*P sur un logiciel de calcule formel je n'obtiens pas une matrice sous forme de Jordan
Ou est mon erreur svp
bonne soirée
Bonsoir,
Indépendamment de ce que vient de dire ThierryPoma (que je salue), je ne suis pas certain que ker(A) soit de dimension 3...
Effectivement, j'avais pris -1, 7, -1, 2 comme deuxième ligne de la matrice. Faut dire que c'est tellement facile à lire...
@Vialz
Déjà, les vecteurs et
sont liés puisque
, donc ça ne peut pas marcher.
Ici, il faut partir d'une base de l'espace propre, par exemple
,
,
Comme on aura et dito pour les 2 autres, dans une base
, ,la matrice aura ses 3 premières colonnes avec des 6 sur la diagonale.
Reste à déterminer un convenable. La dernière colonne de la matrice doit s'écrire
On écrit que. Le vecteur
convient
Noter que si l'on avait fait un autre choix pour , on aurait abouti à une impossibilité pour
En définitive une matrice de passage est
P=
Reste à vérifier...
Noter que si l'on avait fait un autre choix pour v_3, on aurait abouti à une impossibilité pour v_4
En effet, pour déterminer ce quatrième vecteur de la base adaptée, il faut résoudre un système de 4 équations à 4 inconnues. Le choix de qui fixe les seconds membres, doit donc conduire à un système compatible.
Bonjour
c'est exactement ce qu'expliquait GaBuZoMeu dans le lien cité... si on choisit au pif la base de Ker(A-6I), on a de grandes chances de ne pas tomber sur un vecteur de Ker((A-6I)²)
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