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Niveau 3 *
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Joute n°114 : La moitié de 2013

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
07-07-13 à 12:33

Bonjour à tous,

Il n'y a pas qu'à l'occasion du Nouvel an qu'on peut poser une énigme sur les chiffres de l'année en cours.
On est à la moitié de l'année. Profitons-en !

Question : Trouvez un multiple de 2013 s'écrivant avec moins de 250 chiffres dont la somme est égale à 2013.
S'il existe plusieurs solutions, une seule suffira.

Joute n°114 : La moitié de 2013

Posté par
totti1000
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 13:09

gagnéSalut godefroy,

Je propose :

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999984678

Merci.

Posté par
frenicle
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 13:45

gagnéBonjour Godefroy,

(10^{225}-3)\times2013=20129999...99993961
Ce nombre de 229 chiffres commence par 2012, continue par une suite de 221 chiffres 9 et se termine par 3961.

Le total de ses chiffres vaut 2+0+1+2+(9\times 221)+3+9+6+1=2013

Merci pour la joute

Posté par
Chatof
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 14:23

gagné2013*(10^225-3)
=2012999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999993961
=2012999999...(221 "9")..999993961

2+0+1+2+9*221+3+9+6+1=2013
ce nombre a 229 chiffres

bonjour et merci Godefroy_lehardi

Posté par
geo3
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 14:49

gagnéBonjour
Je crois que 2013*(10225-3) convient
car il commence par 2012 suivi de 221 neufs et se termine par 3961
=> 2+0+1+2+221*9+3+9+6+1 = 2013
A+

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 17:10

perduBonjour Godefroy,
Pour faciliter la lecture:
le nombre est constitué de 227 chiffres
223 chiffres 9
1 chiffre 2 en position 1 (dans la chaine)
1 chiffre 0 en position 2
1 chiffre 1 en position 3
1 chiffre 3 en position 34
         1=>  1,  2,  3, 34<      2013>:
---------|---------|---------|---------|---------|
20199999999999999999999999999999939999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999
---------|---------|---------|---------|---------|

Merci pour la joute

Posté par
masab
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 18:35

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Voici un multiple de 2013 s'écrivant avec moins de 250 chiffres dont la somme est égale à 2013 :

999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995973194719471947194719471947194719471947

Merci pour cette énigme dont la solution n'est pas facile à trouver...

Posté par
Alishisap
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 18:38

gagnéBonjour et merci pour l'énigme !
Je propose le nombre contenant 229 chiffres (je reviens à la ligne pour plus de lisibilité) :

2012999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999993961


Qui est égal à :

2013*99999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999997

Posté par
Alishisap
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 18:48

gagnéPour trouver, j'ai d'abord fait un programme calculant la somme des chiffres d'un nombre, puis j'ai tâtonné manuellement, avec d'immenses nombres pour commencer (avec que des 9, maximalisant la somme), puis en diminuant progressivement jusqu'à trouver 2013.
Trouver le plus petit nombre vérifiant cela avec un programme testant les multiples de 2013 les uns après les autres (ce que j'ai tenté de faire au début) aurait été bien trop long.
Pour être sûr, j'ai vérifié avec .
Mais ma solution n'est je l'admet pas très élégante.

Posté par
carpediem
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 19:36

perdusalut

notons n le nombre de 227 chiffres constitué de 223 neuf suivi de "0001"

alors la somme des chiffres de 2013n est 2013 ...


on aurait pu prendre aussi celui constitué de 228 chiffres commençant par "10000" et suivi de 223 neuf


Posté par
carpediem
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 19:44

perduon remarquera que

2013 = 9 * 223 + 6

et 6 = 2 + 0 + 1 + 3

et le produit de 2013 par le nombre formé de 223 chiffres 9 a pour somme des chiffres 223 * 9

...

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 20:28

gagné699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996699999999996859999899

est un nombre à 237 chiffres divisible par 2013 et dont la somme des chiffres est égale à 2013.

Pour le construire, il faut savoir que
699999999996 = 2013*347739692
et
859999899 = 2013*427223
J'écris 19 fois le premier chiffre, puis une fois le deuxième (ce qui équivaut à des multiplications par des puissances de 10 et qui ne change pas la divisibilité par 2013;

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 20:31

gagnéSoit X=9..9231 (30 fois le chiffre 9 et donc 33 chiffres au total). Ce nombre est un multiple de 2013 et a pour somme 276.
Soit Y= 99 999 994 248 a 11 chiffres au total, est un multiple de 2013 et a pour somme 81.


Donc le nombre constitué par la succession XXXXXXXY (7 fois le X et un fois le Y) est multiple de 2013, et la somme des chiffres est égale à 7*276+81=2013.
Le nombre total de chiffres est 7*33+11=242 chiffres.

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 20:48

gagnéBonjour Godefroy.
Une solution : le nombre commençant par cent vingt chiffres 8, continuant par cent quinze chiffres 9 et se terminant par 33570.
2013 = 61 x 11 x 3 et donc, d'après le théorème de Fermat, un nombre composé de soixante chiffres égaux est divisible par 2013.

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 23:01

perduDésolé,

Ce n'est pas la saison du poisson avec ces 38°.
Une erreur dans mon programme (la routine du mod)!
Je pense que voici le plus petit multiple de 2013 de 225 chiffres
223 chiffres neuf
1 chiffre deux
1 chiffre quatre

9992999999999999999999999999999999999999999999994
9999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999
99999999999999999999999999999

@+

Posté par
RickyDadj
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 23:30

gagnéJe propose le nombre suivant :
98898699889869...98898696039 (la séquence 9889869 apparait en tout 35 fois).
Ce nombre est multiple de 2013, car 9889869 = 2013 * 4913 et 6039 = 2013 * 3.
De plus, 9889869 ayant 7 chiffres, ce nombre en a au total 7*35+4 = 249.
Enfin, la somme des chiffres de 9889869 valant 57, la somme des chiffres de ce nombre vaut (57*35)+(6)+(0)+(3)+(9) = 2013.
Un grand merci pour cette joute, godefroy! Je me suis bien amusé.

Posté par
Alexique
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 07-07-13 à 23:59

gagnéBonjour !

Considérons 69989997 répété 30 fois finissant par 281824026 ie le nombre
2013 \times 2 + 2013 \times 14 \times 10^{4} + \sum_{k=0}^{29} 34769 \times 2013 \times 10^{8k+9}
(désolé, ma méthode de résolution a pas dû être la plus simple...).

Alors, il est clair que ce nombre est multiple de 2013, il possède 8 \times 30 + 9 chiffres ie 249 chiffres et la somme de ses chiffres vaut (en sachant que la somme des chiffres de 69989997 vaut 66) :
66 \times 30 + 2 + 8 + 1 + 8 + 2 + 4 + 0 + 2 + 6 = 2013

Voilà, hâte de voir les réponses pour savoir lequel était le plus petit...

Merci pour l'énigme !

Posté par
torio
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 09:19

gagnéUn multiple possible serait  :

7897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999999863796624

nombre de chiffres :  241
somme des chiffres :  2013

==========
il est construit comme suit :

78979899999 est répété 21 fois et ensuite on colle 98637  et  96624 à la fin

Posté par
torio
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 09:21

gagnéMême réponse, mais nouvelle ,mise en page.


Un multiple possible serait  :

7897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999978979
8999997897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999997897989999
97897989999978979899999789798999997897989999978979899999789798999999863796624


nombre de chiffres :  241
somme des chiffres :  2013

==========
il est construit comme suit :

78979899999 est répété 21 fois et ensuite on colle 98637  et  96624 à la fin

Posté par
rogerd
2013 08-07-13 à 11:27

gagnéBonjour et merci à Godefroy pour cette jolie joute.

Je donne une description du nombre que je propose:

Il est la juxtaposition de 31 tranches de 8 chiffres.
C'est donc un nombre de 248 chiffres.
Les 30 tranches de gauche sont chacune égale à 69989997.
La tranche de droite est égale à 10056948.
La somme des chiffres de ce nombre est
(30 fois 66) +33, soit 2013.
Enfin, chacune des tranches est divisible par 2013, donc le nombre l'est aussi.

Posté par
dpi
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 12:07

perduBonjour,

Il est un multiple tel que
496770988574267261791......
Qui donne des 9 sans interruption
il suffit donc de dire que le résultat recherché
est un nombre composé de 223 9 consécutifs et terminé par 1

223 x 9+1 = 2013

Posté par
dpi
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 12:09

perdu223 x9 +2+0+1+3 =2013

Posté par
rschoon
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 13:46

gagnéBonjour à tous:

Ma réponse :
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996756
(soit 21 fois le chiffre 9 suivi de 6756).

Merci pour l'énigme

Posté par
ksad
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 14:40

gagnébonjour
pas si simple que ça en a l'air...
je propose le nombre suivant :

  859999899 est égal à 427223 x 2013 et ses chiffres font un total de 75.

on peut répéter 26 fois cette séquence (soit 234 chiffres pour un total de 26 x 75 = 1950) et y adjoindre un multiple qui totalise 63. Pour ce dernier, on peut prendre

  159797979 qui est égal à 79383 x 2013.

Au final, ça nous donnera donc :

  859999899[répété 26 fois]159797979

ce qui fera donc 26 x 75 + 63 = 2013, en 243 chiffres.

juste pour le fun, ça donne:
859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899159797979

Posté par
gui_tou
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 19:36

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Ah ! Une énigme le dimanche, je ne l'avais pas vue !

Voici comment j'ai procédé :

Déjà, je vais mettre le plus de 9 possibles au début du nombre, avec 220 "9", ça fait déjà une somme de 1980.
On comble avec quelques "0" derrière (mais pas trop pour ne pas avoir plus de 250 chiffres).
On s'arrange pour avoir un multiple de 2013 (on retranche le reste de la division euclidienne du nombre qu'on a par 2013).
On ajoute à ce nombre k*2013 avec une petite boucle sur k, qui renvoie les nombres qui répondent au problème.

Je me suis un peu emmêlé les pinceaux, mon objectif était de trouver le plus petit nombre qui correspond, mais dans mes calculs je me suis trompé de puissance de 10.

Bon, ma réponse (la vraie à prendre en considération, dans celle du bas je me suis peut-être planté) :

99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999..
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999997266039

il a 227 chiffres.

soit :

\underbrace{9\cdots 9}_{\text{220 fois}}7266039

Merci pour l'énigme

Posté par
Kissouyza
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 08-07-13 à 22:17

perdu8+8+8+8+8+8+8+8+8+8+8..... tout sa 250 fois
Donc 250*8 = 2000
+13
2013
J'ai donc mit 263 nombres

Posté par
littleguy
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 09-07-13 à 11:38

gagnéBonjour,

Une proposition :

Joute n°114 : La moitié de 2013

Posté par
dpi
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 09-07-13 à 15:13

perduBonjour,

J'ai tenu à trouver un multiple...meilleur que mon premier (j'avais des doutes)
je tente donc le nombre de 232 chiffres suivant:
191 chiffre 9 soit 1719
suivent 1 4 0 9999 8 0 1  soit 50
23 chiffres 9  soit 207
suivent 7 9 8 7 2 0 1 3 soit 37
total 1719+50+207+37 =2013

Posté par
roule
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 09-07-13 à 15:19

perduun peu compliqué à écrire :
2013*
329 439 680 525 116 312 098
610 283 787 559 258 197 262
762 475 889 077 694 000 329
439 680 525 116 312 098 610
283 787 559 258 197 262 762
475 889 077 694 000 329 439
680 525 116 312 098 610 283
787 559 258 197 262 762 475
889 077 694 000 329 439 680
525 116 312 098 610 283 787
559 258 197 200 014
=
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 999 999 999 999
999 999 999 916 528 182

Posté par
seb_dji
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 09-07-13 à 17:52

gagnéle multiple de 2013 proposé est: 10^225 - 3244= 9...96756
qui se compose de:
221 "9"
1 "7"
2 "6"
1 "5"
la somme des chiffres fait bien 2013
par ailleurs 10^225 et 3244 sont tous deux égaux à 1231 modulo 2013

Posté par
brubru777
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 09-07-13 à 18:30

gagnéBonjour,

Je propose
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999273020132013
qui comprend 233 chiffres.

9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999

9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999
9999999999

9999999999
9999999999
9273020132
013

Merci pour l'énigme.

Posté par
Tolokoban
Ma proposition 09-07-13 à 23:18

gagné670999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999995303

Après le 670, il y a 221 fois le chiffre 9.

C'est bien un multiple de 2013.

2013 * 333331 = 670995303
2013 * 33333331 = 67099995303
2013 * 3333333331 = 6709999995303
2013 * 333333333331 = 670999999995303
2013 * 33333333333331 = 67099999999995303
2013 * 3333333333333331 = 6709999999999995303

Et 6 + 7 + 5 + 3 + 3 + 221 * 9 = 2013

Pour en arriver là, il faut commencer par remarquer que 2013 / 250 = 8.052
Ca veut dire que la valeur moyenne d'un chiffre de la solution est supérieur à 8 !
Il faut qu'il y ait un sacré grand nombre de 9.

J'ai alors essayé de multiplier par des séries de 111111, puis de 22222 pour finalement trouver que les 33333 donnaient beaucoup de 9.
Malheureusement, je n'arrivais pas à la somme de 2013. Alors j'ai essayé d'ajouter un chiffre à la fin et par chance, le permier a donné la solution.

Posté par
derny
La moitié de 2013 11-07-13 à 08:59

perduBonjour
Problème impossible

Posté par
franz
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 12-07-13 à 08:34

gagné\underbrace{999\cdots 9}_{221\,\times\,9}6756\;=\;10^{225}-3244 répond à la question

Posté par
Bysbo
*challenge solved* 12-07-13 à 10:14

gagnéUne des réponses possibles (je pense qu'il y en a d'autres): 99999999999999999880869999999999999999988086999999999999999998808699999999999999999880869999999999999999988086999999999999999998808699999999999
999999880869999999999999999988086999999999999999998808699999999999999999880869999999999999999988086

En partant du principe que 2468 est divisible par 1234. Si je le colle plusieurs à lui-même, le nombre reste divisible soit 246824682468 EST divisible par 1234.
Car d'un point de vue mathématique:
1234*2=2468
en ajoutant un multiple de 2468 (par exemple 10000 fois plus grand - 2468*10000=24680000):
2468+24680000=24682468
on peut réitérer le principe à l'infini.

Partant de là, j'ai essayer de décomposer un nombre de 250 chiffres maximum en plusieurs sous parties.
Ici, il s'agissait d'un nombre dont la somme de ses chiffres faisait 2013.
On ne pouvait avoir donc qu'un nombre compris entre 00..00699..99 (avec 223 chiffres 9, 1 chiffre 6 et 26 chiffres 0) et 99..99600..00 (même décomposition)

A la recherche d'un produit faisant 250 ou moins, j'ai eu les combinaisons suivantes:

19 chiffres * 13 = 247 chiffres
20 chiffres * 12 = 240 chiffres
25 chiffres * 10 = 250 chiffres
27 chiffres * 9  = 243 chiffres
30 chiffres * 8  = 240 chiffres
31 chiffres * 8  = 248 chiffres

A partir de la il suffisait de trouver un nombre divisible par 2013 de 19, 20, 25, 27, 30 ou 31 chiffres... Partie la plus longue un peu à tâtons je l'avoue, je cherche toujours un raisonnement mathématique simple mais je pars vite dans des calculs compliqués.

Sur ce, bonne journée à tous

Posté par
rijks
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 12-07-13 à 11:50

perduBonjour,
J'ai trouvé ça comme nombre :
86559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865
59865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598
65598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655986559865598655
98655986559
C'est le nombre 86559 répété 61fois (soit 305 chiffres). La somme est bien de 2013. Et comme 86559=2013*23, le nombre ci dessus est bien divisible par 2013.

Posté par
jayahorse
Reponse 12-07-13 à 23:19

perduBonjour,
20130  ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 15-07-13 à 14:35

gagnéBonjour,

699899976998999769989997699899976998999769989997699899976998999769989997699899976998999769989997
699899976998999769989997699899976998999769989997699899976998999769989997699899976998999769989997
6998999769989997699899976998999769989997699899976971019

est un multiple de 2013 :
=
347690003476900034769000347690003476900034769000347690003476900034769000347
69000347690003476900034769000347690003476900034769000347690003476900034769
000347690003476900034769000347690003476900034769000347690003476900034769000
34769000347690003463 2013

Il a 247 chiffres et la somme des chiffres vaut 2013.

Posté par
pierrecarre
Moitié de 2013 16-07-13 à 10:52

gagnéBonjour,

Le nombre N composé de 34 séquences 9889869, suivies des séquences 696498 et 86559 comprend 249 chiffres, est divisible par 2013 puisque 9889869, 696498 et 86559 le sont.
De plus, la somme des chiffres de N est égale à 2013 car 34\times57+42+33=2013

                N=\underbrace{\underbrace{9889869}\dots\underbrace{9889869}}_{34 \textrm{ séquences}}\underbrace{696498}\underbrace{86559}

Bien cordialement,

\pi r^2

Posté par
rijks
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 19-07-13 à 11:39

perduRAHHH j'ai mal lu la question, j'ai cru lire "au moins 250 chiffres".
Sinon un réponse valable :
159797979859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899859999899
C'est le nombre 159797979 (somme=63) suivi de 26 fois le nombre 859999899 (somme=75). Le nombre de chiffre au total est de 243. La somme totale =2013.
Et bien sûr le nombre est divisible par 2013.

Posté par
LittleFox
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 24-07-13 à 10:51

gagnéLe nombre 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999922000101000000000000000000 est multiple de 2013 et contient 249 chiffres dont la somme vaut 2013.

Posté par
LittleFox
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 24-07-13 à 11:27

gagnéVoici l'algorithme utilisé pour la résolution (écrit en ECLiPSe CLP) :

joute114(L) :- joute114(L,249,2013).
joute114(L,N,A) :- length(L,N), L #:: 0..9, sumlist(L,A), multiple(L,A), search(L,0,largest, indomain_max, complete, []), printf("%Dw\n", [L]).

% multiple(L,N) est vrai si le nombre représenté par la liste de chiffres L est un multiple de N.
multiple(L,N) :- modulo(L,0,N,0).

% modulo(L,R,N,M) est vrai si le nombre représenté par la liste de chiffres L additionné avec R*10^lentgh(L), le tout modulo N vaut M.
modulo([]   , R, N, M) :- !, N1 is N-1, modulo(R,N,M).
modulo([X|L], R, N, M) :- !, X1 #= 10*R + X, modulo(X1,N,R1), modulo(L,R1,N,M).

% modulo(X,N,M) est vrai si X = Y*N+M, M appartenant à 0..N-1 (X,Y,N et M sont entiers).
modulo(X,N,M) :- N1 is N-1, M #:: 0..N1, X #= _ * N + M.

L'important était de trouver une méthode de recherche efficace (predicat search au dessus)car le domaine de recherche est immense, il s'est révélé que tenter de mettre les plus grands chiffres possibles d'abord est efficace pour trouver les premières solutions.

Grâce à cet algorithme on trouve que
-il n'existe pas de nombre valide de longueur inférieure à 223 (de toute façon 223*9=207 < 2013).
-il existe des nombres valides de longueur 225 (ex : 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999996756 trouvé en 0.05s)
-Le cas où la longueur est de 224 reste indéterminé (mon programme tourne depuis un bout de temps ^^').

Trouver le nombre minimum est une autre paire de manches et je serai impressionné par ceux qui l'ont trouvé (s'il y en a ^^).

Merci pour cette énigme qui m'a donné fort à réfléchir.

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 24-07-13 à 11:52

gagnéBonjour,
Merci pour cette énigme qui m'a occupé !
Mes notations :
X  le nombre que je propose
St : la somme des chiffres de X
n : le nombre de chiffre de X
S2k : la somme des chiffres de rangs pairs de X
S2k+1 : la somme des chiffres de rangs impairs de X (k=0 correspond aux unités).

X= 9699(30 fois)…1052799…9699(30 fois)
Justifications :
n = (4*30) +7+ (4*30) = 247<250 (consigne respectée)
St = (33*30) + 33 + (33*30) =33*61 = 2013 (consigne respectée)
St = 2013 donc X divisible par 3
S2k+1 = (15*30) + 22 + (18*30)
S2k  = (18*30) + 11 + (15*30)
S2k+1 - S2k = 11, donc X divisible par 11
Division de X par 61
X/61 = 15901590159(30fois)…0017259..0159(30 fois) , donc X divisible par 61
X divisible par 3, 11 et 61 (premiers entre eux) est un multiple de 3*11*61=2013 (consigne respectée).

Posté par
LittleFox
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 24-07-13 à 16:46

gagnéAprès un long calcul (496s soit 8min 16s) malgré une amélioration du programme spécifique aux nombres de longueur 224, j'obtiens qu'il n'y a pas de nombre de longueur 224 multiple de 2013 et dont la somme des chiffres vaut 2013.

L'amélioration est basé sur la constatation que pour avoir 224 chiffres dont la somme vaut 2013, on a soit :
-> 223 '9' et 1 '6' soit 224 possibilités;
-> 222 '9', 1 '8' et 1 '7' soit 224*223 possibilités;
-> 221 '9' et 3 '8' soit 224*223*222/6 possibilités (l'ordre des '8' n'a pas d'importance).
Ce qui réduit le nombre de nombres à tester à 'seulement' 1898400.

Un aperçu du code :

joute114_224(L) :- length(L,224), L #:: 0..9, multiple(L,2013), model(L), printf("%Dw\n", [L]).

multiple(L,N) :- modulo(L,0,N,0).

% modulo(L,R,N,M) est vrai si le nombre représenté par la liste de chiffres L additionné avec le nombre R* 10**lentgh(L), le tout modulo N vaut M et que R appartient à 0..N-1.
modulo([]   , R, N, M) :- !, modulo(R,N,M).
modulo([X|L], R, N, M) :- !, X1 #= 10*R + X, modulo(X1,N,R1), modulo(L,R1,N,M).

% modulo(X,N,M) est vrai si X = Y*N+M, M appartenant à 0..N-1 (X,Y,N et M sont entiers).
modulo(X,N,M) :- N1 is N-1, M #:: 0..N1, X #= _ * N + M.

% model(L) est vrai si la liste L contient 223 '9' et 1 '6', 222 '9', 1 '7' et 1 '8' ou 221 '9' et 3 '8'.
model(L) :- length(L1,223), L1 #:: 9..9, insert(6,L1,L).
model(L) :- length(L1,222), L1 #:: 9..9, insert(7,L1,L2), insert(8,L2,L).
model(L) :- length(L1,221), L1 #:: 9..9, insertList([8,8,8],L1,L).

% insert(X,Y,Z) est vrai si Z est la liste Y dans laquelle a été inséré X.
insert(X,L,[X|L]).
insert(X,[Y|L],[Y|L1]) :- insert(X,L,L1).

% insertList(X,Y,Z) est vrai si les éléments de Z sont ceux de X et Y avec leur ordre dans X ou Y conservé.
insertList([],L,L):- !.
insertList([X|Xs],L,[X|L1]) :- insertList(Xs,L,L1).
insertList(X,[Y|L],[Y|L1]) :- insertList(X,L,L1).

Posté par
LittleFox
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 25-07-13 à 11:07

gagnéC'est encore moi :p

En passant ma liste dans l'ordre inverse, l'algorithme trouve d'abord des petits nombres.
Ce qui permet (en tâtonnant un peu) que le nombre minimal est plus petit ou égal à 439999999999999999999999999999999998999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999.
Et s'il est plus petit alors il commence par 3.

Car ce nombre est le plus petit nombre valide commençant par 4. Et il n'existe pas de nombre valide avec 225 chiffres commençant par 2.

Je continue à chercher dans ce domaine qui rétrécit chaque jour :p

Encore merci pour l'énigme. J'adore

Posté par
LittleFox
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 26-07-13 à 09:36

gagnéEn utilisant une méthode similaire à celle utilisée pour montrer qu'il n'existe pas de solution avec 224 chiffres, j'ai montré (en 316s, soit 5min et 16s) qu'il n'existe pas de nombre valide à 225 chiffres commençant par 3.

Le plus petit nombre multiple de 2013 tel que la somme de ses chiffres égale 2013 est donc 439999999999999999999999999999999998999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

Problème résolu (déjà? ^^')

Encore merci pour l'énigme.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 28-07-13 à 19:04

Clôture de l'énigme :

Bravo à tous ceux qui ont trouvé.

Une mention spéciale à LittleFox qui est allé traquer le plus petit multiple.

Posté par
LittleFox
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 28-07-13 à 19:11

gagnéMerci pour la mention . *fier*

Posté par
carambole
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 28-07-13 à 19:15

Bonjour Godefroy,

attendu que 3923*2013=7896999 dont la somme des chiffres est 57,
et que 3*2013=6039 dont la somme des chiffres est 18,
et que 57*35+18=2013,
et que 35*7+1=246,
une solution au problème est le nombre de 246 chiffres constitué du chiffre 3 suivi de 35 fois les chiffres 0003923.

Il y a d'autres solutions plus courtes avec une partie périodique de longueur 8, par exemple une basée sur 34769*2013=69989997 (somme des chiffres=66) et 43*2013=86559 (somme 33) et comme 2013=30*66+33 le nombre fait 30*8+2=242 chiffres. Il y a peut-être encore mieux mais je n'ai pas cherché avec une période plus grande.

Joli problème, mais la recherche de solution avec excel est très rapîde et il y a sans doute une * de trop.

Merci!

Posté par
carambole
re : Joute n°114 : La moitié de 2013 28-07-13 à 19:17

je vois que je suis hors délais
désolé

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