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Joute n°117 : Les nombres 7-premiers

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
06-08-13 à 11:19

Bonjour à tous,

Quand on écrit des nombres en base 7, on obtient des résultats qui n'ont généralement rien à voir avec le nombre d'origine.
Néanmoins, dans certains cas, si on lit le nombre obtenu comme s'il était écrit en base 10, on peut y trouver des choses intéressantes.

Nous appellerons « nombre 7-premier » un nombre qui est premier à la fois dans son écriture décimale et dans son écriture en base 7.

Par exemple, le nombre premier 59 s'écrit \overline{113}^7 en base 7 (1x7² + 1x7 + 3).
Mais 113 (quand on le lit en base 10) est aussi un nombre premier. Donc 113 est un nombre 7-premier.

En revanche, si on écrit 113 en base 7, on obtient \overline{221}^7 qui n'est pas premier (en base 10).

Le nombre 59 engendre donc un seul nombre 7-premier.

Question : Parmi tous les nombres premiers strictement inférieurs à 10 000 (en base 10), quels sont ceux qui engendrent la plus longue série ininterrompue de nombres 7-premiers différents ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.

Joute n°117 : Les nombres 7-premiers

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 11:32

gagnéBonjour
127 genere la seule chaine de 4 elements

127 241 463 1231 (3406)
Merci

Posté par
ksad
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 11:42

gagnéBonjour
très beau problème... je me lance :
je trouve un seul nombre premier qui engendre 3 nombres 7-premiers différents:
127 --> 241 --> 463 --> 1231

je n'ai trouvé aucune autre série de même longueur (ni plus longue) en partant d'un nombre < 10000.
merci beaucoup pour cette joute et à... après les vacances.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 11:52

gagnéC'est le nombre 127 qui donne la suite la plus longue.

127  -> 241  -> 463  -> 1231  -> 3406 (ce dernier nombre n'étant pas premier)

Solution unique.

Posté par
masab
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 12:01

gagnéBonjour godefroy,

Plus longue série ininterrompue de nombres 7-premiers différents
[127, 241, 463, 1231]
Elle est engendrée par 127.
La solution est unique.

Merci pour tous ces nombres 7-premiers !

Posté par
rschoon
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 12:28

gagnéBonjour à tous.

Le nombre 127 génère une suite de 3 nombres 7-premiers :  241, 463, 1231.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Chatof
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 12:33

gagné127
qui donne :241 puis  463  puis 1231

Bonjour,
et merci Godefroy_lehardi

Posté par
gui_tou
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 13:47

perduBonjour godefroy_lehardi,

La réponse semble triviale : 1,2,3,5 forment chacun une série infinie de nombres 7-premiers.

Si on regarde toutefois les nombres compris entre 7 et 10 000, alors le nombre 127 forme une série de 4 nombres 7-premiers.

Merci!

Posté par
Pepp671
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 15:06

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Merci pour cette énigme ! Voilà ma réponse :

Il existe un seul nombre premier qui engendre la plus longue série ininterrompue de nombres 7-premiers différents et ce nombre est 127. Il engendre la liste suivante : 127, 241, 463, 1231.

Merci pour cette énigme !

Bonne journée

Posté par
Pepp671
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 15:11

gagnéPardon, 1231 ne doit pas être compté dans la liste, il n'est pas premier. Cependant ma réponse reste inchangée, c'est bien 127 qui engendre la plus longue liste

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 16:04

gagnéBonjour Godefroy,

Je n'ai trouvé que le seul premier 127 qui donne la suite           ->241->463->1231
Merci pour la joute

Nb 127=2^7 -1.

Posté par
rijks
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 16:38

perduBonjour,
Je trouve une unique réponse c'est 31 :
31=>43=>61
La plus longue suite c'est 3 numéros.

Posté par
david9333
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 18:43

gagnéBonjour,

ma réponse est : le nombre 127. Il engendre 3 autres nombres premiers : 241,463 et 1231.

Posté par
brubru777
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 19:16

gagnéBonjour,

Je trouve une suite de 4 nombres :

127 241 463 1231

Merci pour l'énigme.

Posté par
derny
Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 22:02

gagnéBonsoir
127

Posté par
geo3
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 06-08-13 à 22:13

gagnéBonjour
Je dirais que 127 est le nombre premier qui
engendre les 3 nombres  7-premiers suivants
241,463,1231.
A+

Posté par
dedef
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 07-08-13 à 16:07

gagnébonjour,

127 génère 3 nombres premiers : 241, 463 et 1231.

Merci.

Posté par
castoriginal
Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 07-08-13 à 16:49

gagnéBonjour,

Apparemment, il n'y a qu'une seule solution :

le nombre premier 127 engendre la série ininterrompue des nombres 7-premiers :

241 - 463 et 1231

Posté par
Alishisap
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 07-08-13 à 18:37

gagnéBonjour,
J'ai failli répondre 2, 3 et 5 qui engendrent une infinité de nombres 7-premiers (qui sont eux-mêmes), heureusement j'ai lu à temps qu'il fallait qu'ils soient différents.
N'empêche, je veux bien un si aucun membre n'a fait l'erreur, à cause de la précipitation.

Donc il n'y a qu'une seule bonne réponse : le nombre 127.
Il engendre les 3 nombres 7-premiers 241, 463 et 1231, et c'est le seul qui en engendre autant.

Voilà, à bientôt.

Posté par
Alishisap
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 07-08-13 à 23:02

gagné

Citation :
le seul qui en engendre autant

Dans l'intervalle [1;10000] sous-entendu.

Mais ce n'est pas vrai dans \N^{+*} : on a par exemple 1247599 qui en engendre 4 : 13414213, 222006331, 5334010531 et 246116225053.

Et il y en a d'autres...

Il serait intéressant de savoir s'il y a une limite ou si c'est infini.

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 08-08-13 à 01:07

gagnéBonjour Godefroy.
127 est le seul à donner la suite la plus longue, de quatre nombres : 127 241 463 1231

Quelques programmes :
écrit les nombres premiers dans la première colonne d'une feuille de tableur
Sub premiers()
Dim prm(1300) As Integer, nprm As Integer, nb As Integer, ndivis As Integer, drapeau As Boolean
prm(1) = 2
Worksheets("Feuil5").Range("A1").Value = 2
prm(2) = 3: nprm = 2: nb = 4
Worksheets("Feuil5").Range("A2").Value = 3
Do While nb < 10000
ndivis = 1: drapeau = True
Do While prm(ndivis) <= CInt(Sqr(nb))
If nb Mod prm(ndivis) = 0 Then
drapeau = False: Exit Do
End If
ndivis = ndivis + 1
Loop
If drapeau = True Then
nprm = nprm + 1
prm(nprm) = nb
Worksheets("Feuil5").Range("A" & nprm).Value = nb
End If
nb = nb + 1
Loop
End Sub

convertit un nombre en base 7
Function base7(nb) As Long
Dim n As Long, rés As Long, reste As Byte, chiffr As Byte
n = nb: chiffr = 0
Do
reste = n Mod 7
rés = rés + reste * 10 ^ chiffr
n = (n - reste) / 7
chiffr = chiffr + 1
Loop Until n = 0
base7 = rés
End Function

détermine si un nombre est premier; dans la négative, donne son plus petit diviseur
Function estpremier(n) As Long
Dim i As Integer, divis As Long
i = 1
Do
divis = Worksheets("Feuil5").Range("A" & i).Value
If divis > CLng(Sqr(n)) Then
estpremier = 0
Exit Do
End If
If n Mod divis = 0 Then
estpremier = divis
Exit Do
End If
i = i + 1
Loop
End Function

Posté par
Alishisap
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 08-08-13 à 10:43

gagnéEncore une imprécision dans mon précédent message.
En effet, ce n'est pas parce qu'il existe au moins un nombre qui engendre plus de 3 nombres 7-premiers qu'il existe d'autre(s) nombre(s) à part 127 qui en engendre(nt) également 3.

La réponse est oui, il y en a d'autres, par exemple 15541 (63211, 352201, 2664553).

Posté par
dpi
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 08-08-13 à 17:55

gagnéBonjour,

Il semblerait que pour un sondage <10000
on trouve 127-->241-->463-->1231

Il faut aller loin chercher un collègue :
15541-->63211-->352201-->2664553

Posté par
pierrecarre
Joute 117 09-08-13 à 12:35

gagnéBonjour,

Ma solution : 127.

Bien cordialement,

\pi r^2

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 09-08-13 à 19:30

gagnéMerci pour cette énigme.
Il me semble que le record est détenu (sans ex-aequo) par :
127 qui engendre 241 - 463 - 1231

Quel casse-tête !

Posté par
papy13
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 10-08-13 à 08:36

perduBonjour

Avec Visual Basic sous Excel :

22 31 43 61
127 241 463 1231
437 1163 3251 12323
1711 4663 16411 65563
2668 10531 42463 234541
4390 15541 63211 352201 2664553
5638 22303 122011 1015501
5762 22541 122501 1020101


Ma réponse est donc 4390

Posté par
papy13
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 10-08-13 à 08:41

perduEt pour les branchés Excel la fonction si ca peut intéresser quelqu'un :

Function baseconv1(Entree)
    Dim Nombre As Long
    Dim ii As Long
    Dim Quotient, Reste As Single
    Dim Result As String
    Quotient = Entree
    Reste = Entree
    Result = ""
    Do While Quotient <> 0
        Reste = Quotient Mod 7
        Quotient = Int(Quotient / 7)
        Result = Reste & Result
    Loop
    Nombre = Val(Result)
    If Nombre Mod 2 = 0 And Nombre <> 2 Then GoTo Non
    If (Right(Str(Nombre), 1) = "0" Or Right(Str(Nombre), 1) = "5") And Nombre <> 5 Then GoTo Non:
    For ii = 3 To Sqr(Nombre) Step 2
      If Nombre Mod ii = 0 Then GoTo Non
    Next ii
    If Entree = Nombre Then Nombre = 0
    baseconv1 = Nombre
    Exit Function
Non:
    baseconv1 = 0
End Function

Posté par
Alexique
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 10-08-13 à 21:35

gagnéBonjour !

Curieusement, je ne trouve que 127 comme solution, celui-ci engendrant ensuite 241, 463 et enfin 1231, tous les 4 premiers.

Merci pour l'énigme !

Joute n°117 : Les nombres 7-premiers

Posté par
LittleFox
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 11-08-13 à 16:19

gagnéLe nombre 127 génère la série 241, 463, 1231 de longueur 3.

Il y a des nombres au delà de 10000 qui engendrent des séries de même longueur. Mais aucun nombre en dessous de 10E6 ne génère de série plus longue. D'où la question subsidiaire, existe t il des série plus longues que 3?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 11-08-13 à 17:27

gagnéBonjour,

j'ai trouvé que c'était 127 (qui engendre 241 ; 463 ; 1231 donc 3 nombres 7-premiers) (puis 3406 qui n'est pas premier)

Posté par
GaBuZoMeu
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 12-08-13 à 17:58

gagné10 000, c'est petit bras !
Tant qu'à faire, faisons travailler Sage pour 1 000 000 :

Joute n°117 : Les nombres 7-premiers

Finalement, on ne fait pas plus long que [127, 241, 463, 1231] (la seule de longueur 4 en-dessous de 10 000).

Posté par
keitaro57
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 12-08-13 à 22:24

gagnéLe nombre premier (inférieur à 10000 en base 10) qui engendre le plus de nombres 7-premiers est le 127.
Les nombres 7-premiers engendrés sont: 241, 463 et 1231

Posté par
lo5707
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 14-08-13 à 19:23

gagnéBonjour,

je trouve une seule solution :

127 --> 241 --> 463 --> 1231

merci pour cette énigme

Posté par
albatros63
joute 117 16-08-13 à 10:08

gagnéRéponse
127 241 463 1231

Cordialement

Posté par
jose404
Réponse à la joute N°117 16-08-13 à 15:42

gagnéBonjour à tous,

Je pense avoir trouvé la réponse, il s'agit du nombre 127 qui engendre 3 nombres 7-premiers.
Effectivement :

127 est premier et il s'écrit "241" en base 7 ;
241 est premier et il s'écrit "463" en base 7 ;
463 est premier et il s'écrit "1231" en base 7 ;
1231 est premier et il s'écrit "3406" en base 7 (et 3406 n'est pas un nombre premier).

Les autres nombres premiers inférieurs à 10 000 n'engendrent au plus que 2 nombres 7-premiers
Voici la liste des autres nombres premiers avec la longueur de la série correspondante (différente de zéro).

  Nombres  Longueur série
    17.      1.  
    29.      1.  
    31.      2.  
    43.      1.  
    59.      1.  
    71.      1.  
    127.     3.
    157.     1.  
    197.     1.  
    211.     1.  
    227.     1.  
    239.     1.  
    241.     2.  
    337.     1.  
    353.     1.  
    367.     1.  
    379.     1.  
    409.     2.  
    463.     1.  
    491.     1.  
    563.     1.  
    577.     1.  
    619.     1.  
    647.     2.  
    743.     1.  
    757.     2.  
    773.     1.  
    787.     1.  
    857.     1.  
    911.     1.  
    953.     1.  
    967.     2.  
    1093.    1.  
    1123.    1.  
    1163.    2.  
    1193.    1.  
    1249.    2.  
    1303.    1.  
    1373.    1.  
    1429.    1.  
    1459.    1.  
    1471.    1.  
    1499.    1.  
    1583.    1.  
    1597.    2.  
    1613.    1.  
    1627.    1.  
    1669.    1.  
    1697.    1.  
    1723.    1.  
    1879.    1.  
    1933.    1.  
    2089.    1.  
    2129.    1.  
    2131.    1.  
    2143.    1.  
    2213.    1.  
    2243.    1.  
    2269.    1.  
    2339.    1.  
    2341.    1.  
    2549.    1.  
    2551.    1.  
    2579.    1.  
    2621.    1.  
    2647.    1.  
    2731.    1.  
    2803.    1.  
    2927.    1.  
    2957.    1.  
    2971.    1.  
    3137.    1.  
    3167.    1.  
    3181.    1.  
    3221.    1.  
    3251.    1.  
    3307.    2.  
    3319.    1.  
    3361.    1.  
    3389.    1.  
    3391.    1.  
    3433.    1.  
    3461.    1.  
    3557.    1.  
    3671.    1.  
    3797.    1.  
    3853.    1.  
    3907.    1.  
    3923.    1.  
    4021.    1.  
    4049.    1.  
    4091.    2.  
    4159.    1.  
    4243.    1.  
    4259.    1.  
    4273.    1.  
    4397.    1.  
    4441.    1.  
    4483.    2.  
    4649.    1.  
    4651.    1.  
    4663.    2.  
    4679.    1.  
    4691.    2.  
    4789.    1.  
    4817.    2.  
    4861.    1.  
    4943.    1.  
    4973.    1.  
    4987.    1.  
    5153.    1.  
    5167.    1.  
    5209.    1.  
    5309.    1.  
    5393.    1.  
    5407.    1.  
    5449.    1.  
    5741.    1.  
    5813.    1.  
    5839.    1.  
    5869.    1.  
    6121.    1.  
    6217.    1.  
    6247.    1.  
    6581.    1.  
    6653.    1.  
    6679.    1.  
    6779.    1.  
    6791.    1.  
    6863.    1.  
    6917.    1.  
    6947.    1.  
    6961.    1.  
    7001.    1.  
    7211.    1.  
    7213.    1.  
    7309.    1.  
    7591.    1.  
    7717.    2.  
    7841.    1.  
    8011.    1.  
    8039.    1.  
    8053.    1.  
    8081.    1.  
    8093.    1.  
    8179.    1.  
    8191.    1.  
    8221.    1.  
    8291.    1.  
    8317.    1.  
    8387.    1.  
    8431.    1.  
    8501.    1.  
    8527.    1.  
    8543.    1.  
    8597.    1.  
    8599.    1.  
    8641.    1.  
    8681.    1.  
    8821.    1.  
    9103.    2.  
    9157.    1.  
    9187.    1.  
    9437.    1.  
    9439.    1.  
    9551.    1.  
    9649.    1.  
    9661.    1.  
    9689.    1.  
    9787.    1.  
    9817.    1.  
    9871.    1.  

Merci pour cette joute qui montre l'intérêt de l'algorithmique.
José.
----

Posté par
littleguy
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 17-08-13 à 15:30

gagnéBonjour,

Je n'ai trouvé qu'une seule solution, 127 (qui engendre 241, 463 et 1231).

Posté par
mathart
7premiers 17-08-13 à 21:37

gagnéj'ai profité de cette joute pour depoussiéré ma ti nspire
...
mon programme me donne le nombre 127 engendre la plus longue liste de nombre 7 premiers 241, 463 et 1231
donc 127 engendre 3 nombres 7premiers

Posté par
torio
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 19-08-13 à 08:27

gagnéLa série la plus longue est obtenue avec le nombre 127

127, 241, 463, 1231

A+
Torio

Posté par
frenicle
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 21-08-13 à 13:58

gagnéBonjour Godefroy

Je ne trouve qu'une solution :

127 qui engendre les trois nombres premiers 241, 463 et 1231.

(Sans conviction, mais je n'ai pas le temps de vérifier les calculs...)

Merci pour la joute

Posté par
franz
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 21-08-13 à 14:19

gagnéParmi les nombres inférieurs à 10000, 127 engendre la série de nombres “7premiers” la plus longue (241, 463, 1231)

Posté par
Raphi
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 22-08-13 à 19:14

gagnéje penche pour une solution 127

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 28-08-13 à 08:55

Clôture de l'énigme :

Il existe effectivement des séries plus longues (Alishisap en a trouvé une ).

Si quelqu'un veut chercher la plus longue possible, bon courage !

Posté par
Pepp671
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 28-08-13 à 09:08

gagnéBonjour à tous !

J'ai simplement une question, pour chipoter peut-être mais tout de même, 1231 est-il vraiment 7-premier ? Car 3406 n'est pas premier. La réponse reste bien sûr la même, mais je me posais la question

Bonne journée

Posté par
gui_tou
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 28-08-13 à 16:34

perduAh zut, j'aurais dû relire l'énoncé !

Posté par
Chatof
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 28-08-13 à 23:23

gagnéUne série de 6 (avec Xcas ):
13587367,223330213,5351163331,246415065163,23542252331461,4646604650033233

Posté par
LittleFox
re : Joute n°117 : Les nombres 7-premiers 29-08-13 à 11:07

gagnéIl faut arriver à exploiter ceci :

Pour que n soit un nembre d'une telle série (excepté le dernier), il faut que :
- n soit premier
- n' = \sum_{i=0}^{\inf}(\lfloor{\frac{n}{7^i}}\rfloor\mod 7) 10^i soit premier.

Ce qui ne me semble pas évident du tout.

Et je ne trouve pas de raison pour limiter le n original. Ce qui donne un nombre de candidats infini et donc impossible à vérifier.

Il y a certaines questions qui n'ont pas de réponses, faudra faire avec .

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 105:36:09.
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