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Joute n°125 : Equerre et rapporteur

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
07-11-13 à 16:14

Bonjour à tous,

Dessinons un triangle rectangle ABC à l'intérieur d'un demi-cercle de diamètre AC, puis un demi-cercle de diamètre BC coupant le segment [AC] (voir l'exemple ci-dessous).
L'angle entre CA et CB sera noté x, compris entre 0 et /2.
On a ainsi défini deux zones de couleur bleue et rouge.

Joute n°125 : Equerre et rapporteur

Question : Pour quelles valeurs exactes de x le quotient de la surface bleue par la surface rouge est-il égal à ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 16:57

gagnéSalut

Nul en géométrie, je me lance quand même.

x=acos(1/sqrt(pi))

ou pi vaut la variable pi
acos arccosinus (inverse du cosinus)
et sqrt la racine carrée.

Soit environ 55,65°

Evidemment, la valeur symétrique -x convient également

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 17:05

perduJ'ai essayé d'intégrer ... puis j'ai abandonné....
On peut considérer que les deux zones sont homothétiques dans un rapport de 1/cos(x).
Donc les surfaces le sont dans un rapport 1/cos2(x).
La rapport étant égal à , on a 1/cos2(x)=
soit cos(x)=1/ puisque cos(x)>0.
Donc x=0,9713 rd(ou 55,654°)

Posté par
rschoon
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 17:57

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : \arccos(\sqrt(1/\pi)).

Merci pour l'énigme.

Posté par
masab
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 18:11

gagnéBonjour godefroy,

Il y a une seule solution

               x=\arccos\frac{1}{\sqrt{\pi}}

Mais peut-on appeler valeur exacte une telle valeur ?

Posté par
torio
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 18:37

gagné  

Joute n°125 : Equerre et rapporteur

Posté par
pi-phi2
avec le pied de la hauteur. 07-11-13 à 18:50

gagnébonjour

la hauteur issue de B coupe AC en H . Et les triangles rectangles ABC & CHB sont semblables.

Ainsi leur rapport  r  peut s'écrire: r = \frac{1}{\cos{x}}

le rapport de leurs aires se formule donc: r^2 = \frac{1}{{\cos{x}}^2}

C'est aussi le rapport des 2 aires : r^2 = \frac{\text{aire bleue}}{\text{aire rouge}}

Et  r^2 = \frac{1}{{\cos{x}}^2} = \pi

Alors x = \arccos{\frac{1}{\sqrt\pi} \approx  55.654 °

Posté par
franz
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 19:39

gagné\large x=\arccos(\frac 1 {\sqrt \pi})

Posté par
derny
Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 21:22

perduBonsoir.
x = arc cos (1/pi)

Posté par
geo3
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 21:39

gagnéBonsoir
x = arccos(1/)
belle enigme
A+

Posté par
mathbis
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 21:52

gagnéla partie rouge est une réduction de la partie bleue  de rapport cos(x) et donc cos2(x)=1/

x=arccos(1/)

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 07-11-13 à 22:44

gagnéBonsoir Godefroy,

x=arccos(1/)

Merci pour la joute


Pq bleu,blanc,rouge et pas rouge,jaune et noir?

Posté par
dpi
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 08-11-13 à 08:35

perduBonjour

Je me méfie de valeur exacte

Je ne trouve pas une valeur remarquable pour x
à part en ° Décimaux
55.6539665431

Posté par
ksad
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 08-11-13 à 11:56

gagnéBonjour

Je trouve pour x une valeur non-rationnelle, ce qui m'ennuie un peu pour donner une valeur "exacte"
Je peux toutefois proposer la valeur selon l'expression suivante:

x = \mathrm{arccos}\sqrt{\frac{1}{\pi}} = \frac{1}{2}\ \mathrm{arccos}(\frac{2}{\pi}-1) \approx 0.9713449580234\dots

cela sent donc le poisson... mais je tente le coup quand même.
Merci pour la joute et à bientôt

Posté par
frenicle
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 08-11-13 à 14:47

gagnéBonjour Godefroy,

Les surfaces bleue et rouge étant semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés des segments BC et DC (où D est la deuxième extrémité du segment rouge).

On doit donc avoir \frac{BC^2}{DC^2} = \pi c'est-à-dire \cos x = \frac{1}{\sqrt{\pi}}.

Autrement dit :

\large  x=\arccos\frac{1}{\sqrt{\pi}}

(un peu moins de 56°)

Merci pour la joute

Posté par
Alexique
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 08-11-13 à 20:08

gagnéBonjour,

il n'y a qu'une seule solution à savoir arcos(\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}).

Merci pour l'énigme.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 09-11-13 à 00:30

gagnéBonjour Godefroy,

x étant compris entre 0 et /2, il n'y a qu'une solution :   x=\arccos\left(\dfrac1{\sqrt{\pi}}\right)

(le rapport des aires des deux segments est simplement le carré du rapport des diamètres de leurs cercles)

Posté par
mathart
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 09-11-13 à 04:27

gagnéx=cos-1(-0.5) est la seule valeur exacte comprise entre 0 et /2

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 10-11-13 à 01:08

gagnéBonjour Godefroy.
arccos(1/√pi)
environ 55,65 degrés

Posté par
dpi
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 10-11-13 à 12:59

perduPrécision..

Etant turlupiné par "valeur exacte"
Je donne l'approche qui permet d'en être sûr:
On trouve Cos² x= 1/
cos x = 1/
x en degés décimaux 55.35396655 etc...

Posté par
13matou
Equerre et raporteur 10-11-13 à 20:43

gagnéBonjour à tous.
Je propose
x= Arc cos(1/pi^0.5)
soit environ 55,654 degrés

Posté par
LittleFox
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 13-11-13 à 10:34

gagnéLorsque x vaut acos(\sqrt{\frac{1}{\pi}}) le quotient de la surface bleue par la surface rouge est égal à .

En effet le quotient de la surface bleue par la surface rouge vaut (\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}})^2 = \frac{1}{cos^2(x)}.

Note : j'ai réellement calculé les deux surfaces séparément avant de m'apercevoir de cela ^^'

Posté par
Zakoji
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 14-11-13 à 23:27

gagnéAu pif, disons Arccos(1/racine(Pi)) ?

Posté par
seb_dji
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 20-11-13 à 15:47

perduje trouve:
cos(x)=1/racine(π)
ce qui fait à peu près x=0.971

Posté par
rijks
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 20-11-13 à 16:03

gagnéEn m'y reprenant pas mal de fois je trouve comme unique solution : arccos ((1/)) 0.971345 radians

Posté par
ming
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 22-11-13 à 00:32

gagnébonjour

A première vue, les Aires A et B sont proportionnelles aux aires des disques de rayons R et Rcosx donc au carré de leurs rayons.
x = arccos (1/)

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 28-11-13 à 09:42

gagnéBonjour,
Avec une assurance modérée, je dirais que x=arccos(1/)

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 29-11-13 à 18:28

Clôture de l'énigme :

Tout le monde avait trouvé mais certains n'ont pas vraiment répondu à la question.

Dire que cosx = 1/, ce n'est que l'avant-dernière étape de la démarche.
Or, ce qu'on cherche, c'est x.

Posté par
dpi
re : Joute n°125 : Equerre et rapporteur 01-12-13 à 10:08

perduBonjour,

j'en étais sûr
Je suis obsédé par le résultat concret réel
(50 ans de vie concrète)
et j'ai oublié l'esthétisme initial des maths.

Poisson accepté ,mais grrr

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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0 0

Temps de réponse moyen : 84:07:53.
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