Bonjour à tous,
Le calife Al-Ghor It'm Rekhur Sif a épousé 10 femmes de toute beauté et dotées d'un excellent esprit mathématique.
Chaque soir, il convie l'une d'elles à passer la nuit avec lui. Mais, pour rompre la routine, il décide un jour de les accueillir suivant la logique suivante :
Chaque épouse a un rang de mariage (la première qu'il a épousée a le rang n°1, la plus récente a le rang n°10).
L'épouse qui le rejoindra au cours de la nuit N sera celle dont le rang est égal au reste de la division par 11 du produit des rangs des deux épouses qui l'ont précédée lors des nuits N-1 et N-2.
Par exemple, s'il a passé la nuit avec l'épouse de rang 8 puis, le lendemain, avec celle de rang 5, la suivante sera celle de rang 7 (puisque 8x5 = 40 = 3x11 + 7).
Rien n'interdit qu'une même épouse soit invitée plusieurs fois, même à la suite.
Après leur avoir annoncé la règle, il leur laisse cependant décider quelles seront les deux premières à être invitées par leur seigneur et maître.
Comme elles ne sont pas jalouses entre elles, elles vont donc chercher un moyen pour être toutes choisies le plus rapidement possible.
Question : Quelles sont les deux épouses que le calife doit inviter au début (et dans quel ordre) pour que toutes aient été invitées au moins une fois dans un temps minimum ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.
Salut godefroy,
Je propose les couples suivants où le premier élément est la première épouse invitée :
(3;7), (4;8), (5;2) et (9;6).
Merci.
J'ai trouvé 4 possibilités où le calife voit toutes ses femmes en seulement 19 nuits:
Une nuit avec la femme de rang 3, puis la femme de rang 7.
Une nuit avec la femme de rang 4, puis la femme de rang 8.
Une nuit avec la femme de rang 5, puis la femme de rang 2.
Une nuit avec la femme de rang 9, puis la femme de rang 6.
4 solutions (19 nuits chacunes):
Commence par 3 et ensuite 7
[3, 7, 10, 4, 7, 6, 9, 10, 2, 9, 7, 8, 1, 8, 8, 9, 6, 10, 5]
Commence par 4 et ensuite 8
[4, 8, 10, 3, 8, 2, 5, 10, 6, 5, 8, 7, 1, 7, 7, 5, 2, 10, 9]
Commence par 5 et ensuite 2
[5, 2, 10, 9, 2, 7, 3, 10, 8, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 3, 7, 10, 4]
Commence par 9 et ensuite 6
[9, 6, 10, 5, 6, 8, 4, 10, 7, 4, 6, 2, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 3]
Bonjour godefroy,
Il y a 4 solutions.
Voici les deux épouses que le calife doit inviter au début :
[2, 2]
[6, 6]
[7, 7]
[8, 8]
Merci pour cette énigme arithmétique !
Bonjour à tous.
Il y a 4 solutions : Le calife doit inviter dans l'ordre les épouses (1,2) ou (1,6) ou (1,7) ou (1,8).
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
Le harem doit s'entendre pour que la première nuit
soit réservée à l'épouse N4 et la seconde à l'épouse N8
4 8 10 3 8 2 5 10 6 5 8 7 1 7 5 2 10 9
Il faudra donc 19 nuits pour toutes les satisfaire (certaines sont gâtées)
Bonjour
Je trouve 4 possibilités donnant lieu à une séquence de durée minimale, soit 19 nuits.
Voici les 4 séquences de rangs, avec les rangs des deux premières épouses indiqués en gras:
a) 3, 7, 10, 4, 7, 6, 9, 10, 2, 9, 7, 8, 1, 8, 8, 9, 6, 10, 5
b) 4, 8, 10, 3, 8, 2, 5, 10, 6, 5, 8, 7, 1, 7, 7, 5, 2, 10, 9
c) 5, 2, 10, 9, 2, 7, 3, 10, 8, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 3, 7, 10, 4
d) 9, 6, 10, 5, 6, 8, 4, 10, 7, 4, 6, 2, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 3
Merci pour la joute !
Bonsoir Godefroy,
4 solutions à 19 nuits:
(3,7) nb= 19<CGJDGFIJBIGHAHHIFJE> 3 7 10 4 7 6 9 10 2 9 7 8 1 8 8 9 6 10 5
(4,8) nb= 19<DHJCHBEJFEHGAGGEBJI> 4 8 10 3 8 2 5 10 6 5 8 7 1 7 7 5 2 10 9
(5,2) nb= 19<EBJIBGCJHCBFAFFCGJD> 5 2 10 9 2 7 3 10 8 3 2 6 1 6 6 3 7 10 4
(9,6) nb= 19<IFJEFHDJGDFBABBDHJC> 9 6 10 5 6 8 4 10 7 4 6 2 1 2 2 4 8 10 3
Merci pour la joute
Bonjour
Malheureusement je n'ai pas pu tester ma réponse dans la vie réelle (pas assez de maitresses, en fait aucune...)
Donc je suis défavorisé.
j'ai trouvé 4 possibilités :
3 et 7
4 et 8
5 et 2
9 et 6
il faudra 19 nuits
Bonjour Godefroy.
Les quatre meilleurs débuts sont 3-7 ; 4-8; 5-2; 9-6. Toutes les épouses sont choisies en dix-neuf nuits.
Programme en Visual Basic :
Sub rest11()
Dim i As Byte, j As Byte, a As Byte, b As Byte, f(10) As Boolean, fait As Byte, compte As Byte, meill As Byte, r As Byte, k As Byte
meill = 200
For i = 1 To 10
For j = 1 To 10
If j <> i Then
For k = 1 To 10
f(k) = False
Next k
f(i) = True: f(j) = True: fait = 2
a = i: b = j
compte = 2
While fait < 10 And compte < meill
compte = compte + 1
r = a * b Mod 11
If f(r) = False Then
f(r) = True
fait = fait + 1
End If
a = b: b = r
Wend
If fait = 10 Then
meill = compte
MsgBox (i & " " & j & " " & meill)
End If
End If
Next j
Next i
End Sub
Quel diable d'homme ce Godefroy ! "Rompre la routine"... avec dix amantes !
Il n'a décidément pas volé son surnom de hardi...
Pour recevoir la visite de chacune des dix épouses au moins une fois, le Calife devra patienter 15 nuits, et recevoir pour cela en premier (au choix) :
l'épouse n°2 deux nuits de suite,
l'épouse n°6 deux nuits de suite,
l'épouse n°7 deux nuits de suite,
l'épouse n°8 deux nuits de suite.
Merci pour cette énigme qui laisse rêveur ...
Les deux épouses que le calife doit inviter au début pour que toutes aient été invitées au moins une fois dans un temps minimum sont la 5ème et la 2ème, ou la 9ème et la 6ème, ou la 3ème et la 7ème, ou bien la 4ème et la 8ème. Dans tous les cas, il faudra 19 nuits.
Pour plus de clarté, les solutions sont :
(5,2) ce qui donne [5, 2, 10, 9, 2, 7, 3, 10, 8, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 3, 7, 10, 4]
(9,6) ce qui donne [9, 6, 10, 5, 6, 8, 4, 10, 7, 4, 6, 2, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 3]
(3,7) ce qui donne [3, 7, 10, 4, 7, 6, 9, 10, 2, 9, 7, 8, 1, 8, 8, 9, 6, 10, 5]
(4,8) ce qui donne [4, 8, 10, 3, 8, 2, 5, 10, 6, 5, 8, 7, 1, 7, 7, 5, 2, 10, 9]
Quatre solutions sont possibles.
Les deux épouses que le calife doit inviter au début sont (dans l'ordre) : 3-7 ou 4-8 ou 5-2 ou 9-6.
Première fois que je participe à une énigme.
Je me suis inscris aujourd'hui même pour m'amuser.
Selon moi,
Les femmes seront satisfaites si :
-la femme de rang 3 est choisie pour la 1ere nuit et la femme de rang 7 est choisie pour la 2e nuit
-la femme de rang 4 est choisie pour la 1ere nuit et la femme de rang 8 est choisie pour la 2e nuit
-la femme de rang 5 est choisie pour la 1ere nuit et la femme de rang 2 est choisie pour la 2e nuit
-la femme de rang 9 est choisie pour la 1ere nuit et la femme de rang 6 est choisie pour la 2e nuit
Il faudra alors 19 nuits
J'ai pour habitude de travailler en matlab, j'ai utilisé le code suivant :
Bonjour,
Je trouve 4 réponses possibles :
Les femmes :
9 puis 6
5 puis 2
4 puis 8
3 puis 7
Pour ces 4 couples, c'est au bout de la 19eme qu'il aura vu tout le monde
Bonjour,
Un peu "hardie" cette joute, godefroy !
Je propose soit la 3 puis la 7 (j'ai un peu honte de m'exprimer ainsi), soit la 4 puis la 8, soit la 5 puis la 2, soit la 9 puis la 6.
Si je me suis trompé, je ne m'en voudrai pas sur ce coup-là.
les épouses dans l'ordre pour que toutes puissent passer au moins une fois en 19 jours sont:
3 puis 7 ou
4 puis 8 ou
5 puis 2 ou
9 puis 6
4 couples de solutions répondent à la question.
Le calife peut passer une nuit avec chacune de ses épouses au bout de 19 nuits si les épouses des 2 premières nuits "portent" dans l'ordre les n° :
5 , 2
3 , 7
4 , 8
9 , 6
Dans les 4 cas, en continuant ce processus, les épouses n° 1, 3, 4, 5 et 9 passent en moyenne 1 nuit sur 15 avec le sultan tandis que les épouses 2, 6, 7, 8 et 10 en passent 2 sur 15.
Bonjour,
Des numéros pour des épouses, quelle élégance!
Pour les calculs, ça facilite quand même la vie.
Quatre cas répondent à la demande en 19 nuits:
3 et 7, ou 4 et 8, ou 5 et 2, ou 9 et 6.
A noter que c'est la dernière élue qui fait systematiquent partie des plus "gatées" avec 3 nuits. Toujours les mêmes: 3, 8 et 18èmes nuits. Serait-ce son jeune âge?
Merci pour la joute.
Bonjour,
je propose les 4 couples (ordonnés bien sûr) suivants :
(3,7) (4,8) (5,2) et (9,6). Il faudra seulement 19 nuits pour qu'elles aient toutes été "invitées"...
Merci pour l'énigme
Bonjour godefroy_lehardi,
Je trouve que le calife doit inviter les couples d'épouses : s'il veut passer nuits en ayant dormi (?) avec toutes ses épouses.
J'ai lancé 90 fois une boucle tronquée à 22 itérations (s'il commence par 1 et 2).
De quoi vouloir devenir calife à la place du calife
Bonjour et merci pour cette énigme!
Je pense que le calife doit inviter son épouse de rang 9 puis celle de rang 6. Ainsi au bout du 18ième jour, toutes les épouses auront été invitées.
Bonjour
Il existe 4 chemins de même longueur qui minimisent le trajet
Ces 4 chemins démarrent par
2,2-6,6-7,7-8,8
Grand merci pour cette belle énigme
Bonjour
Les 4 meilleures solutions sont (3,7) (4,8) (5,2) (9,6) qui permettent aux 10 epouses d'etre choisies en 19 nuits
4 solutions :
[3, 7, 10, 4, 7, 6, 9, 10, 2, 9, 7, 8, 1, 8, 8, 9, 6, 10, 5]
[4, 8, 10, 3, 8, 2, 5, 10, 6, 5, 8, 7, 1, 7, 7, 5, 2, 10, 9]
[5, 2, 10, 9, 2, 7, 3, 10, 8, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 3, 7, 10, 4]
[9, 6, 10, 5, 6, 8, 4, 10, 7, 4, 6, 2, 1, 2, 2, 4, 8, 10, 3]
les deux épouses sont donc dans l'ordre : (3,7) ou (4,8) ou (5,2) ou enfin (9,6)
Bonjour et merci ! Ca m'a fait réviser mes listes !
La réponse est évidente : Al-Ghor It'm Rekhur Sif.
Le minimum est 19 nuits.
Et il y a 4 configurations initiales qui permettent d'atteindre ce minimum, voici les deux femmes qu'il faut inviter en premier :
5; 2
9; 6
3; 7
4; 8
Plus précisément, voici la suite des femmes que chacune de ces configurations créer :
5; 2; 10; 9; 2; 7; 3; 10; 8; 3; 2; 6; 1; 6; 6; 3; 7; 10; 4
9; 6; 10; 5; 6; 8; 4; 10; 7; 4; 6; 2; 1; 2; 2; 4; 8; 10; 3
3; 7; 10; 4; 7; 6; 9; 10; 2; 9; 7; 8; 1; 8; 8; 9; 6; 10; 5
4; 8; 10; 3; 8; 2; 5; 10; 6; 5; 8; 7; 1; 7; 7; 5; 2; 10; 9
Et voici l'Al-Ghor It'm Rekhur Sif qui m'a permis de répondre (en Python) :
from random import randrange
MAX = 100
for i in range(1,11):
for j in range(1,11):
l = [i,j]
boucle = 0
while boucle != 1:
l.append((l[-1]*l[-2])%11)
l1=set(l)
if len(l1) == 10 or len(l)>=30:
boucle = 1
if len(l) <= MAX and len(l)<30:
print(l)
print(len(l))
MAX = len(l)
Voici ses caractéristiques :
- il traite les 100 cas possibles (seuil tolérable).
- il n'affiche que les solutions meilleures ou égales à la meilleure solution précédente (meilleur = dont le nombre de nuits est le plus petit possible).
- il interrompt le calcul au bout de 30 nuits afin de pouvoir retirer les configurations aboutissant à une suite infinie.
A bientôt !
Bonjour,
En espérant ne pas me tromper... je propose les 4 solutions suivantes qui nécessitent chacune 19 jours.
(5,2) (9,6) (3,7) (4,8)
Le couple (i,j) représente la femme i pour le premier soir et la femme j pour le second.
Merci pour l'énigme.
Bonjour,
Je propose les solutions suivantes :
3-7
4-8
5-2
9-6
Toutes les 4 conduisent à attendre 19 nuits pour que chacune des épouses en ait passé au moins une avec le calife.
Bonsoir
Moi je trouve quatre solutions pour que toutes les épouses voient le calife en un temps minimum :
Les deux premières épouses à être invitées peuvent être :
- celle de rang 3 puis celle de rang 7
- celle de rang 4 puis celle de rang 8
- celle de rang 5 puis celle de rang 2
- celle de rang 9 puis celle de rang 6
Merci pour cette énigme !^^
C'est ma première énigme!
J'ai galéré, mais j'ai trouvé une solution possible,
Toutes les épouses seront reçues au moins 1 fois en 20 jours en commençant par la 7 puis la 5
certaines seront reçues 3 fois: les 2,3 et 6
d'autres 2 fois: les 7 et 10
J'ai cherché les épouses précédentes possibles pour chaque épouse. Il n'y a qu'une solution pour la 10 (2 et 5)
Il y a donc 2 possibilités de liste:8;2;5;10 etc ou 7;5;2;10 etc
En les développant, on arrive à déterminer une solution en 20 jours avec la 2eme suite 7;5;2;10 etc
Soyez indulgents!
J'attends la solution optimisée avec impatience
Salut,
Belle énigme, et sacré calife !
Je dirais qu'il doit commencer par "la n°2 puis la 4", ou "6 puis 3", ou "7 puis 5", ou "8 puis 9".
Mais comme a dit B2O "que des n°10 dans ma team"
merci
Simon
J'ai répondu la première fois en faisant les calculs à la main. C'est long et fastidieux. De plus, on se trompe bêtement...
Avec l'utilisation d'un tableur excel (mais est ce permis par le règlement?) on trouve 3 solutions possibles en 19 jours:
3 puis 7
4 puis 8
9 puis 6
Bonjour
Pour moi, il n'y a aucune solutions, mais je ne sais pas pourquoi mais je sens que je vais me prendre un poisson. Par contre, je suppose que quand la multiplication est inférieur à 11, la solution est mauvaise. Sinon, je sens que je vais bientôt pouvoir ouvrir une poissonerie
Bonjour à tous,
Selon mes simulations, pour que tout le monde soit invité le plus rapidement possible, je propose
Nuit 1 = 3, Nuit 2 = 7
Nuit 1 = 4, Nuit 2 = 8
Nuit 1 = 5, Nuit 2 = 2
Nuit 1 = 9, Nuit 2 = 6
De cette façon, toute épouse est invitée au moins une fois les 19 premiers jours.
Merci pour cette énigme.
(3;7) (4;8) (5;2) (9;6)
en 19 nuits
[3,7,10,4,7,6,9,10,2,9,7,8,1,8,8,9,6,10,5]
[4,8,10,3,8,2,5,10,6,5,8,7,1,7,7,5,2,10,9]
[5,2,10,9,2,7,3,10,8,3,2,6,1,6,6,3,7,10,4]
[9,6,10,5,6,8,4,10,7,4,6,2,1,2,2,4,8,10,3]
Merci Godefroy lehardi
A priori 4 réponses qui permettent aux 10 épouses d'être invitées en 19 jours
3 et 7
4 et 8
5 et 2
9 et 6
Clôture de l'énigme :
J'en ai senti certains un peu gênés aux entournures.
Mais heureusement, je n'ai pas (encore) eu de procès pour sexisme.
Bonjour,
En lisant les réponses de Ledino et Masab, (2;2) (6;6) (7;7) (8;8) pourquoi sont elles fausses ? Dans l'énoncé ce n'était pas explicitement dit que les deux premières femmes devaient être différentes et même c'est indiqué :
"Rien n'interdit qu'une même épouse soit invitée plusieurs fois, même à la suite. "
Bonjour^^
Oui mais il est aussi indiqué que les épouses doivent être choisies pour que toutes puissent être invitées en un minimum de temps.
Or les couples (2;2) (6;6) (7;7) et (8;8) feraient qu'il faudrait attendre deux nuits supplémentaires par rapport aux bons couples de solutions. Ils ne conviennent pas uniquement pour cette raison
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