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Joute n°137 : Le fil qui chante

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
08-03-14 à 15:09

Bonjour à tous,

Ces derniers temps, le vent a bien soufflé. Du coup, certains poteaux téléphoniques ont un peu souffert.

Joute n°137 : Le fil qui chante

A côté de chez moi, j'ai trouvé un poteau qui n'était plus retenu que par les fils reliés aux deux poteaux voisins. Il formait un angle de 30° avec la verticale.
On supposera que la base du poteau n'a pas bougé.

Tous les poteaux ont une hauteur de 6 mètres et un écartement constant de 10 mètres entre eux à leur base. Le fil est fixé au sommet du poteau.
On considèrera également que les fils sont parfaitement tendus entre le poteau penché et ses 2 voisins.

Question : A quelle hauteur minimale le fil pendait-il avant le coup de vent (arrondi au centimètre le plus proche) ?
Pour ceux qui ne connaissent pas l'équation d'un fil qui pend entre deux points sous l'effet de son seul poids, la courbe ainsi obtenue s'appelle une « chaînette ».

Joute n°137 : Le fil qui chante

Posté par
Alexique
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 15:52

perduBonjour,

très content d'être le premier pour une fois... Ca me laisse perplexe d'ailleurs mais bon 2 étoiles...
Je propose 16-\sqrt{172-36\sqrt{3}} comme hauteur minimale...

Merci pour l'énigme..

Posté par
LeDino
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 16:02

gagnéBonjour,

Le fil pendait à une hauteur de 4,65 m.

Attention, il s'agit de la hauteur à laquelle était positionné le fil.
Le fil pendait en effet de 1,35 m par rapport à la hauteur des poteaux.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 16:35

perduMerci pour ce retour "forcé" sur les formules des paramètres de la chaînette.. J'ai encore dû me planter mais je trouve une flèche de 1,30m arrondi au cm le plus proche.
Donc la hauteur minimale au dessus du sol était de 4,70 m avant le coup de vent.

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 16:39

perduBonjour Godefroy,

6,72 m

Merci pour la joute

Posté par
dpi
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 17:18

perduBonjour,

Le fil "pendait" de 1.24 m

Posté par
lenain
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 18:57

perduBonjour

Après consultation avec les merles qui squattent les fils électriques du quartier.

Je propose 5,78m  donc le fil se trouvera à cette hauteur du sol. En utilisant l'équation de la chainette...

Posté par
masab
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 19:29

gagnéBonjour godefroy,

Le fil pendait à une hauteur minimale de 465 cm (depuis le sol).

Merci pour cette énigme sur les poteaux téléphoniques et les tempêtes !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 20:39

gagnéBonjour et merci pour l'énigme !

Je trouve environ 4,65 mètres.

À bientôt !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 22:16

gagnéC'est parti pour la démonstration !

Première étape : trouver la longueur L du fil entre deux poteaux.
Joute n°137 : Le fil qui chante
h = 6m
k = 10m

B'CB est un triangle isocèle en C donc CB' = CB = h

On applique le théorème d'Al-Kashi :

i^2=2h^2-2h^2\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)
 \\ i = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})

On applique le théorème de Pythagore dans le triangle-rectangle en AB'B en B' :

L^2=i^2+k^2
 \\ \boxed{L=2\sqrt{43-9\sqrt{3}}}\approx 10,47\text{ m}

Deuxième étape : trouver l'équation de la chaînette.

Et la page web qui donne toutes les infos : .

J'utiliserai les notations utilisées sur le schéma de cette page web.

Et le site nous offre sur un plateau la magnifique relation : l=a\times\sinh{\left(\dfrac{d}{a}\right)}.
Nous savons que la distance entre deux poteaux fait 10m d'où d = 5.
Et nous avons l=\dfrac{L}{2}=\sqrt{43-9\sqrt{3}}}.

On se sert de la relation pour trouver la valeur de a.
Impossible de trouver une valeur exacte, qu'à cela ne tienne, une valeur approximative avec suffisament de décimales suffira.

Maple trouve ainsi a\approx9,469232277.

Et l'équation f(x) d'une chaînette connaissant a est : f(x)=a\times\cosh\left(\dfrac{x}{a}\right).

C'est presque ça, mais pas tout à fait. En effet, on s'apperçoit que la hauteur des poteaux A et B est bien supérieure à 6m :

Joute n°137 : Le fil qui chante

Qu'à cela ne tienne, on va bidouiller l'équation de la courbe pour que la hauteur des poteaux atteigne exactement 6m.
Et pour "abaisser" une courbe, il suffit de retirer à l'équation une constante positive.
Ici, elle vaut simplement f(5)-6 (en effet, il faut que l'image de 5 par la fonction de la chaînette vaille 6 pour que les poteaux atteignent 6m de hauteur).

Donc, si on appelle g la courbe représentative de la chaînette, sa véritable équation vaut :

\boxed{g(x)=a\times\cosh\left(\dfrac{x}{a}\right)-f(5)+6},a\approx9,469232277

Joute n°137 : Le fil qui chante

On vérifie la longueur du fil détendu : GeoGebra trouve environ 10,47m soit environ L. C'est tout bon !

Troisième étape : on termine.

Le sommet (et donc le point le plus bas) d'une chaînette étant nécessairement sur l'axe des ordonnées, la réponse cherchée est tout simplement :

\textcolor{blue}{\boxed{g(0)\approx 4,65\text{ m}}}

Merci beaucoup pour cette énigme très enrichissante et à bientôt !

Posté par
wow1296
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 23:06

gagnéBonsoir

Sauf erreur de ma part, la hauteur minimale du fil avant le coup de vent était de 4,65 m. En effet, la flèche de la courbe représentative du fil est d'environ 1,35 m.

Autant calculer la longueur d'un fil entre deux poteaux successifs était relativement simple, autant la partie sur les chaînettes était tout de suite moins accessible
Mais après quelques heures de recherches et de calculs dans tous les sens, je pense m'en être sorti.
En tout cas, cette énigme m'a permis d'apprendre plein de choses, aussi bien en mathématiques qu'en physique. Alors...

...merci !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 23:28

gagnéAutre chose d'intéressant : si on considère que la courbe formée n'est pas une chaînette mais une parabole, alors la hauteur minimale atteinte est de 4,64 m !

Joute n°137 : Le fil qui chante

A vu d'oeil, franchement pas facile de faire la différence avec la chaînette !

Et si tu n'avais pas précisé que cela formait une chaînette, tous ceux (dont moi) qui auraient considéré cela comme une parabole se seraient plantés d'un seul centimètre !

L'équation de cette portion de parabole est en gros :

y=5,43\times10^{-2}x^2+4,64

Posté par
geo3
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 08-03-14 à 23:30

perduBonsoir
Je dirais 2.93m
A+

Posté par
rschoon
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 09-03-14 à 10:47

gagnéBonjour à tous.

Ma réponse : 4,65 m.

Merci pour l'énigme

Posté par
benmagnol
Plusieurs heures de réflexions... 09-03-14 à 19:41

gagnéUn peu de Géogébra, des tas de recherches pour comprendre l'applicabilité de la chainette et son application effective.
C'est plein d'incertitude que je réponds que le fil pendouille au plus bas à 4m65 du sol.
Merci pour cette énigme qui aura bien occupé mon Dimanche !

Posté par
arnaudmagnol
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 09-03-14 à 21:46

gagnéJe dirais que le point le plus bas de la chaînette se situait à 4,65 m du sol !
Merci pour l'énigme

Posté par
franz
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 09-03-14 à 22:28

gagnéL'altitude minimale du fil était de 4,65 m.
Merci pour l'énigme

Posté par
LittleFox
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 10-03-14 à 11:11

gagnéLa hauteur minimale à laquelle le fil pendait avant le coup de vent (arrondi au centimètre le plus proche)  est 4,65 m ou 465 cm.

Je trouve en effet une chaînette de longueur 10,4712 m, de paramètre a = 9.4692 et de flèche 1.351 m.

Posté par
13matou
Le filqui chante 10-03-14 à 21:53

gagnéBonjour à tous,
Sur ma TI 92 les calculsme conduisent à une hauteur minimale de:

4m65.

La longueur du fil étant de :
2(43-  9 . 3(1/2))(1/2)m

Posté par
Zakoji
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 11-03-14 à 01:33

gagnéBonsoir,

trop fatigué pour vérifier mes calculs, je tente 4m65.

Posté par
torio
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 11-03-14 à 10:56

gagnéRéponse : 465 cm




Détails :

distance entre poteaux = 10
longueur fil entre deux poteaux : 10.471206756030m
hauteur minimale : 4.64899m

Equation de la courbe (Chaînette) :
f(x) = 9.4693284cosh(x / 9.4693284) - 9.4693284cosh(5 / 9.4693284) + 6


(9.4693284 pour que la longueur du fil soit de 10,4712... m)

Joute n°137 : Le fil qui chante

Posté par
dubo34
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 11-03-14 à 17:41

perduAvant le coup de vent, le fil pendait entre les poteaux jusqu'à une hauteur de 2,93 mètres par rapport au sol

Posté par
rijks
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 12-03-14 à 10:10

gagnéBonjour,
La première étape est de calculer la longueur du câble.
La longueur du câble est de (172-72*cos(30))10,4712068

L'équation de la courbe du câble est de la forme :
y=a*ch(x/a)+c
On sait que y(5)=6
et que l'équation de la longueur(pris pour x=-5 à 5) du câble vaut : 2*a*sh(5/a)10,4712068

Par itération je résous et je trouve les valeurs a et c:
a=9,468890209
c=-4,819963274

Pour x=0 (hauteur minimale) y=4,648926935

RÉPONSE : 4,65m

Joute n°137 : Le fil qui chante

Posté par
ksad
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 14-03-14 à 12:20

gagnéBonjour
Avec de grands doutes... je propose la réponse : 4.65 m de hauteur (entre le sol et le point le plus bas du fil)
mais je ne suis pas plus convaincu que cela...
merci pour la joute, à bientôt

Posté par
jonwam
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 15-03-14 à 19:31

perdubonjour,

même si ça ne me paraît pas réaliste: 2,96 mètres

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 18-03-14 à 21:10

gagnéBonsoir,
Je propose la réponse suivante :

Fil  à 4.65 m du sol au point le plus bas, soit une flèche de 1.35 m

Merci pour cette énigme !

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 20-03-14 à 21:07

gagnéBonjour

Je propose 1,35m depuis le haut du poteau, soit il pendait à une hauteur de 4,65m

Posté par
littleguy
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 21-03-14 à 10:51

gagnéBonjour,

Avec les réserves d'usage , j'ai trouvé une flèche d'environ 1,35 m, donc une hauteur minimale de 4,65 m.

Cette joute m'a rappelé un sujet donné au bac C en 1990 dans le groupement académique IV (), sujet qui tranchait quelque peu avec les habitudes.

Posté par
basilide
Le fil qui chante 24-03-14 à 06:52

gagnéLa hauteur minimale du fil qui pendait avant le coup de vent est de 465 cm.

Posté par
Zerd
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 26-03-14 à 11:54

gagnéArg j'ai du retard.

Ma réponse est la suivante :
Le fil se trouve à une hauteur minimale de 4.65 mètres. J'espère ne pas m'être trompé, je n'ai pas forcément bien vérifié comme il se doit.

Posté par
totti1000
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 30-03-14 à 01:26

gagnéSalut godefroy,

je propose une hauteur d'environ 4,65 m.

Merci.

Posté par
Chatof
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 30-03-14 à 09:31

perdu99cm

(environ 98,6408064465cm)

merci

Posté par
Chatof
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 31-03-14 à 02:49

perdu
le fil pendait à 470cm du sol
(600-130,46)
Merci Godefroy_lehardi

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 31-03-14 à 08:36

Clôture de l'énigme :

Après ce week-end encore bien venteux (du moins dans le sud-ouest), il est temps de clore cette joute.
Bravo à ceux qui ont trouvé.
Pour les détails, je vous renvoie à la belle démonstration d'Alishisap.

Posté par
dpi
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 31-03-14 à 12:00

perduBonjour,

Autocritique
*Bien trouvé la longueur 10.471 m
*je cherchais la flèche soit h au lieu de d  (6-h) méa culpa
*j'ai trouvé  une formule
sh(2hd/l²-h²) = 2hl(l²-h²) dont mon résultat donnait 1.239 m
ce qui au mieux aurait donné 4.76m

Il me reste à trouver pourquoi ma formule est fausse

Posté par
littleguy
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 31-03-14 à 15:21

gagnéBonjour dpi,

Je n'ai pas procédé comme toi, mais "sinequanon" avec la formule que tu donnes et on approximation 10.471 m semble conduire aussi à une flèche de 1.35 m :

Joute n°137 : Le fil qui chante

Joute n°137 : Le fil qui chante

Posté par
dpi
re : Joute n°137 : Le fil qui chante 31-03-14 à 16:00

perduMerci littleguy

J'ai pris une fois d à la place de l (5 au lieu de5.235)
comme j'avais trouvé le résultat assez proche de
la parabole et de l'arc de cercle, je n'ai pas vérifié.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
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Temps de réponse moyen : 122:01:16.
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