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Joute n°140 : Zizanie au harem

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
29-03-14 à 11:06

Bonjour à tous,

Rien ne va plus au harem du calife Al-Ghor It'm Rekhur Sif.
Celui-ci regrette amèrement la façon dont il a organisé ses nuits. Joute n°133 : Le harem du calife
Ses 10 femmes sont maintenant jalouses et vindicatives car certaines passent davantage de nuits avec lui que d'autres.

Il décide donc de modifier légèrement le système.
Rappelez-vous, chaque épouse a un rang de mariage (la première qu'il a épousée a le rang n°1, la plus récente a le rang n°10).
Désormais, l'épouse qui le rejoindra au cours de la nuit N sera celle dont le rang est égal au reste de la division par 11 de la somme des rangs des trois épouses qui l'ont précédée lors des nuits N-1, N-2 et N-3.
Par exemple, s'il a passé la nuit avec l'épouse de rang 7 puis, le lendemain, avec celle de rang 8, et le surlendemain celle de rang 9, la suivante sera celle de rang 2 (puisque 7+8+9 = 24 = 2x11 + 2).
Evidemment, on ne doit jamais obtenir 0 car le calife n'aime pas dormir seul.
Rien n'interdit qu'une même épouse soit invitée plusieurs fois, même à la suite.

Après leur avoir annoncé la nouvelle règle, il leur laisse cependant décider quelles seront les trois premières à être invitées par leur seigneur et maître.
Comme elles sont maintenant très jalouses entre elles, elles vont donc chercher un moyen pour que le jour où toutes auront été choisies un même nombre de fois arrive le plus tôt possible.

Question : Quelles sont les trois épouses que le calife doit inviter au début (et dans quel ordre) pour que toutes aient été invitées un même nombre de fois dans un temps minimum ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.

Joute n°140 : Zizanie au harem

Posté par
rschoon
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 11:47

perduBonjour à tous.

En invitant les épouses 1, puis 7, puis 5, toutes les épouses auront été invitées 1 fois au bout de 10 jours.

Merci pour l'énigme.

Posté par
rschoon
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 11:52

perduOops. J'ai envoyé trop vite ! Tant pis pour moi.

Il y a 10 solutions :
1, 7, 5
2, 3, 10
3, 10, 4
4, 6, 9
5, 2, 3
6, 9, 8
7, 5, 2
8, 1, 7
9, 8, 1
10, 4, 6

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 12:48

gagnéIl y a sauf erreur 10 solutions (chaque solution commençant par une n° d'épouse différent) pour que chaque épouse soit invitée une fois lors des 10 premières nuits .. soit un seul cycle.
1,7,5
2,3,10
3,10,4
4,6,9
5,2,3
6,9,8
7,5,2
8,1,7
9,8,1
10,4,6

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 13:09

gagnéOn remarque que c'est la suite 1,7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,7,5,.. etc qui se répète indéfiniment et ceci en partant que n'importe quel élément.. !!!

Posté par
Alishisap
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 13:37

gagnéBonjour,
Le minimum est de 1 seul passage par femme et 10 possibilités pour ce faire :

[1, 7, 5]
[2, 3, 10]
[3, 10, 4]
[4, 6, 9]
[5, 2, 3]
[6, 9, 8]
[7, 5, 2]
[8, 1, 7]
[9, 8, 1]
[10, 4, 6]

Merci pour l'énigme et à bientôt !

Posté par
Alishisap
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 13:43

gagnéPour le détail :

[1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8]
[2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, 7, 5]
[3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, 7, 5, 2]
[4, 6, 9, 8, 1, 7, 5, 2, 3, 10]
[5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, 7]
[6, 9, 8, 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4]
[7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1]
[8, 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9]
[9, 8, 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6]
[10, 4, 6, 9, 8, 1, 7, 5, 2, 3]

Posté par
LeDino
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 14:17

gagnéBonjour,

Il y a dix solutions permettant d'avoir les 10 épouses en 10 nuits :


1	 7	 5
2	 3	10
3	10	 4
4	 6	 9
5	 2	 3
6	 9	 8
7	 5	 2
8	 1	 7
9	 8	 1
10	 4	 6


Remarque :  Il suffit en fait de choisir 3 nombres qui se suivent dans le cycle suivant :

1   7   5   2   3   10   4   6   9   8  ...

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 14:28

gagnéBonjour,

Il existe un cycle parfait pour que toutes les femmes passent tous les 10 jours
1 7 5 2 3 10 4 6 9 8

Il y a donc 10 solutions au problème, en partant à n'importe quel point de ce cycle (dans l'ordre premiere, deuxieme, troisieme nuit)
1 7 5
2 3 10
3 10 4
4 6 9
5 2 3
6 9 8
7 5 2
8 1 7
9 8 1
10 4 6

Ce sont les seules solutions

Posté par
dpi
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 15:00

perduBonjour,

Quel exercice fastidieux !

je trouve
2 3 10
4 6 9
5 2 3
6 9 8
8 1 7
Pour lesquelles les 10 épouses passent une fois en seulement 10 nuits

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 15:56

gagnéBonjour Godefroy,

10 solutions:
les 3 premiers naturels des permutations circulaires de (1,7,5,2,3,10,4,6,9,8)
cad:

<Sol>  (  ,  ,  ) => [----------]
<  1>  ( 1, 7, 5) => [AGEBCJDFIH]
<  2>  ( 2, 3,10) => [BCJDFIHAGE]
<  3>  ( 3,10, 4) => [CJDFIHAGEB]
<  4>  ( 4, 6, 9) => [DFIHAGEBCJ]
<  5>  ( 5, 2, 3) => [EBCJDFIHAG]
<  6>  ( 6, 9, 8) => [FIHAGEBCJD]
<  7>  ( 7, 5, 2) => [GEBCJDFIHA]
<  8>  ( 8, 1, 7) => [HAGEBCJDFI]
<  9>  ( 9, 8, 1) => [IHAGEBCJDF]
< 10>  (10, 4, 6) => [JDFIHAGEBC]

Merci pour la joute

Posté par
littleguy
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 16:19

gagnéBonjour,

Je propose les triplets :

(1,7,5), (2,3,10), (3,10,4), (4,6,9), (5,2,3), (6,9,8), (7,5,2), (8,1,7), (9,8,1), (10,4,6).

Posté par
torio
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 19:24

perduEn commençant par 1,7, et 5
toutes les épouses ont été choisie une fois en dix nuits.

ci-dessous, la série sur 10 nuits
1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8

A+
Torio

Posté par
geo3
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 21:45

gagnéBonsoir
10  solutions
10, 4, 6
9 , 8, 1
8 , 1, 7
7 , 5, 2
6 , 9, 8
5 , 2, 3
4 , 6, 9
3 , 10,4
2 , 3, 10
1 , 7, 5
A+

Posté par
masab
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 29-03-14 à 22:13

gagnéVoici les trois épouses que le calife doit inviter au début (dans l'ordre) pour que toutes aient été invitées un même nombre de fois dans un temps minimum :

[1, 7, 5]
[7, 5, 2]
[5, 2, 3]
[2, 3, 10]
[3, 10, 4]
[10, 4, 6]
[4, 6, 9]
[6, 9, 8]
[9, 8, 1]
[8, 1, 7]

Il y a donc 10 solutions.
Merci pour cette énigme !

Posté par
Alexique
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 30-03-14 à 00:53

gagnéBonjour,
j'obtiens les 10 triplets suivants (avec ordre) :
(6,9,8)
(10,4,6)
(4,6,9)
(3,10,4)
(7,5,2)
(2,3,10)
(5,2,3)
(9,8,1)
(8,1,7)
(1,7,5)

Merci pour l'énigme !

Posté par
lenain
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 30-03-14 à 21:56

gagnéBonjour
Voici les différentes possibilités que j'ai trouvé
1 -7- 5 
2 -3- 10 
3 -10- 4 
4- 6- 9 
5- 2- 3 
6 -9- 8 
7- 5- 2 
8 -1- 7 
9 -8- 1 
10 -4- 6 

Mais je ne cautionne pas la polygamie

Posté par
basilide
Zizanie au harem 31-03-14 à 09:02

gagnéPour être équitable en un temps minimum, elles doivent utiliser la suite ci-dessous : 1-7-5-2-3-10-4-6-9-8-1-7-5-...

Donc, elles peuvent choisir trois éléments consécutifs de cette suite pour adopter :
1-7-5 ou 7-5-2 ou 5-2-3 ou 2-3-10 ou 3-10-4 ou 10-4-6 ou 4-6-9 ou 6-9-8 ou 9-8-1 ou 8-1-7

Quelle suite périodique !

Posté par
rijks
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 31-03-14 à 10:11

gagnéBonjour,
je trouve 10 solutions en tout, dans l'ordre :
1 7 5
2 3 10
3 10 4
4 6 9
5 2 3
6 9 8
7 5 2
8 1 7
9 8 1
10 4 6

Posté par
ksad
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 31-03-14 à 12:41

gagnéBonjour
La série (1,7,5,2,3,10,4,6,9,8) est dans ce cas cyclique modulo 11.
On peut donc commencer n'importe où dans le cycle, prendre un triplet, et avoir parcouru tous les rangs au bout de sept itérations (autrement dit: chacune des épouses aura passé une nuit avec le calife au bout de dix nuits).
Les triplets possibles sont donc :

1  7  5
2  3 10
3 10  4
4  6  9
5  2  3
6  9  8
7  5  2
8  1  7
9  8  1
10  4  6

... et je n'ai pas trouvé d'autre solution.
Merci pour la joute !

Posté par
Zakoji
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 01-04-14 à 00:30

gagnéSalut,
10 possibilités permettent de régler l'affaire en 10 nuits :


1 7 5
2 3 10
3 10 4
4 6 9
5 2 3
6 9 8
7 5 2
8 1 7
9 8 1
10 4 6

Posté par
seb_dji
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 01-04-14 à 13:59

gagnéil existe 10 solutions car la suite (1;7;5;2;3;10;4;6;9;8) se répète donc
quelque soit les 3 épouses (consécutives dans la suite) que l'on choisit pour commencer, elles seront chacune passées une fois après 10 nuits:
(1,7,5) ou (7,5,2) ou (5,2,3)...(9,8,1) ou (8,1,7)

Posté par
LittleFox
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 02-04-14 à 14:27

gagnéIl exite 10 façon de choisir les trois premières épouses de façon à ce que le calife les invitent toutes 1 fois en 10 jours (et tous les 10 jours) :

(1,7,5)  -> [1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8]
(7,5,2)  -> [7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1]
(5,2,3)  -> [5, 2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, 7]
(2,3,10) -> [2, 3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, 7, 5]
(3,10,4) -> [3, 10, 4, 6, 9, 8, 1, 7, 5, 2]
(10,4,6) -> [10, 4, 6, 9, 8, 1, 7, 5, 2, 3]
(4,6,9)  -> [4, 6, 9, 8, 1, 7, 5, 2, 3, 10]
(6,9,8)  -> [6, 9, 8, 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4]
(9,8,1)  -> [9, 8, 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6]
(8,1,7)  -> [8, 1, 7, 5, 2, 3, 10, 4, 6, 9]

C'est chaque fois la même liste à un décalage près.

Posté par
spelecameleon
réponse joute n°140 03-04-14 à 17:58

gagnéBonjour,

Voici ma réponse au problème "Zizanie au Harem":

Il y a 10 combinaisons initiales pour lesquelles le calife passera les 10 premières nuits avec chacune de ses femmes :

1, 7, 5
2, 3, 10
3, 10, 4
4, 6, 9
5, 2, 3
6, 9, 8
7, 5, 2
8, 1, 7
9, 8, 1
10, 4, 6

Ces 10 solutions constituent en réalité un seul et même enchaînement :

1,7,5,2,3,10,4,6,9,8,1,7,5 etc...

Cordialement,

Posté par
akub-bkub
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 04-04-14 à 08:28

gagnéSlt godefroy_lehardi, slt à tous

Je propose, après 10 nuits (1 nuit chacune) :

1,7,5
2,3,10
3,10,4
4,6,9
5,2,3
6,9,8
7,5,2
8,1,7
9,8,1
10,4,6

Merci pour la joute!

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 05-04-14 à 17:38

gagnéBonjour Godefroy.
Il y a dix solutions où toutes les épouses auront été invitées en dix nuits.
Les dix débuts sont :
1 7 5
2 3 10
3 10 4
4 6 9
5 2 3
6 9 8
7 5 2
8 1 7
9 8 1
10 4 6

Posté par
kitigwen
Re : Joute n°140 : Zizanie au harem 07-04-14 à 14:42

gagnéBonjour,
Je pense qu'il y a 10 solutions possibles.
Les voici (indice des trois premières épouses) :
  1   7   5
  2   3  10
  3  10   4
  4   6   9
  5   2   3
  6   9   8
  7   5   2
  8   1   7
  9   8   1
  10  4   6

Merci pour cette sympathique énigme.
A bientôt,
Kitigwen

Posté par
Zerd
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 08-04-14 à 11:58

gagnéLes femmes seront satisfaites si :

-la femme de rang 1 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 7 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 5 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 2 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 3 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 10 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 3 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 10 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 4 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 4 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 6 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 9 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 5 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 2 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 3 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 6 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 9 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 8 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 7 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 5 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 2 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 8 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 1 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 7 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 9 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 8 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 1 est choisie pour la 3e nuit
-la femme de rang 10 est choisie pour la 1ere nuit, la femme de rang 4 est choisie pour la 2e nuit et la femme de rang 6 est choisie pour la 3e nuit
Il faudra alors seulement 10 nuits pour qu'elles aient toutes été invitées le même nombre de fois, soit une fois.

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 10-04-14 à 18:49

gagnéBonjour,
Je propose les 10 solutions suivantes :
(1 ; 7 ; 5)
(2 ; 3 ; 10)
(3 ; 10 ; 4)
(4 ; 6 ; 9)
(5 ; 2 ; 3)
(6 ; 9 ; 8)
(7 ; 5 ; 2)
(8 ; 1 ; 7)
(9 ; 8 ; 1)
(10 ; 4 ; 6)

Ces 3 termes initiaux conduisent à inviter 10 épouses différentes en 10 nuits suivant la séquence :
.....9 8  1 7 5 2 3 10 4 6 9 8  1 7 5 2.....
Merci pour cette énigme.

Posté par
franz
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 16-04-14 à 23:13

gagnéLes 10 épouses auront toutes passé une nuit avec le calife au bout de 10 nuits si les trois premières épouses portent les n° (1,7,5), (7,5,2), (5,2,3), (2,3,10), (3,10,4), (10,4,6), (4,6,9), (6,9,8), (9,8,1) ou (8,1,7) qui font partie de la suite périodique : 1,7,5,2,3,10,4,6,9,8.
Il y a donc 10 solutions.
Merci

Posté par
Raphi
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 18-04-14 à 12:03

gagnéj'ai trouvé 10 solutions de 10 nuits, les triplets représentent l'ordre des 3 premières épouses

1;7;5
2;3;10
3;10;4
4;6;9
5;2;3
6;9;8
7;5;2
8;1;7
9;8;1
10;4;6

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 20-04-14 à 16:22

Clôture de l'énigme :

Pauvre calife ! Le voilà replongé dans la routine.

En fait, je n'ai découvert qu'après coup qu'on tombait sur un cycle.
Quelqu'un a une explication à proposer ?

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°140 : Zizanie au harem 20-04-14 à 16:26

Toutes mes félicitations à masab pour cette superbe victoire !

C'est vrai que le mois de mars a été particulièrement costaud.
Rassurez-vous, ça ne sera pas toujours comme ça.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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