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Joute n°141 : Losangeless

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
04-04-14 à 14:18

Bonjour à tous,

Prenons le rectangle de 1 mètre sur 3 ci-dessous dont le motif intérieur est symétrique suivant les 2 axes de symétrie du rectangle (la figure n'est pas forcément à l'échelle).

Joute n°141 : Losangeless

La longueur des segments bleus est notée a et la longueur des segments rouges est notée b. Ces 2 longueurs sont des nombres entiers de millimètres.
Les segments ne sont pas plus longs que le bord où ils se trouvent.

Il faut par ailleurs que la surface du losange central ainsi formé soit égale au sixième de la surface du rectangle.

Question : Quelles sont les valeurs de a et b ?

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 14:52

gagnéSauf erreur (habituelle de ma part !!), je trouve a=2000mm=2m et b=250mm=0,25m

Posté par
panda_adnap
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 14:55

perduBonjour

Plusieurs solutions : (sous la forme a b en mm)

1600 625
2000 500
1000 1000 (1000mm "n'est pas plus long" que 1000mm)
2500 400
1250 800

Posté par
masab
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 15:41

gagnéBonjour godefroy,

Les valeurs de a et b sont données par
a = 2000 mm
b = 250 mmm
Merci pour cette énigme géométrique !

Posté par
ksad
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 15:56

gagnéBonjour
je propose a=2000 et b=250
(et je pense que c'est la seule réponse possible)
merci pour cette belle joute !

Posté par
dpi
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 16:04

gagnéBonjour,

Il y a des couples de solution a et b
qui donnent des valeurs très approchées.

Je donne a=2000 et b=250 qui donnent exactement le 1/6 de la surface du rectangle

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 16:32

perduBonjour Godefroy,

a=625 (mm) et b=160 (mm)

-------------------------------------
(625,160), (600,0), (1000,1000).

Merci pour la joute

Posté par
rschoon
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 17:15

gagnéBonjour à tous.

Je propose : a = 2000, b= 250.

Merci pour l'énigme.

Posté par
Alishisap
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 19:25

gagnéBonjour,

a=2000\text{ mm}
 \\ b=250\text{ mm}

Posté par
Alishisap
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 23:17

gagnéEt comme j'aime bien les démos, la voici !

Toutes les unités de la démo seront en mètres.

Caclul de l'aire du losange central en fonction de a et de b

Joute n°141 : Losangeless

a=DF
 \\ b=GI
 \\ c=DB
 \\ d=AD
 \\ f=IC
 \\ g=BI
 \\ h=EK
 \\ h_2=LH
 \\ h_3=KN
 \\ h_4=NL
 \\ Al=A_{JKLM}
 \\ At=A_{\text{rectangle}}

Cacul de h et h2 en fonction de a et b

d=\dfrac{3-a}{2}
 \\ 
 \\ c=a+d
 \\ 
 \\ f=\dfrac{1-b}{2}
 \\ 
 \\ g=b+f
 \\ 
 \\ \alpha=\arctan\left(\dfrac{g}{c}\right)
 \\ 
 \\ \textcolor{blue}{h = \dfrac{a}{2}\tan{\alpha}}
 \\ 
 \\ \Omega=\arctan\left(\dfrac{c}{g}\right)
 \\ 
 \\ \textcolor{blue}{h_2 = \dfrac{b}{2}\tan{\Omega}}

Calcul de l'aire de Al

h_3=\dfrac{1-2h}{2}
 \\ 
 \\ h_4=\dfrac{3-2h_2}{2}
 \\ 
 \\ \textcolor{blue}{Al=2h_3h_4}

Un petit tour de moulinette et Mapple nous donne l'expression (assez élégante) du losange en fonction de a et b :

\textcolor{blue}{\boxed{Al=\dfrac{(ab-3)^2}{2(a+3)(b+1)}}}

Caclul de a et de b

\dfrac{At}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}

Il s'agit donc de résoudre Al=0,5 avec a et b des nombres entiers naturels non nuls de millimètres et strictement inférieurs à respectivement 3 et 1.

Puisque a et b sont des nombres entiers de millimètres, un programme peut répondre.
Il faudra regrouper deux boucles itératives : une pour a allant de 1mm à 2,999m et l'autre pour b allant de 1mm à 0,999m, le pas de ces boucles étant donc de 1mm.
Ainsi on peut tester les 3 millions de possibilités jusqu'à tomber (en utilisant l'expression de Al calculée) sur Al=0,5 pile.

Mais les nombres décimaux n'étant vraiment pas le fort de Python, il m'a sorti comme valeurs :

a = 1.9999999999998905
b = 0.25000000000000017

On en déduit évidemment qu'en fait :

a=2
 \\ b=0,25

Et en vérifiant grâce à la formule :

Al=\dfrac{(2\times0,25-3)^2}{2(2+3)(0,25+1)}=\dfrac{1}{2}

C'est confirmé, conclusion \textcolor{blue}{\boxed{a=2;b=0,25}}.

À bientôt !

Posté par
fontaine6140
re : Joute n°141 : Losangeless 04-04-14 à 23:24

perdu
On est en avril mais je ne veux pas un silure.


Joute n°141 : Losangeless


a=2000 mm et b=250 mm

Posté par
Alexique
re : Joute n°141 : Losangeless 05-04-14 à 00:04

gagnéBonjour,

je propose a=2000 mm et b = 250 mm.

Zéro finesse chez moi comme d'habitude (repère, coordonnées, équation de droites, points, aire du losange, résolution d'une équation à deux inconnues à solutions entières donc recherche quand le discriminant d'un trinôme est un carré parfait avec boucle for...). Ca aurait pu être pire, j'étais parti pour faire du calcul intégral .

Donc merci Maple et merci à ceux qui ne gâcheront pas l'énigme comme moi !

Merci pour l'énigme !

Joute n°141 : Losangeless

Posté par
Alishisap
re : Joute n°141 : Losangeless 05-04-14 à 00:28

gagnéJe remarque maintenant qu'en utilisant le théorème de Thalès, j'aurais pu trouver h et h2 beaucoup plus rapidement et facilement !

Posté par
littleguy
re : Joute n°141 : Losangeless 05-04-14 à 10:16

gagnéBonjour,

Je propose a = 2000 mm et b = 250 mm

Posté par
geo3
re : Joute n°141 : Losangeless 05-04-14 à 10:29

gagnéBonjour

a = 2000 mm
b = 250 mm


Merci pour une telle énigme que j'adore
A+

Posté par
torio
re : Joute n°141 : Losangeless 05-04-14 à 19:47

gagnéa = 2000 mm
b = 250 mm

A+
Torio

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°141 : Losangeless 06-04-14 à 10:06

gagnéBonjour Godefroy.
a = 2000; b = 250

hauteur d'un triangle à base bleue : 0,5a*(1+b)/(3+a)
diagonale verticale du losange : (3-ab)/(3+a)
hauteur d'un triangle à base rouge : 0,5b*(3+a)/(1+b)
diagonale horizontale du losange : (3-ab)/(3+a)
formule dans un tableau de 3000 lignes et de 1000 colonnes à partir de A1 :
=(LIGNE()*COLONNE()*0,000001-3)^2/((3+LIGNE()/1000)*(1+COLONNE()/1000))
Le résultat 1 se trouve en IP2000; IP est la 250ième colonne.

Posté par
dubo34
re : Joute n°141 : Losangeless 07-04-14 à 14:12

perduje propose a=240 et b=1250

Posté par
seb_dji
re : Joute n°141 : Losangeless 09-04-14 à 14:01

gagnéa=2000 mm
b=250 mm

Posté par
Zerd
re : Joute n°141 : Losangeless 09-04-14 à 15:49

perduSelon moi :

* a = 3-3
* b = 1 - 1/(3)

Soit, en arrondissant au millimètre :
* a = 1268 mm
* b = 423 mm

Petite interrogation quant à l'énoncé. Il est écrit que :

Citation :
Ces 2 longueurs sont des nombres entiers de millimètres
or
Citation :
Il faut par ailleurs que la surface du losange central ainsi formé soit égale au sixième de la surface du rectangle.


Cela ne laisse donc pas le choix sur la valeur de a et b et pourtant, ce ne sont pas des entiers de millimètres. J'espère que cela voulait dire qu'il fallait arrondir

Posté par
rijks
re : Joute n°141 : Losangeless 09-04-14 à 18:38

perduBonjour,
Après pas mal de calculs je trouve que la surface du losange est :
(H*L-a*b)2/(2*(H+b)*(L+a))
où:
H la hauteur du rectangle
L la largeur du rectangle
a et b les paramètres définis dans l'énoncé.
Je trouve une unique réponse où :
a=2000mm et b=625mm

Posté par
LittleFox
re : Joute n°141 : Losangeless 10-04-14 à 14:51

gagnéÉtonnamment, les seules valeurs de a et b sont ceux de la paire (2000,250).

En résolvant, on obtient l'équation (ab-3000000)^2 = 1000000*(a+3000)*(b+1000) dont la seule solution entière dans l'intervalle a \times b \in [0,3000]\times[0,1000] est (2000,250).

Posté par
spelecameleon
Réponse joute n°141 10-04-14 à 17:15

perduBonjour,

Ci dessous ma réponse pour l'énigme "Losangeless" :

J' exprime la surface du losange en fonction de a et b, en utilisant le théorème de Thalès (Je ne développe pas les détails) : on obtient :

S=(3-ab)^2/((3+a)(2+2b))

(Avec S en m2, a et b en m)

On recherche les valeurs de a et b entières en mm qui solutionnent S=0,5m2 (le sixième de la surface du rectangle 1x3)

Pour ce faire j'utilise un programme qui passe en revue toutes les combinaisons de a (0 à 3000) et b (0 à 1000).

J'obtiens rapidement a=25cm et b=2m.
Il n'y a que cette solution, avec a et b entiers en mm.

Cordialement

Posté par
spelecameleon
réponse joute n°141_commentaire 10-04-14 à 17:20

perduRe-bonjour,

Je viens de m'apercevoir que j'ai lamentablement inversé a et b dans ma réponse ;
Néanmoins, comme il est précisé dans l'énoncé, "la figure n'est pas forcément à l'échelle", a et b sont interchangeable, ce qui me sauve la vie...

Cordialement...

Posté par
lenain
retour aux affaires 10-04-14 à 23:12

gagnéBonjour

ma réponse pour cette belle énigmes :

a=2000mm   et b=250mm

qui est la seule réponse entière

merci

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°141 : Losangeless 11-04-14 à 18:47

gagnéBonsoir,
Les valeurs en mm des segments respectivement bleus et rouges sont :

a=2000  et  b=250

Merci pour cette énigme.

Posté par
benmagnol
Très belle énigme ! 11-04-14 à 19:19

gagné2000 mm pour le bleu et 250 mm pour le rouge
Merci pour l'énigme !

Posté par
celestin73
141 Losangeless 11-04-14 à 23:25

perduPour cette 1ère participation, c'est un échec
Je trouve bien une formule qui détermine l'aire du losange en fonction de a et b
Mais pas de couple (a,b) qui répondent à la contrainte d'être des entiers en mm tels que l'aire soit égale à 0,5 (1/6 de 3, l'aire du rectangle)

je poste néanmoins ma formule :
si L est le grand côté et l le petit côté
en posant a' = a + L et b' = b+L

L'aire du losange est donnée par S = (4a'2b'2 - 4a'2b' - 12a'b'2 + a'2 + 9b'2 + 6a'b') / 2a'b'

Cette formule tombe juste pour les cas limites :
a=0 et b=0 => S = 1,5
a=3 et b=0 => S = 0,75
a=0 et b=1 => S=0,75
a=3 et b=1 => S=0

mais je ne trouve pas solutions avec a et b entiers en mm [url][/url]

Posté par
jonjon71
re : Joute n°141 : Losangeless 12-04-14 à 19:15

perduBonjour,

Je propose a = 1 et b = 1.

Merci.

Posté par
basilide
re : Joute n°141 : Losangeless 14-04-14 à 10:09

gagnéAprès avoir utilisé les théorèmes de Thalès et Pythagore, on a trouvé les longueurs des segments :

Segment bleu : 2000 mm
Segment rouge : 250 mm


Dans ce cas, on aura des diagonales de longueur respective 2m et  0.5m, et le losange aura pour aire 0.5m2 qui est le sixième de l'aire du rectangle.

Posté par
jujufamily
re : Joute n°141 : Losangeless 15-04-14 à 23:27

perduJe réponds tard après le post ^^'

Mais b = 10 mm et a = 4 mm permettent d'obtenir le résultat cherché

Posté par
jujufamily
re : Joute n°141 : Losangeless 15-04-14 à 23:30

perduArg mal lu l'énoncé, c'était des mètres, j'ai résolu avec des centimètres...

J'espère que sa marche quand même :
   b = 1 000 mm et a = 400 mm

Posté par
franz
re : Joute n°141 : Losangeless 16-04-14 à 23:49

gagnéa =2000 mm
b = 250 mm
Merci

Posté par
Raphi
re : Joute n°141 : Losangeless 22-04-14 à 00:58

perduSans certitude :
a=0.625m et b=0.8m

Posté par
weierstrass
re : Joute n°141 : Losangeless 25-04-14 à 00:01

gagnéCa remonte a y a longtemps thales...

finalement je trouve
a=2m=2000mm
b=250mm

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°141 : Losangeless 28-04-14 à 08:24

Clôture de l'énigme :

Pas mal de réponses un peu disparates. Merci Thalès !

J'en profite pour souhaiter de bonnes vacances à certains et une bonne rentrée à d'autres.

Posté par
Chatof
re : Joute n°141 : Losangeless 28-04-14 à 08:27

a=2000  b=250

Merci

Posté par
Chatof
re : Joute n°141 : Losangeless 28-04-14 à 08:33

Posté par
Alishisap
re : Joute n°141 : Losangeless 28-04-14 à 11:36

gagnéArgh vraiment pas de chance Chatof !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 119:10:23.
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