Bonjour et encore merci godefroy,

Curieuse énigme que voici !!! D'apparence facile mais ... sans solution. Alors ???
Pourquoi tant insister sur l'écriture en base 10 pour abcde ??? Peut être que eabcd n'est pas en base 10..
Donc je me lance ..
Je propose 96052 qui multiplié par 7 donne 672364, nombre qui s'écrit en base 23.... 29605.
Donc 7* (abcde en base 10)=(eabcd en base 23).

Bonjour, mon algo pouvait encore tourner longtemps:
1 014 492 753 623 188 405 797

merci pour cette énigme, mais qui s'apparente plutôt à une recherche internet...  

Bonjour godefroy,

Le plus petit nombre entier strictement positif possédant cette curieuse caractéristique est

1014492753623188405797

Merci pour cette énigme arithmétique.

Salut, je trouve un nombre vraiment grand :

1014492753623188405797

Pour compléter, je trouve en fonction du choix du chiffre des unités qui peut être 7,8 ou 9 :

7 : 1014492753623188405797
8 : 1159420289855072463768
9 : 1304347826086956521739

à chaque fois des nombres de 22 chiffres ...

mmm, pas si facile que ca.

Je n'ai rien de plus petit que 1014492753623188405797

alors je tente ma chance....

Le plus petit nombre entier strictement positif possédant cette curieuse caractéristique est 1014492753623188405797.

En effet

On cherche un nombre de la forme tel que et (le nombre ne commence pas par 0).

Après simplification et .

Le plus petit tel que est , peu importe .

En posant et , on obtient .

Bonjour
1014492753623188405797 x 7 = 7101449275362318840579

Le nombre :  1014492753623188405797
7*nombre  : 7101449275362318840579




A+
Torio

Bonjour à tous.

Ma réponse:1014492753623188405797

Merci pour l'énigme

Bonjour,

Le nombre naturel cherché est  1014492753623188405797
[ 7*(10^21-7)/69*10+7 ].

1014492753623188405797*7=7101449275362318840579.

Merci pour la joute.

Bonjour

n = 1 014 492 753 623 188 405 797

Commentaire: voir O.E.I.S. A092697

Bien à vous

D'après GéoGebra, n'a pas de solution (à part bien sûr)... J'ai aussi fait tourner un algo jusqu'à 207 000, sans résultat...
Ma réponse : impossible

Bonjour
Ce serait
1014492753623188405797.
car
1014492753623188405797*7=7101449275362318840579.
A+

Bonjour,

On peut chercher longtemps ou prouver l'impossibilité...

1/quels sont les débuts compatibles avec x7 pour rester
dans une même tranche de chiffre?
on arrive vite à 10 11 12 13.
2/quels sont les chiffres de fin possibles:
10-->7 11et12-->8 13-->9
3/l'avant dernier chiffre devra résulter de ces derniers
7->9 8->6 et 9->3
si on prend abcde comme  base avec eabcd =7 x abcde
et 13 comme début on obtient:

13cd9 x 7 =913cd -->d=3
13c39 x 7 =913c3--->c=7
13739 x 7 =91373 ? or cela fait 96173

idem pour tous les exemples et toutes les tranches .

Ma réponse est donc IMPOSSIBLE.

Pour mémoire,
13 043 478 260 869-->91 304 347 826 086
Et multiplié par 7 ->91 304 347 826 083 dommage

salut.

en récupérant le cycle des 22 chiffres de la partie décimale de

on obtiens le nombre : 1304347826086956521739

                                                            à plus.

Bonsoir godefroy_lehardi

1014492753623188405797 *7 =
7101449275362318840579

Merci pour ce joute.


        

Bonjour,

Je propose 1014492753623188405797

Bonjour,

J'ai trouvé un plus petit nombre plutôt grand : 1 014 492 753 623 188 405 797.

J'ai fait comme ça :
En gardant la notation n = abc...de, on veut abc...de x 7 = eabc...d.
Pour que 7n n'ait pas plus de chiffres que n, il faut abc < 1000/7 = 143 (donc a=1, b≤4).
7n commence alors par e = 7, 8 ou 9.

Ensuite, si n finit par e=7, alors 7n finit par d=9, donc n finit par 97.
Si n finit par 97, 7n finit par 79, donc n finit par 797, etc.
On fait en fait une simple multiplication par 7, mais sans en connaître la fin :


On continue comme ça jusqu'à tomber sur n commençant par 142 ou moins, et on trouve :
. pour e=7, n = 1 014 492 753 623 188 405 797
. pour e=8, n = 1 159 420 289 855 072 463 768
. pour e=9, n = 1 304 347 826 086 956 521 739

Le plus petit est 1 014 492 753 623 188 405 797.

salut, la réponse est 91  car si on déplace le chiffre des unités, on obtient 19.

Ok, je chercherai pas à justifier que j'ai pigé m'être planté, mais je le dis : je me suis planté grave !
Ce que je faisais, c'est transformer ABCDE en BCDEA... Rien à voir, donc je puerai la poiscaille !

le nombre 10X+a (de longueur k) doit vérifier:
69*X=(10^k-7)*a
ce qui fonctionne pour la première fois pour:
k=21
a=7
X=(10^21-7)*7/69 = 1,01449275362319... 10^21

Bonjour Godefroy.

1.014.492.753.623.188.405.797

Soient y le dernier chiffre, x le nombre formé par les autres et p le nombre de chiffres.
(10x+y)*7 = y*10^(p-1) + x
69x = y*[10^(p-1)-7]
10^n  est 7 modulo 69 quand n = 21
69x = y* 999.999.999.999.999.999.993
x = 14.492.753.623.188.405.797 y, avec y égal à au moins 7

Bonjour,

je propose la réponse suivante :

1014492753623188405797

Merci pour cette énigme, qui démontre la supériorité de l'homme sur la machine...

Cordialement

Le plus petit nombre répondant à la question est :


Pour le démontrer on peut écrire que si est le nombre cherché, on a :


donc


Comme , ne divise pas et par le théorème de Gauss, divise
Le petit théorème de Fermat nous dit que comme 23 est premier et que 10 n'est pas un multiple de 23, divise
On vérifie que 22 est le plus petit entier tel que divise .
est constitué uniquement de 9 et par conséquent est aussi un multiple de 3 donc de 69.

En définitive

Ce premier affreux nombre (correspondant à ) ne convient pas avec la contrainte "ne commence pas par 0" car il n'a que 21 chiffres. Son premier multiple supérieur à   correspond au cas et donc à la solution affichée.

Salut,godefroy! Salut, tous!
Il n'existe aucun entier possédant cette curieuse caractéristique!
Enfin, à erreurs et confusions près (ce qui ne serait pas surprenant vu tous les entiers que j'ai dû manipuler)...

Cher godefroy, pour la pénible mais délictueuse gymnastique neuronale qui nous est imposée sur cette île, je ne cesserai jamais de la remercier... mais de la maudire presque autant!

bonjour et merci pour ce joli problème,

voici la solution que je propose :
1014492753623188405797 x 7 = 7101449275362318840579

-----------------------
Pour commencer, on écrit le nombre recherché sous la forme 10*A + B, où B est le chiffre des unités, et A comporte k chiffres.
Nous écrivons les conditions suivantes:


Notons que B ne peut pas être 0, mais que A commence forcément par 1, sans quoi le "multiple par 7" compterait forcément un chiffre de plus que le chiffre initial. B, comme premier chiffre du multiple, ne peut alors valoir que 7, 8 ou 9.

On veut trouver le plus petit A tel que :


Après ré-agencement nous donne:



Notant que 10^k-7 est toujours divisible par 3, cela donne:



Il faut donc trouver le plus petit k tel que (10^k-7) soit multiple de 23 (B ne pouvant pas l'être puisque < 10). Il se trouve que la plus petite valeur possible pour k est 21. Il ne reste alors plus qu'à tester la plus petite des 3 valeurs admissibles pour B (7, 8 ou 9). On trouve bien la plus petite solution pour B=7. Avec k=21, cela fait donc A=101449275362318840579.
Merci pour la joute, et à bientôt

Clôture de l'énigme :

J'ai appris par la suite que les nombres possédant cette caractéristique s'appellent les nombres parasites.

Bravo en particulier à ceux qui ont bien expliqué leur démarche !

Félicitations à masab pour sa 3^ème victoire !
^{ça s'est joué à peu de choses}

Bravo également à derny, rschoon, littleguy, Raphi, torio, Littlefox, weierstrass et manitoba pour leur sans-faute.

pourquoi ai je un poisson? j'ai répondu juste!
je suis au bureau et sur mon excel, je ne pouvais pas afficher plus de 10 chiffres...

Bonjour seb_dji,

Je suis désolé mais 1,01449275362319... 10^21 n'est pas la bonne réponse.

C'est vrai que excel a des limitations mais, sur une feuille A4, on peut aligner plus de 10 chiffres.

Bonjour,

Chapeau bas pour tous ceux qui ont trouvé, pour ma part
j'ai abandonné en vérifiant l'impossibilité pour les tranches
jusqu 'à 10 j'étais loin de 21

Je félicite aussi ceux qui ont trouvé sans recherche internet...

_{(J'ai honte de moi)}

Bonjour,

Merci Weierstrass?
La prochaine fois j'irais voir sur Wikipédia
si par hasard il n'y aurait pas la réponse
dès les premières lignes

Que fallait-il taper sur google pour trouver la réponse ?

Décalages en 1 à 9 :
_{(58 chiffres pour le cas 6, l'énigme aurait pu être plus vache ...)}

> masab

Taper "nombres parasites" et la première proposition conduit à ceci :

Ma question était :
Que fallait-il taper sur google pour trouver la réponse ?

"fallait-il" est à l'imparfait...
Or à la lecture de l'énigme, on ne savait pas sauf exception que les nombres en question s'appelaient des nombres parasites...

D'accord. Du coup je n'en sais rien, je vais chercher...

Bonjour,

>>>Weierstrass  et Masab ont raison !

Il ne s'agit plus de réussites mathématiques.

On gagne soit:

1) parce qu'on programme bien

2) parce ce qu'on est un bon fonctionnaire archiviste d'internet.

La réputation du meilleur gagnant au concours d'énigmes en prend un sacré coup

Tout est remis en question !

Bonjour à tous,

Je peux comprendre la déception de ceux qui n'ont pas trouvé mais il faut quand même remettre les choses dans leur contexte.

1. Lorsque je m'inspire d'une énigme existante, j'essaye de vérifier si on ne la trouve pas trop facilement sur Internet. J'ai renoncé à plusieurs joutes pour cette raison. Maintenant, si d'autres trouvent de meilleurs mots-clé que moi...

2. Les résolutions purement géométriques ou arithmétiques sont évidemment plus élégantes que la "force brute". Mais il faut tenir compte de l'évolution des technologies.
Je trouve parfois des énoncés géométriques très intéressants mais, avec geogebra (ou tout autre logiciel de géométrie dynamique), ça devient un jeu d'enfant et on perd tout le sel du jeu.

3. Dans le cas présent, celui qui connaissait l'existence des nombres parasites était évidemment avantagé. Mais, s'il les connait et pas vous, c'est qu'il a passé un peu plus de temps à construire sa culture mathématique, non ?
Si vous participez à la même course que Usain Bolt, c'est normal qu'il vous mette plusieurs mètres dans la vue. N'empêche que vous aurez eu le plaisir de participer.

Et puis, voici une énigme qui pouvait très bien se résoudre avec du papier, un crayon et de la réflexion. A l'ancienne, quoi !

Je confirme!
D'ailleurs, c'est ce que j'ai fait. Papier, crayon, patience,... (autant de raisons de maudire l'île, quoi) Par malheur, une petite erreur m'a fait remplacer le 8 vers la fin par un 0, et après on arrivait à la conclusion qu'un tel nombre n'existe pas. Mais j'ai vérifié mes calculs depuis (trop tard), et j'ai bien trouvé.
Et puis, il y a déjà eu des énigmes pour lesquelles les mathématiques pures étaient moins utiles que la culture (comme celle avec les mathématiciens à reconnaitre)!

Soit dit en passant, masab, toutes mes félicitations!

Personnellement j'ai résolu cette 4ème énigme à la main !
En programmant avec la force brute, on ne pouvait jamais atteindre ce nombre de 22 chiffres...

J'ai eu un coup de bol, j'avais cherché du côté des nombres derviches, qui se rapprochaient assez du problème, mais ils commençaient par 0.
Mais en bas, un lien conduisait vers les nombres parasites...
Par curiosité, et en parcourant les pages, j'ai fini par y aller.
Néanmoins , j'ai un peu de regrets en voyant que l'on pouvait résoudre à la main!

Bonsoir,

Mon coup de chapeau s'adressait à ceux qui
avaient trouvé "à la main" (et au cerveau)
Mais les heureux lecteurs de Wikipédia ont aussi
fait montre de "réalisme".
Les informaticiens n'ont qu'à laisser "tourner"..

J'ai stoppé à 10¹³
J'aurais dû extrapoler ma solution en incrémentant  de 1 à9
en retenant le plus proche ,et en 8 coup seulement j'y étais...

Bonjour
Pas d'accord avec Castoriginal.
A la main j'ai trouvé assez vite les 3 nombres donnés par Raphi par une méthode proche de celle indiquée par LittleFox.