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Joute n°174 : Les macarons de Noël

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
16-12-14 à 11:03

Bonjour à tous,

C'est bientôt Noël et je cherche une idée de douceurs plus originale que les chocolats.
J'entre dans une pâtisserie et je tombe sur une vendeuse férue d'énigmes qui me dit : « Si vous devinez le prix de ces délicieux macarons, je vous fais une réduction. »

Voici les indications :
X macarons coûtent Y euros et y centimes.
Y macarons coûtent Z euros et z centimes.
X, Y, Z, y et z sont des nombres premiers tous différents et X < Y < Z.

Question : Quel est le prix d'un macaron ?
Le prix est un nombre entier de centimes.

Joute n°174 : Les macarons de Noël

Posté par
masab
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 11:31

gagnéBonjour godefroy,

Le prix d'un macaron est de 2 euros 47 centimes.
C'est la solution avec prix du macaron le moins cher possible.
Merci pour cette énigme arithmétique !

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 11:38

gagnéLa solution n'est pas unique...
Je trouve des macarons à 247 centimes d'euros pièce.
3 macarons à 2,47€ valent 7,41€
7 macarons à 2,47€ valent 17,29€

Posté par
littleguy
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 11:56

gagnéBonjour,

Je propose 2,47 €

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 12:57

gagnéBonjour Godefroy.
Le macaron coûte 2,47 €.
3 macarons coûtent 7,41 €.
7 macarons coûtent 17,29 €.
2 et 47 sont également des nombres premiers.

Posté par
rschoon
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 13:37

gagnéBonjour à tous.

Parmi les nombreuses solutions possibles, je propose un macaron à 1,01 euro et :

X = 607, Y = 613, Z = 619, y = 7, z = 13.

Merci pour l'énigme.

Posté par
LittleFox
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 14:01

gagnéUn prix possible est 101 centimes soit 1,01€.

En effet :
607 macarons coûtent 613 euros et 7 centimes.
613 macarons coûtent 619 euros et 13 centimes.
607, 613, 619, 7 et 13 sont des nombres premiers tous différents et 607 < 613 < 619.

Je pense qu'il y a une infinité de prix possibles. Les seules contraintes sur le prix P (en centimes) sont :
- P > 100, puisque X*P = Y*100 + y, donc X*P > Y*100 et donc \frac{P}{100} > \frac{Y}{X}. Or X<Y, donc \frac{P}{100} > \frac{Y}{X} > 1.
- P n'est pas un multiple de 2 ni de 5. En effet, Y*100+y est un multiple de P et donc y serait un multiple de 2 et/ou de 5. Or y est premier ce qui est une contradiction.

Voici d'autres exemples valides :

(pas de solution pour P = 107 avec X,Y,Z < 10000)
PXYyZz
1032081214343220729
1092719296371322967
1111039115329127983
1134753115989
117617137837
119137163319397
121907109747132737
12373897910947


Il n'y a pas beaucoup de chances d'avoir une réduction

  

Posté par
torio
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 14:18

gagnéPlusieurs solutions :
En voici une avec le prix d'un macaron qui est aussi un nombre premier
et X<Y<Z<y<z :



19 macarons coûtent 43 Euros et 13 centimes
43 macarons coûtent 97 euros et 61 centimes    
soit :227 centimes le macaron




Toutes les solutions :
X   Y    y            Y   Z    z                                  prix du macaron
3 - 7 -  41           7 - 17 - 29                                     247
3 - 7 -  47           7 - 17 - 43                                     249
3 - 7 -  59           7 - 17 - 71                                     253
3 - 11 - 31           11 - 41 - 47                                    377
3 - 11 - 79           11 - 43 - 23                                    393
3 - 11 - 97           11 - 43 - 89                                    399
3 - 13 - 71           13 - 59 - 41                                    457
3 - 17 - 13           17 - 97 - 7                                     571
3 - 17 - 19           17 - 97 - 41                                    573
11 - 31 - 79          31 - 89 - 59                                    289
13 - 19 - 89          19 - 29 - 7                                     153
19 - 41 - 61          41 - 89 - 79                                    219
19 - 43 - 13          43 - 97 - 61                                    227
23 - 29 - 67          29 - 37 - 41                                    129
23 - 47 - 61          47 - 97 - 29                                    207
29 - 37 - 41          37 - 47 - 73                                    129
47 - 53 - 11          53 - 59 - 89                                    113
61 - 71 - 37          71 - 83 - 7                                     117
71 - 83 - 7           83 - 97 - 11                                    117

Posté par
dpi
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 14:38

gagnéBonjour,

Toujours amusant.

Je pense que les macarons valent 1.29€

les  23 valent ainsi 29.67€
et les 29 valent 37.41 euros              

Posté par
ksad
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 16:02

gagnéBonjour et merci pour cette énigme.

Plusieurs réponses possibles, me semble-t-il.

Le macaron le moins cher se vend à 117 centimes (1.17 euros) et se combine avec, par exemple, X=71, Y=83 et Z=97 :
71 x 1.17 = 83.07
83 x 1.17 = 97.11
tous les nombres demandés sont premiers et on a bien X < Y < Z.

Le plus cher, dans la boutique la plus chic, se vendra à 573 centimes (5.73 euros le macaron... c'est du tout beau macaron!) et on n'en prendra que X = 3 :
3  x 5.73 = 17.19
17 x 5.73 = 97.41
et on a à nouveau cinq nombres premiers tous différents.

En tout, j'ai trouvé 19 solutions différentes, avec 17 prix différents !
voici les 17 prix possibles (en centimes)
113
117 (2 solutions)
129 (2 solutions)
153
207
219
227
247
249
253
289
377
393
399
457
571
573

Bien malin (ou plutôt bien chanceux) celui qui obtiendra la réduction (et le sourire de la vendeuse)...
Merci pour l'énigme

Posté par
Alexique
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 17:55

gagnéBonjour,

je vends mes macarons 1 € et 17 centimes l'unité (X=71<Y=83<Z=97 et y=7 et z=11 tous premiers distincts). Cela dit, il y a assez de solutions à ce problème pour les vendre beaucoup plus chers

Merci pour l'énigme et bonnes fêtes à tous !

Joute n°174 : Les macarons de Noël

Posté par
blumaise
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 18:08

gagné5,71€ le macaron, ils ont intérêt à être bons !

Posté par
Cpierre60
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 18:41

gagnéBonsoir,
Je propose comme prix unitaire du macaron :
129 centimes
Si X=29, on a : Y=37 y=41, Z=47 z=73

Joyeux Noël et merci pour ces énigmes !

Posté par
pi-phi2
les macarons de noel 16-12-14 à 19:34

gagnésalut.

le prix d'un macaron en euros:

\Large P =\frac{Y + y.10^{-2}}{X} = \frac{Z + z.10^{-2}}{Y} \Rightarrow \frac{y.Y - z.X}{X.Z - Y^2} = 100

donne \Large X = 3 ; Y = 7 ; Z = 17 ; y = 41 ; z = 29

ce qui donne le prix du macaron à  \Large 2.47 euros = 247 cts d'euros

Posté par
lo5707
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 19:43

gagnéBonjour,

Bizarrement, l'énoncé ne suggère pas qu'il puisse y avoir plusieurs solutions...
Pourtant j'en trouve plusieurs...

En voici une - qui est ma réponse :

Citation :
un macaron coûte 1,13 €
On a bien : 47 macarons coûtent 53,11 € et 53 macarons coûtent 59,89 €  avec 47, 53, 11, 59 et 89 premiers et 47 < 53 < 59


je trouve aussi - entre autre - des solutions où le macaron vaut :
1,23 € - 1,29 € - 1,39 € - 1,47 € - 1,53 € - 1,77 € - 1,89 € - 1,93 € - ...


Merci pour l'énigme

Posté par
geo3
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 21:09

gagnéBonsoir
Une solution est pour le prix d'un macaron 249 centimes = 2.€49
En effet
prix d'un macaron  = (100Y+y)/X = (100Z+z)/Y
en prenant X=3 , Y=7,  et Z =17 ça marche  avec y = 47 , z = 43
( 7*100 + 47) / 3= 249====( 17*100 +  43) / 7= 249
A+

Posté par
manitoba
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 22:53

gagnéBonsoir Godefroy,

Je dois sûrement ne pas avoir compris le problème vu les trop nombreuses solutions qui j'ai trouvés.
Voici la 1ère:
Le prix correspondant est 2.47€ le macaron.
X=3,Y=7,y=41,Z=17,z=29, prix=2.47
( 7*100 + 41) / 3= 247  , ( 17*100 +  29) / 7= 247

Merci pour la joute et le poisson.

Posté par
franz
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 16-12-14 à 23:11

gagnéj'ai trouvé d'innombrables solutions. Parmi celles-ci, le  prix p = 1,13 € avec X=47. En effet :

47 p = 53,11 €           d'où Y = 53 et y = 11
53 p = 59,89 €           d'où Z = 59 et z = 89

mais aussi par exemple si on veut des valeurs de X plus raisonnables (mais pas de p) : p = 2,47 € avec X=3 qui conduit à Y = 7, y = 41, Z = 17, z = 29

Posté par
sbarre
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 17-12-14 à 13:29

gagnéBonjour,
je propose 113 centimes pour un macaron
47 macarons valent 53 euros et 11 centimes
53 macarons valent 59 euros et 89 centimes

on a X=47
Y=53
Z=59
qui sont bien différents et dans un ordre croissant et enfin y=11 et z=89
On 5 valeurs toutes différentes et toutes premières!


Ce qui m'étonne c'est qu'il est demandé le prix d'un macaron sans imposer le nombre de macarons à acheter par exemple. soit j'ai eu beaucoup de chance pour tomber très rapidement sur l'unique résultat, soit il y a de nombreuses possibilités... (mais ce n'est pas l'impression donnée dans l'énoncé!!!).

On verra bien....

Posté par
Livia_C
Prix macaron 17-12-14 à 13:40

gagnéBonjour,
Le prix d'un macaron : 249 centimes

X=3;
Y=7;  y=47
Z=17; z=43

Merci pour l'énigme

Posté par
seb_dji
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 17-12-14 à 14:51

gagnéun macaron coûte 5 euros et 71 centimes
en effet: 3 macarons coutent donc 17,13e
et 17 macarons couteront 97.07e

Posté par
charmander
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 17-12-14 à 16:15

gagnéBonjour,

Il y a beaucoup de solutions ! Le prix moins cher que j'ai trouvé est de 101 centimes.

X=603 macarons coûtent Y=613 euros et y=7 centimes.
Y=613 macarons coûtent Z=619 euros et z=13 centimes.

603,613,619,7,13 sont bien sûr premiers et X<Y<Z.

Posté par
cakou
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 18-12-14 à 17:37

gagnéSalut Godefroy

je propose
le prix des macarons en centimes = 113 Centimes
et pour X<Y<Z et y et z tous premiers tous différents:

X= 47
Y= 53
Z= 59
y= 11
z= 89

Posté par
cercus
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 19-12-14 à 19:59

gagnéVoici l'une des réponses à cette énigme :
1 macaron peut coûter 323 centimes ou 1.23€

Posté par
weierstrass
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 19-12-14 à 21:28

gagnéBonjour, je trouve 2,47€ le macaron...
merci pour l'énigme!

Posté par
benmagnol
Ma patissiere m'a aidé. 21-12-14 à 09:31

gagnéBonjour,
647 macarons à 1,01 Euro coutent 653,47 Euros
653 macarons à 1,01 Euro coutent 659,53 Euros
La réponse à l'énigme est donc 101.
Merci encore de nous avoir gâté avec cette énigme.

Ma patissiere m\'a aidé.

Posté par
veleda
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 26-12-14 à 09:44

gagnébonjour,
je propose 249 centimes pour le prix d'un macaron

merci pour cette énigme gourmande

Posté par
Zakoji
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 00:13

gagnéRebonsoir,

je trouve beaucoup de prix possibles...
101 centimes par exemple : X=607 Y=613 y=7 Z=619 z=13
Mais aussi 103, 109, 111, 113, 117, 119 ... etc...

Posté par
jugo
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 09:50

gagnéBonjour,

Il y a je pense beaucoup de solutions.
La meilleure solution que j'ai trouvée (le plus petit prix) avec X=3 est la suivante :

1 macaron coûte 2,47 euros
3 macarons coûtent 7,41 euros   (X=3, Y=7, y=41)
7 macarons coûtent 17,29 euros   (Z=17, z=29)

Merci.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 10:49

Clôture de l'énigme :

Voilà ce qui s'appelle se vautrer dans les grandes largeurs !

Joute n°174 : Les macarons de Noël

J'avais prévu des contraintes supplémentaires mais j'ai oublié de les écrire dans l'énoncé.
Heureusement, il y avait tellement de solutions que personne n'a été lésé.

Le seul qui mérite un poisson (que dis-je, un banc de poissons), c'est moi.
Il est temps que je prenne ma retraite.

Posté par
sbarre
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 11:02

gagnéBonjour godefroy et à tous les autres

Citation :
Il est temps que je prenne ma retraite.
  ben.... non!

En tout cas 100%, je n'ai pas le souvenir d'avoir déjà vu cela! Est-ce une première? (je suis certain que quelqu'un va me déterrer le topic qui prouve que non...s'il existe)

Bonne année à tous.

Posté par
dpi
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 14:10

gagnéBonjour,

J'imagine si tu avais dit :
Si il y plusieurs solutions, donnez les toutes"

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 16:31

> sbarre
C'est vrai que les énigmes à 100% sont rares mais il y en a eu.
La dernière est la joute 157 en août dernier. Les précédentes étaient les énigmos 307 et 308 en août/septembre 2013.

Posté par
lo5707
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 16:59

gagnébonjour Godefroy,

Juste pour info, peut-on connaître les contraintes supplémentaires ?

Posté par
lo5707
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 06-01-15 à 18:30

gagnédes énigmes à 100%, il n'y en a pas beaucoup, mais quelques-unes quand même.

par contre des énigmes à 0% c'est plus rare...
et il faut remonter loin...
voilà qui donnera de la nostalgie à certains

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Posté par
LittleFox
re : Joute n°174 : Les macarons de Noël 09-01-15 à 18:37

gagnéBeaucoup de réponses proposent le macaron "le moins cher" en se trompant royalement ceci dit

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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