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Joute n°18 : Les patineurs
Bonjour à tous,
Je vous propose une énigme assez facile (pour changer un peu 
)
En marge des championnats d'Europe de patinage qui ont eu lieu récemment à Berne, deux jeunes patineurs de grand talent mais peu portés sur les mathématiques, Alban P. et Brian J., se sont lancés un défi sur la glace.
Le défi consiste à faire un tour de patinoire avec un départ et une arrivée en C et en passant obligatoirement par les points D, F, H, I et K.
Les dimensions de la patinoire sont CD = HI = DH = IC = 30 m, EG = JL = 10 m (ce n'est sûrement pas très réaliste, mais bon…)
Les bords incurvés de la patinoire DE, GH, IJ et LC (en noir) sont des quarts de cercle de rayon égal à 10 m.
Enfin, F est le milieu de [EG] et K est le milieu de [JL].
Les deux concurrents patinent à tour de rôle, mais chacun avec sa technique personnelle.
Alban n'étant pas très à l'aise dans les virages, il choisit de n'effectuer que des portions de lignes droites (lignes bleues et rouges). Cela signifie donc qu'il longe le bord de C à D, puis il va de D à E en ligne droite, puis longe le bord de E à G, puis il coupe de nouveau le virage de G à H, etc…
Brian longe le bord de C à D, mais ensuite il effectue un arc de cercle qui part de D pour arriver en H et qui tangente le bord de la patinoire en F (lignes bleues et vertes). Il fait de même de l'autre côté, c'est à dire un arc de cercle de I à C tangent au bord en K.
Question : quelle distance chaque patineur a-t-il parcouru ?
Donnez les deux distances arrondies au centimètre.
Bonjour Godefroy 
,
Je propose :
- Pour Alban une distance d'environ 136,57 m.
- Pour Brian une distance d'environ 136,44 m.
Merci pour l'énigme...
Bonjour godefroy_lehardi,
Alban a parcouru 136.57 m et Brian 136.44 m. Merci pour la joute et bon week-end.
Ma glissade du jour (au centimètre près)...
Alban = 136,57 m
Brian = 136,44 m
Explication (avec a=30m et b=10m) :
A = 2a + 4b
2 + 2b
B = 2a + 4R.alpha
Avec : R = (a²+4b²)/8b
Et : alpha = Arcsin(a/2R)
Bonjour godefroy_lehardi
Je trouve pour Alban: 136,57 m
et pour Brian: 136,44 m
Il me semble que le méchant godefroy a tendu un piège en laissant croire qu'un certain arc de cercle était tangent au grand côté de la patinoire..
Mais voir les pièges n'empêche pas de faire des fautes de calcul...
Bonjour,
Alban parcourra 2x30m + 2x10m + 2x10m, soit un total de 136.57m
Brian, quant à lui, patinera sur 2x30m, plus deux fois l'arc de cercle vert.
Ce dernier a un rayon de 16.25m, et un angle de 134.76°. On peut donc calculer la longueur des arcs, respectivement 38.22m chacun. Au total, Brian patinera donc 136.44m, soit à peine moins qu'Alban!
merci et à bientôt
Bonjour/Bonsoir,
Alban parcourt 136,57 m
Brian parcourt 136,44 m
Si le raisonnement suivant est juste, bien sûr...
Alban parcourt
a = 2*CD + 4*DE + 2*EG
CD = 30
EG = 10
DE = 10*sqrt(2)
a = 2*CD + 4*DE + 2*EG
= 2*30 + 4*10*sqrt(2) + 2*10
= 136,568542
Brian parcourt
b = 2*CD + 2*arc(DH)
Soit Q le centre du cercle passant par DFH
longueur arc(DH) = QF*angle(HQD) = 2*QF*angle(HQD)/2
longueur corde(DH) = 2*QF*sin(angle(HQD)/2)
corde(DH) = DH = 30
angle(HQD)/2 = angle(FQD) = pi - 2*angle(DFK)
angle(DFK) = atan(15/10) = atan(3/2)
arc(DH) = corde(DH)*x/sin(x) avec x = pi - 2*atan(3/2)
x = 1,1760051
b = 2*CD + 2*arc(DH)
= 60 + 60*x/sin(x)
= 136,440335
Merci pour vos énigmes.
Bonjour.
Alban parcourt 136,57 mètres.
Brian parcourt 136,44 mètres.
parcours d'Alban : 80 + 40*√2
rayon de l'arc parcouru par Brian : r² = (r-10)²+15²; r = 16,25
arc parcouru par Brian : 2*asin(15/16,25)
parcours de Brian 60 + 4*asin(15/16,25)
Bonjour Godefroy,
La distance parcourue par Alban est: 136,57 (m) par excès.
La distance parcourue par Brian est: 136,44 (m) par défaut.
Mplj. (merci pour la joute)
Bonjour ,merci pour cet exercice..
Pour Alban c'est assez facile 136 m 57
Pour Brian ,les arc sont plus difficiles à trouver
car le centre de rotation est excentré..
Je trouve 136 m 44
Bonjour Godefroy Lehardi
J'essaie
Alban
(30 + 14.14 +10 + 14.14) * 2 = 136.56 m
Brian
(30 + 38.22) * 2 = 136.44 m
J'espère ne pas m'être trompé, en tout cas merci
joel
Bonjour godefroy_lehardi
Alban
80+40√2
136,568...m
distance parcourue par Alban arrondie au centimètre
Brian
avec les angles en radian
distance parcourue par Brian arrondie au centimètre
sauf erreur
Bonjour,
Alban va parcourir 136,57m.
et Brian 136,44m.
De la trigo, théorème de Pythagore...une jolie histoire !!!
Salut tout le monde.
Je trouve:
80+402 pour Alban
65Arctan(12/5)+60 pour Brian
Réponse:
136,57m pour Alban
136,44m pour Brian
Distances curieusement proches...
Salut,
Alban parcourt 136.5685 m, soit 13657 cm
et
Brian va parcourir 136.4403 m, soit 13644 cm
Divers :
Dans les deux cas les patineurs n'optimisent pas leurs vitesses.
Alban devra effectuer de gros freinages pour n'effectuer que des lignes droites.
Brian lui effectue le parcours le plus court, mais il y a des ruptures de continuité puisque sa trajectoire n'est pas tagente au points C, D, H et J.
Le parcours le plus rapide me semble être en utilisant des demi-elipses ce qui ferait un parcours d'après Ramanujan d'environ 139.3272m
@+
Bonjour,
Décomposons: -Alban parcours CD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KL+LCsoit:
D=30+30+10+10+DE+GH+IJ+LC=80+DE+GH+IJ+LC
Et en posant O le centre du cercle C' de rayon 10m on a D et E appartiennent à C'. Comme ODE est un triangle rectangle: DE=10/(cos(
/4))
Or DE=GH=IJ=LC; donc:
D=80+40/(cos(/4))12000 cm
-Brian lui parcours: D'=60+DH+IC avec DH et IC des demi-cercles de même rayon:1/2*HD=15m Donc la distance DH+IC corespond au périmètre du cercle de rayon 15m, soit: DH+IC=30*
Donc D'=60+30*15425cm.
(Désolé pour les crochets oubliés )
Bonjour,
Je tente ma chance :
- 136,57m pour Alban
- 136,44m pour Brian
Merci pour les rappels de géométrie (si tant est que mes souvenirs soient bons).
j4yF
Bonjour
>godefroy_lehardi
J'avais espéré que vous alliez me faire une fleur ( j'ai répondu un peu vite ) mais ce n'est pas grave
Oui je sais qu'avec 136,568542 on a l'habitude ( ou les convenances) d'arrondir à 136,57 car la 3ème décimale est 
5 qui donne donc une valeur approchée par excès tandis que 136,56 est une valeur approchée par défaut.
Mais
Quelle est la définition rigoureuse de " a est une valeur approchée de x à 
près " ? : pour moi a- 
x a+
ce qui deviendrait peut-être ici pour a = 136,56 et = 0,01
136,56 - 0,01 x + 0,01
=>
136,55 x 136,57
et avec x = 136,5685 l'inégalité est vérifiée
Vous me laissez le 
je ne serais pas vexé pour autant
Encore merci pour ces enigmes
A+
Bonjour.
Ca ne me dérange pas d'avoir un poisson car je fait les énigmes parce que j'aime faire les recherches et pas pour gagner. Par contre, j'essaie dans la mesure du possible de faire les calculs à la main et je prends la racine carré de 2 comme étant égale à 1.414.
Dommage, si j'avais fait les calculs à la calculatrice, j'aurais trouvé 1 cm de plus.
Moralité : ne pas essayer de se souvenir de chiffres clés comme racine de 2, de 3, de 5 ou de pi avec quelques chiffres après la virgule. Vive la technique.
En tout cas, encore une fois merci pour tous ces moyens qui permettent de réfléchir et de faire des recherches pour trouver des solutions à ces problèmes attrayants.
A bientôt et bonne continuation. joël
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