Bonjour Jamo.
Le site doit se situer en abscisse 0 et en ordonnée 38,730; unités en kilomètres.
Il est le centre du cercle inscrit et le point de concours des bissectrices.
OC = √37500.
Distance du site à chaque frontière : √37500*50/(50+200)

Comme cà n'est pas précisé, j'ai supposé que les 3 frontières étaient les trois côtés du triangle.
Le problème se résumait donc à minimiser la somme des distances d'un point aux 3 côtés d'un triangle.
Le calcul donne un y minimum donc y=10km.
Quant à x, la somme des distances aux deux côtés égaux est constante sur la parallèle à l'axe des abscisses...et surtout il faut respecter la distance de 10km.

On trouve donc tous les points de la droite y=10km compris entre -37,090km et +37,090km.

La longueur totale des tuyaux avoisine 101,825 km.

75 solution  :

Solution 1    : <-37;10>
Solution 2    : <-36;10>
Solution 3    : <-35;10>
Solution 4    : <-34;10>
Solution 5    : <-33;10>
Solution 6    : <-32;10>
Etc.....
Solution 71    : <33;10>
Solution 72    : <34;10>
Solution 73    : <35;10>
Solution 74    : <36;10>
Solution 75    : <37;10>

A+
Torio

Bonjour,

je trouve les coordonnées (0,29) pour le point optimal arrondi au mètre près (x = 0., y = 28.86751346 pour etre plus precis)

Merci pour l'énigme,

1emeu

Bonjour godefroy_lehardi et merci!

Je trouve une infinité de solutions et plus précisément tous les points dont les coordonnées x et y (en metres, à 1 m près) dans le repère imposé vérifient:

y=10000.

x est quelconque entre -37090 et 37090.

Bonjour,

Sauf erreur, une infinité de points conviennent pour le site.
Ils sont situés sur un segment horizontal avec pour ordonnée y = +10000 m,
et ont pour abscisse x compris entre -37090 m et +37090 m.

Explication :

Plus un point est bas, plus la somme des hauteurs est faible.
La longueur de tronçon minimale de 10 Km impose donc l'ordonnée minimale à 10 Km.

Avec une figure, on montre par symétrie que pour une ordonnée fixée (qui détermine la première hauteur à sommer), la somme des deux autres hauteurs est constante, quelle que soit l'abscisse. Les sites solutions sont donc sur un segment d'ordonnée 10 Km. Reste à calculer la valeur limite de x restant à distance 10 des bords du triangle, qui se calcule avec un peu de trigo et de Thalès...

On trouve alors |x| <= 50(1-1/15)

Bonjour/Bonsoir,

Je pense que le lieu de forage est :
le segment du point (-37090,10000) au point (37090,10000)
dont tous les points donnent une longueur cumulée minimale de 101825 mètres.

Merci pour vos énigmes.

Raisonnement :
Soit :
- M le point de forage en (xM,yM).
- MD le pipe-line partant de M et rejoingnant par le plus court chemin le coté BC. MD est donc perpendiculaire à BC qu'il coupe en D.
- de même, ME coupe perpendiculairement AC en E,
- et MF coupe perpendiculairement AB en F.
- m la parallèle à AB passant par M
- G l'intersection de m et BC
- H l'intersection de m et AC

Les triangles MDG, MEH et COA sont similaires
donc MD/MG = ME/MH= CO/CA = k qui est une constante qui ne dépend pas du point de forage.
Ensuite, il vient (MD+ME) = (MG+MH)*k = GH*k
or la distance GH est constante à yM constant et diminue quand yM croît
donc la somme (MD+ME) ne dépend pas du tout de xM.
MF, perpendiculaire à AB ne dépend pas non plus de xM.
Finalement, la taille totale des pipe-lines (MD+ME+MF) ne dépend pas de xM.

Par similarité des triangles, GH/(CO-yM) = AB/CO =>
(MD+ME) = k*GH = (CO/CA) * (AB/CO)*(CO-yM) = (CO-yM)*AB/CA
(MD+ME+MF) = CO*AB/CA + yM*(1-AB/CA) = (CO+yM)/2
La longueur cumulée sera donc minimale avec le plus petit yM possible qui doit, par contrainte, rester supérieur ou égal à 10 km.

Avec Pythagore, CO = sqrt(CA^2 - AB^2/4) = sqrt(200^2 - 100^2/4) = 193,649167310371 km
(MD+ME+MF) = (CO+yM)/2 = 203,649167310371/2 = 101,824583655186 km

Les contraintes sur MD et ME limitent les valeurs de xM :
MD >= 10 => MG*CO/CA >= 10 => (GH/2-xM)*CO/CA >= 10
=> (par symétrie) abs(xM) <= GH/2 -10*CA/CO
=> abs(xM) <= (AB/CO)*(CO-yM)/2 -10*CA/CO = (100/193,649167310371)*(193,649167310371-10)/2 -10*200/193,649167310371 = 37,090055512642 km

Donc le lieu de forage est le segment du point (-37090,10000) au point (37090,10000)

Bonjour

Soient U =(-37.090;10)   et    V=(37.090;10)
Tout point de[ UV] conviendrait => une infinité de  points
Mais si chaque point est distant de son voisin de 1 mètre alors
il faut s'arrêter à la 3ème décimale et tout point de la forme (-37,090 + k/1000;10) avec k =0,1,2,...,74180  convient => 74181 points
A+

le forage devra être installé au point (0 ; 23,412)

Bonjour Godefroy,

Comme les coordonnées des points sont des nombres entiers(exprimés en m),
leur nombre est fini:74181.
L'ensemble des solutions est
{(-37,090+k/1000;10) avec k=0,1,2,...,74180}

Je me refuse d'écrire cet ensemble en extension.
Mplj.

Illustration en image :

Dans un premier temps, on montre que les forages situés sur une même ordonnée 'y',
requièrent la même longueur cumulée 'L' de pipe-lines :
la somme des trois hauteurs MH1 + MH2 + MH3 est constante pour un 'y' fixé.

Par ailleurs, plus 'y' est élevé, plus la longueur 'L' est élevée.
Il faut donc choisir 'y' comme minimal, c'est à dire égal à 'd',
distance minimale de 10 Km.

Reste à calculer les valeurs limites de x.
Le segment devant rester à distance 'd' des bords du triangle,
on calcule 'e', la distance horizontale du segment aux bords du triangle.
Thalès et la trigonométrie fournissent |x| <= 50(1-1/15)

Bonjour godefroy,

_{Toujours aussi lentement...}

Je propose d'installer le site de forage sur le segment [WY], où :



Soit à l'arrondi au mètre :
W(-37;10) et Y(37;10).

Merci.

Bonjour,

Si mes calculs sont bons, les points vérifiant les propriétés demandées sont les suivants :

(x,y) avec x € [-37 090 ; 37 090] m et y = 10 000 m

Avec bien sûr x en abscisse et y en ordonnée dans le repère indiqué.

Merci pour l'énigme.

Amicalement,

j4yF

Re bonjour,

Moi qui n'aime pas la géométrie, j'ai décidément bien aimé cette énigme ...

Voici pour boucler la démonstration, l'explication en image de la raison pour laquelle il faut choisir l'ordonnée 'y' minimale...

Encore merci Godefroy !

Bonjour Godefroy,

La somme des distances aux trois frontières ne dépend pas de x et est une fonction croissante de y :

- le minimum vaut :  

- pour un site installé en n'importe quel point du segment A'B' défini par :     et  

                                                                      soit approximativement :     et  

Bonjour !
Par symétrie du problème, le point de forage se situera sur l'axe des ordonnées. Le tout est de savoir à quelle hauteur.
On trouve que pour un point de forage en (0;y), la longueur de tuyaux requise sera , où .
La solution la plus "courte" serait de forer en (0;0) mais alors on ne respecterait pas la contrainte technique de se trouver au minimum à 10 km de la frontière...
Pour respecter cette contrainte il faut donc que le point de forage se situe au minimum au dessus de l'ordonnée 10. On peut vérifier que la solution (0;10) correspond alors à la longueur de tuyau minimale satisfaisant à cette contrainte!

Bonjour,
Réponse dès mon retour:

D'après les dimensions de l'isocèlie l'angle au sommet mesure 28 ° 96 et les deux angles de la base 75 ° 52 .
Ces angles permettent de mesurer toutes les perpendiculaires aux "frontières"

La symètrie imposera deux points
Il est évident que l'idéal serait le point  O lui même
mais comme la contrainte est minimum 10 km ,
Le point idéal sera sur la parallèle à la base distante de 10 km. et limitée à chaqe extrémité par les parallèles distantes de 10 km de AB et BC.
En étudiant les variations entre le milieu et l'extrémité
on trouve que les deux points possibles ont pour coordonnées en  m (10 000,40 317) et (10 000,-40 317)
La longeur du pipe est 101 822,657 m

le site de forage devra âtre installé, dans le repère xOy, et en km,   sur le segment qui joint les points de coordonnées (-37,090 ; 10,000 ) et (37,090 ; 10,000)

bonjour,
si j'ai bien compris le problème et sauf erreur de calcul de ma part tout forage F minimisant la longueur totale des pipe-lines se situe sur la parallèle à AB d'équation y=10 entre les points F₁et F₂ d'abscisses respectives x₁ =-39,090 et x₂=39,090
l'unité étant le km tout point F du segment F₁F₂ convient
comme d'habitude je suis en retard pour répondre mais c'est avec plaisir que je cherche à résoudre ces joutes quand je trouve le temps de m'y mettre
merci pour ces petits problèmes originaux

Il existe une unique solution

x=0

y=28868 mètres

Bonjour godefroy_lehardi,

Tous les points du segment d'extrémités (-37,090;10) et (37,090;10) conviennent (en km, arrondis au mètre).  

Bonjour

la réponse dépend (géométriquement) de la distance du forage à la base AB car curieusement un triangle isocèle MNP possède une propriété géométrique intéressante:la somme des distances de tout point de sa base MN aux deux côtés isométriques est constante et donc égale à la longueur de la hauteur non issue de son sommet pricipal.(démonstration simple avec un calcul d'aires)
On en déduit que le minimum de la somme des distances d'un point T(x,y)situé à l'intérieur du triangle CAB est atteint pour y minimum (y=1/5) et x, abscisses des points du segment parallèle à AB, DE, correspondant aux données (10km etc.), l'unité étant 50km.
En utilisant Thalès et Pythagore, j'ai obtenu D(1/15 - 1 , 1/5) et E ( 1 - 1/15 , 1/5).

Ma réponse,le "segment" DE : D(-37 090 , 10 000) et E( 37 090 , 10 000) unité le m  

Bonjour.

Tout d'abord, il faut savoir que la distance minimale d'un point A à un point d'une droite est l'intersection de la perpendiculaire de cette droite passant par A avec cette droite. Ca tombe bien, dans un triangle, toutes les hauteurs se coupent en un même point.

Il faut donc calculer les coordonnées du point M(x;y), intersection des hauteurs du triangle.

A(0;1), B(0;-1), C(1;0)

(AC) : y=-x+1 (AC) à la droite d'équation y=x-1, passant par B.
(BC) : y=x-1 (BC) à la droite d'équation y=-x+1, passant par A.

S={x;y}

On a donc le système y=x-1 et y=-x+1.

S={1;0}

Voilà, j'espère avoir juste...

Bonsoir,

considérons la figure suivante:


On a le triangle isocèle ABC avec O l'origine des axes.
On trace en rouge les droites correspondant à une distance de 10km des frontières
Tous les points du segment DE répondent à la question posée dans l'énigme: que la distance totale des pipe-lines soit minimale.
La longueur totale des pipe-lines est de 101,825 km pour tous les points dont les coordonnées sont comprises entre D (x=-37,090 km, y=10km) et E(x=+37,090km, y=10km)
Bien à vous

Bonsoir godefroy_lehardi

Après une petite absence de l'ile, je me suis replongé sur tes joutes et ai commencé à plancher sur ton problème.

En déplaçant le point de forage sur une parallèle à la base [AB], la longueur des pipe-lines est constante, donc j'en conclus qu'il faut minimiser la longueur en se plaçant sur l'axe des ordonnées et j'arrive à la conclusion que la distance est minimale à l'ordonnée 10 km pour respecter la contrainte de distance par rapport à la base [AB]. On peut donc ensuite se déplacer sur la parallèle à (AB) au point d'ordonnée 10, mais attention en restant à plus de 10 km des côtés [AC] et [BC] soit une abscisse comprise entre et

Les points possibles (sauf erreur de ma part) de forage sont donc sur le segment d'extrémités A(-42,254;10) et B(42,254;10)

Clôture de l'énigme :

C'est le bon jour pour la distribution de poissons ! Et il y en eu malheureusement pas mal.

La mention « avec précision au mètre » a laissé penser à certains que les points de forage étaient distants d'un mètre.
J'ai accordé le smiley quand le raisonnement était correct, mais je suis toujours surpris par l'inépuisable capacité d'interprétation du cerveau humain.

bonjour,
je suis sotte j'ai recopié 39,090 au lieu de 37,090

Bonjour Godefroy,

Bonjour caylus,

En théorie, il y a une infinité de réponses, donc il m'a semblé qu'il fallait laisser entrevoir que la réponse n'était pas unique.
J'ai d'ailleurs accordé le smiley aux réponses "discrètes".

Cela dit, il est toujours un peu dangereux de se placer "dans la réalité" pour aborder ces énigmes.

Il faut se rappeler qu'elles sont à traiter dans un cadre mathématique où on modélise le réel par des points sans dimension, des lignes sans épaisseur, où les gens raisonnent de façon logique, etc...

Merci encore pour votre réponse.
Mais...

Caylus, "en pratique" ta réponse est juste... mais elle "moche" .
Maintenant à chacun ses goûts.
Et en tout cas, moi à ta place je ferais profil bas avant que Godefroy ne te colle un poiscaille pour pinaillage.

Et du reste, tu gaspillerais moins d'énergie négative en valorisant le bon coté de son commentaire puisque tu auras au moins réussi à le surprendre par "l'inépuisable capacité d'interprétation de ton cerveau". Moi je trouve que c'est un plutôt joli compliment .

OK, je viens de comprendre ce que tu veux dire.

Pour moi, la "vraie" réponse est que tous les points du segment conviennent.
Mais pour en expliciter les extrémités, il faut bien le faire avec une certaine précision.
Ou alors il aurait fallu demander l'expression exacte avec les racines. Mais ce n'est pas vraiment dans les habitudes.

Bref, je n'avais pas pensé à tout ça avant.

Je vais tâcher de m'améliorer

Oh, la la , je me suis fait avoir comme un bleu : réponse incohérente avec un segment de quelque 84 km de long alors que la base du triangle mesure 100 km. une erreur de signe dans mon équation de droite !

Petite observation

Comment puis-je avoir "tout faux" alors que je
donne  la bonne longueur du pipe en bonne compagnie
de Nofutur2 ,Castoriginal et PierreD ?

Bonjour dpi ,

Personne n'a dit que tu avais tout faux...
Seulement la question de l'énigme était : "où doit-on installer le site de forage pour que la longueur totale de pipe-lines soit la plus petite possible ?", et là ta réponse est fausse, d'où le poisson...

_{Par contre ce qui serait grave, c'est de confondre les kilomètres et les mètres !!!}

Bonne journée