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Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
08-05-11 à 12:08

Bonjour à tous,

Vous vous rappelez sans doute la joute n°2 où Godefroy le Hardi est allé combattre la sorcière Maléfica, à l'aide des bottes magiques d'Eusébius. (Relisez bien les conditions ici Joute n°2 : Les bottes de 0,013 lieues)
En écoutant cet exploit que son maître se plaît à raconter à ses hôtes devant une bonne flambée, son écuyer Jacquouille la fripouille se met en tête d'aller visiter l'antre déserté de la sorcière dans l'espoir d'y trouver quelque trésor ou des potions qu'il pourrait revendre.
Eusébius lui confie les mêmes bottes qui ont permis à Godefroy de traverser le marais maudit de Sainte Putride sans encombre.
« Mais attention, la fripouille, lui dit-il, tu es moins vigoureux que ton maître et ces bottes ne pourront te porter qu'à une distance de \sqrt{1625} mètres. »

Voici maintenant notre Jacquouille sur la souche A1. Les caractéristiques du marais n'ont apparemment pas changé, sauf qu'il manque certaines souches.
Ce que Jacquouille ignore, c'est qu'avant de mourir, la sorcière a jeté un sort sur le marais : toute souche (à l'exception de A1 et T1) sur laquelle on pose le pied disparaît sous l'eau dès qu'on l'a quittée, d'où les souches manquantes qui ont servi jadis à Godefroy pour revenir sur ses pas.

Question : Trouvez le plus court chemin pour aller de A1 en T1 puis revenir de T1 vers A1, c'est-à-dire l'aller-retour qui nécessitera le moins de sauts.

S'il existe plusieurs chemins, un seul suffira.

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 13:03

gagnéBonjour Godefroy.
Une solution en dix sauts :
A1 - E8 (+4; +7)
E8 - L4 (+7; -4)
L4 - T3 (+8; -1)
T3 - L2 (-8; -1)
L2 - T1 (+8; -1)

T1 - P8 (-4; +7)
P8 - H7 (-8; -1)
H7 - P6 (+8; -1)
P6 - H5 (-8; -1)
H5 - A1 (-7; -4)

Posté par
frenicle
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 14:46

gagnéBonjour Godefroy

Je propose le trajet en 10 sauts suivants :

A1 - H5 - O1 - K8 - S9 - T1 - L2 - H9 - I1 - E8 - A1

Merci pour la joute

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 16:34

gagnéBonjour,
Je trouve le chemin suivant :
A1-E8-M7-T3-L2-T1-P8-H7-P6-H5-A1

Mais sans certitude à nouveau.

Posté par
Rodival
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 18:25

gagnéBonjour/Bonsoir,

J'ai trouvé un aller et retour en 10 sauts :
A1,B9,J8,F1,M5,T1,S9,K8,O1,H5,A1.

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Justification des types de sauts (en... nombre de souches) :
1² + 8² = 1 + 64 = 65 = 1625/25
4² + 7² = 16 + 49 = 65 = 1625/25

Merci pour vos énigmes.

Posté par
totti1000
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 19:25

gagnéBonjour godefroy,

Que de temps de perdu...


Voici ma proposition :
Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Merci.

Posté par
LO_RV
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 19:47

gagnéDix déplacements de 5*\sqrt{65} (soit des déplacements 8/1 ou 7/4 dans le sens que l'on veut), avec :

A1-E8-L4-T3-L2-T1 à l'aller.
T1-P8-H7-P6-H5-A1 au retour.

On remarque que 19 = 4x+7y+8z+1t et 0 = 7(x+2k) +4(y+2k') +1(z+2k") +8(t+2k°)
On cherche à minimiser |x|+|y|+|z|+|t| et |x+2k|+|y+2k'|+|z+2k"|+|t+2k°| donc le moins de négatifs possibles.

Or 19 = 4*1+7*1+8*1+1*0 donc (x,y,z,t) = (1,1,1,0) convient et donne peu de déplacements horizontaux pour atteindre T1
Il reste à voir si les déplacements verticaux sont possibles et si la deuxième équation trouve une solution simple avec ces valeurs.
On trouve 0 = 7*1+2*1+1*(-3)+8*0, ce qui donne 5 déplacements verticaux pour atteindre T1.

Il semble impossible de faire mieux que 5 déplacements pour un aller ou un retour avec autant d'inconnues entières à minimiser en valeur absolue.

Après, on cherche à placer ces déplacements sur la grille, en évitant les trous, et de repasser au même endroit.

Posté par
LO_RV
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 20:02

gagnéPour ceux qui se poseraient la question d'où viennent mes équations,
x est le nombre de déplacements vers la droite (donc x est négatif si c'est vers la gauche) de 4, et en vertical de 7
y est le nombre de déplacements vers la droite (donc x est négatif si c'est vers la gauche) de 7, et en vertical de 4
z est le nombre de déplacements vers la droite (donc x est négatif si c'est vers la gauche) de 8, et en vertical de 1
t est le nombre de déplacements vers la droite (donc x est négatif si c'est vers la gauche) de 1, et en vertical de 8
J'ai choisi des notations avec k,k',k",k° pour représenter le fait qu'on peut faire des aller-retours, ou atteindre des valeurs opposées de x,y,z, ou t.
Dans la deuxième équation donc, des valeurs positives pour (x+2k), (y+2k'), (z+2k"), (t+2k°) représentent un déplacement vers le haut, une valeur négative un déplacement vers le bas.
A partir d'un point il y a donc 16 positions possibles (si le marais n'était pas borné), et je n'ai pas trouvé mieux pour chercher que de partir de 19 et 0, comme d'autres l'avaient fait dans la joute n°2, avant de chercher à placer cette solution dans le marais.

Merci pour cette énigme et pour les autres.

Posté par
caylus
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 08-05-11 à 23:44

gagnéBonsoir Godefroy,

Voici une solution en 10 sauts:
Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille
Merci pour la joute.

Posté par
totti1000
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 09-05-11 à 00:09

gagnéEssayons de démontrer que 10 est le minimum...

Tout d'abord on sait que jacqouille fait des bons de sqrt{1625}m, on cherche p et q entiers tels que :
(5 \times p)^2+(5 \times q)^2=1625.

On trouve les couples (1;8), (4;7), (8;1) et (7;4).

Autrement dit si on choisit un repère tel que A1(0;0) et T1(19;0), on a le droit de se déplacer selon les vecteurs :

\vec{v_1}(1;8), \vec{v_2}(-1;-8), \vec{v_3}(-1;8), \vec{v_4}(1;-8), \vec{v_5}(8;1), \vec{v_6}(-8;-1), \vec{v_7}(-8;1), \vec{v_8}(8;-1), \vec{v_9}(4;7), \vec{v_{10}}(-4;-7), \vec{v_{11}}(-4;7), \vec{v_{12}}(4;-7), \vec{v_{13}}(7;4), \vec{v_{14}}(-7;-4), \vec{v_{15}}(-7;4), \vec{v_{16}}(7;-4).

Il faut donc trouver une combinaison linéaire de ces vecteurs pour arriver en T1 puis revenir en A1.

Pour le trajet aller, en ce qui concerne les abscisses on doit faire 19 avec les chiffres 1, 4, 7 et 8 en additionnant ou soustrayant.

Impossible si on en choisit 1 ou 2.

Pour 3, il y a une seule possibilité, 8+7+4.

Du coup pour les ordonnées on doit faire 0 avec 1, 4 et 7. Ce n'est pas possible.

Pour 4, il faut faire 19 avec 4 chiffres.
19 est impair, il faut donc choisir :
- soit 1 pair et 3 impairs
- soit 3 pairs et 1 impair

Ce qui donnera respectivement pour les ordonnées :
- 1 impair et 3 pairs (donc un total impair, donc pas 0)
- 3 impairs et 1 pair (donc un total impair, donc pas 0)

Donc impossible avec 4.

Ayant trouvé une solution viable en 5 déplacements à l'aller, on en déduit le minimum...

Posté par
castoriginal
Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 09-05-11 à 02:20

gagnéBonsoir,

le saut d'une souche à l'autre a une longueur de1625.
1625 est décomposable en 402+52 et 202+352. Ce qui correspond à des déplacements de
( 8 intervalles + 1 intervalle) horizontal et vertical ou l'inverse; ou de (4 intervalles+ 7 intervales) horizontal et vertical ou l'inverse.
Pour partir de A1 vers T1, on doit franchir 19 intervalles horizontaux pour aboutir avec 0 intervalles verticaux.
Pour faire le moins de sauts possibles, il faut combiner les 2 décompositions.
La solution proposée en image montre un trajet aller en bleu. Le trajet de retour ne peut pas passer par les mêmes souches puisqu'elles ont disparu à cause du sort maléfique de la sorcière.
Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille
On a ainsi au total 10 sauts

Bien à vous

Posté par
geo3
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 09-05-11 à 10:58

gagnéBonjour
Réponse A1-B2-I5-P9-L2-T1-S9-K8-O1-H5-A1 soit en 2*5=10 sauts
Voici en image  

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Posté par
castoriginal
Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 09-05-11 à 11:41

gagnéBonjour,

pour compléter mon message précédent,
je voudrais dire que la séquence qui permet de faire un trajet aller ou retour peut contenir des déplacements de (8 et1) intervalles uniquement; on a alors un trajet simple de 11 sauts.
Pour avoir un trajet de 5 sauts, il faut combiner les deux décompositions (8,1) et (7,4).
La solution est   en horizontal  séquence comprenant +8 -8 +8 +7 +4 = 19
                      combinée aux déplacements verticaux +1 +1 +1 +4 -7 = 0
Pour ne pas sortir du marais, on doit terminer par le déplacement (+4H,-7V)
A l'aller, on ne peut pas commencer par (+8H,+1V), on tombe dans le marais
On ne peut pas commencer par (-8H,+1) = sortie du marais.
A l'aller la solution est donc unique et commence par (7H,+4V).La séquence est donc (7H,4V)(8H,+1V)(-8H,+1V)(+8H,+1V)(+4H,-7V)
Pour le retour, on a 4 solutions comme dessinées sur l'image suivante:Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille
Le total des sauts aller+retour est donc de 10 sauts
Bien à vous

Posté par
caylus
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 09-05-11 à 21:44

gagnéBonjour Godefroy,

Si ma réponse est correcte: voici pour faciliter votre correction les 42 chemins possibles à 10 sauts:  il faut ajouter A1 à la fin!

1:B9 J8 F1 M5 T1 P8 H7 P6 H5
2:B9 J8 F1 M5 T1 L2 P9 O1 H5
3:B9 J8 F1 M5 T1 S9 K8 O1 H5
4:B9 J8 F1 M5 T1 P8 L1 M9 E8
5:B9 J8 F1 M5 T1 L4 E8 M7 E8
6:B9 J8 F1 M5 T1 P8 H9 I1 E8
7:B9 J8 F1 M5 T1 L2 H9 I1 E8
8:B9 I5 P9 L2 T1 P8 H7 P6 H5
9:B9 I5 P9 L2 T1 S9 K8 O1 H5
10:B9 I5 P9 L2 T1 P8 L1 M9 E8
11:B9 I5 P9 L2 T1 L4 E8 M7 E8
12:B9 I5 P9 L2 T1 P8 H9 I1 E8
13:H5 P6 H7 P8 T1 M5 F1 J8 B9
14:H5 P6 H7 P8 T1 L2 P9 I5 B9
15:H5 P6 H7 P8 T1 L4 E8 M7 E8
16:H5 P6 H7 P8 T1 L2 H9 I1 E8
17:H5 O1 P9 L2 T1 M5 F1 J8 B9
18:H5 O1 P9 L2 T1 P8 L1 M9 E8
19:H5 O1 P9 L2 T1 L4 E8 M7 E8
20:H5 O1 P9 L2 T1 P8 H9 I1 E8
21:H5 O1 K8 S9 T1 M5 F1 J8 B9
22:H5 O1 K8 S9 T1 L2 P9 I5 B9
23:H5 O1 K8 S9 T1 P8 L1 M9 E8
24:H5 O1 K8 S9 T1 L4 E8 M7 E8
25:H5 O1 K8 S9 T1 P8 H9 I1 E8
26:H5 O1 K8 S9 T1 L2 H9 I1 E8
27:E8 M9 L1 P8 T1 M5 F1 J8 B9
28:E8 M9 L1 P8 T1 L2 P9 I5 B9
29:E8 M9 L1 P8 T1 L2 P9 O1 H5
30:E8 M9 L1 P8 T1 S9 K8 O1 H5
31:E8 M7 E8 L4 T3 M5 F1 J8 B9
32:E8 M7 E8 L4 T3 L2 P9 I5 B9
33:E8 M7 E8 L4 T3 P8 H7 P6 H5
34:E8 M7 E8 L4 T3 L2 P9 O1 H5
35:E8 M7 E8 L4 T3 S9 K8 O1 H5
36:E8 I1 H9 P8 T1 M5 F1 J8 B9
37:E8 I1 H9 P8 T1 L2 P9 I5 B9
38:E8 I1 H9 P8 T1 L2 P9 O1 H5
39:E8 I1 H9 P8 T1 S9 K8 O1 H5
40:E8 I1 H9 L2 T1 M5 F1 J8 B9
41:E8 I1 H9 L2 T1 P8 H7 P6 H5
42:E8 I1 H9 L2 T1 S9 K8 O1 H5

Posté par
geo3
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 09-05-11 à 22:05

gagnéBonsoir
Mon dessin dans post précédent est bon mais pour les chemins à la place de  A1-B2-I5-P9-L2-T1-S9-K8-O1-H5-A1  il faut lire  A1-B9-I5-P9-L2-T1-S9-K8-O1-H5-A1 soit en 2*5=10 sauts
Je m'en excuse
A+

Posté par
LeDino
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 10-05-11 à 18:27

gagnéBonjour,

Je propose ci-dessous une réponse en 10 sauts, aller et retour compris.

L'explication est la suivante :
Pour parcourir racine de 1625, il faut des sauts de coordonnées :
   8 et 1,  
ou 7 et 4.

Le trajet A1 T1 requiert un déplacement total de coordonnées 19 et 0.
La décomposition de 19 en somme de 3 ou 4 éléments pris parmi 8, 7, 4 et 1, ne fournit aucune solution satisfaisante pour un déplacement vertical nul.

On recherche donc une décomposition de (19;0) en cinq éléments.
On trouve :
19 =  8 + 8 + 7 + 4 - 8
0 = -1 - 1 - 4 + 7 - 1
... qui fournit la solution.

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Posté par
ksad
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 11-05-11 à 10:55

gagnéBonjour,
Voici un chemin possible... il y en a probablement d'autres.
Mais je n'ai en tout cas pas trouvé plus court: 5 sauts pour l'aller, autant pour le retour !
A1-E8-L4-T3-L2-T1, puis retour par P8-H7-P6-H5-A1
Merci pour l'énigme !
A bientôt

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Posté par
dpi
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 12-05-11 à 14:47

perduBonjour,

Pour l'aller Jacquouille  met ses bottes mpagiques qui lui font parcourir en "crabe" 7 plots sur 4 et cela lui fait parcourir le chemin suivant:
A1 E8 L4  H11 O7  H3  D10  K6  R2  N9  J2 F9 M5 T1.

il devient fou pour le retour car entre les trous  initiaux et son parcours aller il se dit que la sorcière lui tend un piège ,mais
dans un éclair de génie,il se dit qu'un parcours symétrique serait le bienvenu donc il revint ainsi:
T1 P8 I4 M11 F7 M3 Q10 J6 C2 G9 K2 O9 H5 A1

Posté par
yoruichi_26
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 15-05-11 à 02:46

gagnéSalut Godefroy,

Je propose :

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Merci.

Posté par
AOI
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 18-05-11 à 13:20

perduBonjour,

Je trouve le chemin suivant:

(A,1),(I,4),(Q,7),(I,10),(L,2),(T,5),(L,8),(T,11),(Q,3),(I,6),(Q,9),(T,1)

Comme il comporte 11 sauts comme lors du précédent défi, je pense qu'il s'agit du chemin optimal ^^

Posté par
1emeu
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 20-05-11 à 14:13

gagnéBonjour,

voici ma solution en image:
le chemin est
A1 -- B9 -- I5 -- P9 -- L2 -- T1 -- S9 -- K8 -- O1 -- H5 -- A1

Merci pour l'énigme,

1emeu

Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille

Posté par
garenne
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 21-05-11 à 12:07

gagnéBonjour,

Une solution possible mais est-elle la plus courte ?

Départ A1 puis : E8 - M7 - T3 - L2 - T1 - P8 - H7 - P6 - H5 - A1

Soit 10 sauts

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille 30-05-11 à 10:11

Clôture de l'énigme :

Il y avait cette fois-ci 2 décompositions possibles (8;1) et (7;4).
Cette variante m'a été inspirée par manpower et plumemeteore (mais de façon involontaire) lors de la joute n°2. Merci à vous.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 81:28:17.
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