Je trouve 13,19° arrondi au centième.

Bonjour Godefroy,

Je trouve une inclinaison légèrement inférieure à 13,04°.

Merci pour la joute

Bonjour,

Je dirais environ 13,04 degrés à deux décimales

MM

Bonjour Godefroid.
16,35 degrés.
Une ligne de la paille parallèle à son axe doit joindre un point B du bord de la base du gobelet au point de l'ouverture qui en est le plus éloigné.
Soient a l'angle d'inclinaison, O le centre de la base et E la projection dudit point d'ouverture sur la base.
BE = BO+OE
120*tan(a) = 30+5/cos(a)
Le solveur indique 0,28541229 radians.

Bonjour

1/on peut considérer qu'au passage du trou du couvercle
la tranche de la paille est une ellipse quasi circulaire

2/on appelle longueur " à l'intérieur " l'axe de la paille et
non ses cotés.

Comme le bord de la paille qui sera tangent au bord intérieur
du gobelet en faisant  un angle d'environ 8 °3 ,l'axe de la paille
sera lui décalé de très peu vers la paroi.

le triangle formé par l'axe le fond et le couvercle est donc
calculable et l'angle d'inclinaison idéal est de  5 °97

Bonjour godefroy,

Je propose un angle d'environ 13,04°.

Merci.

Bonsoir
Je propose 13°04
A+

Bonjour,

Voici ma réponse :

L'angle d'inclinaison de la paille (par rapport à la verticale) qui permet de rentrer la plus grande longueur possible de paille à l'intérieur du verre est 14,04°.
Merci!

Bonjour/Bonsoir,

Je pense que l'angle de la paille avec la verticale vaut 13,04°

Soit ABCD le trapèze d'un plan de coupe du verre. CD est le bord du haut (le couvercle) et AB le fond.
Soit O le centre du couvercle (au milieu de CD) et I le centre du fond (au milieu de AB).
Soit EFGH le rectangle de la paille, EF en bas et GH en haut.
Soit P le centre de la paille en bas (au milieu de EF).
L'axe de la paille passe par OP et reste dans le plan de coupe.
OP est la longueur de paille dans le verre.

En partant de la position verticale de la paille (P confondu avec I, les points le long du fond sont dans l'ordre A, E, I, F et B) et en déplaçant le point F le long du segment AB dans la direction de A,
- la paille commence par sortir légèrement du verre tant que FI <= PF (à ce moment là, OP et OI sont les rayons d'un même cercle et OF est la bissectrice de l'angle POI)
- toujours en faisant glisser le point F le long de AI vers A, la paille s'enfonce ensuite de plus en plus (OP croît en continu)
- jusqu'au moment où le point E entre en contact avec le bord AD du verre. C'est la position où la paille est la plus enfoncée car, ensuite, c'est le point E glissant sur AD qui gouverne le mouvement de la paille et, comme l'angle DAI est inférieur à l'angle EFI, la paille ressort du verre.

La mesure recherchée est donc l'angle POI quand E est sur AD et F sur AB.
Dans cette position, on a :
- les distances OE et OF sont égales par symétrie de la paille.
- Les angles EFA et POI sont égaux car leurs cotés sont perpendiculaires.

Dans un repère orthonormé d'origine O, on peut calculer les coordonnées des points E et F :

Le point E est sur le bord, ses coordonnées xE et yE suivent yE = (OD-xE)*OI / (OD-IA)
Le point F est sur le fond, ce qui donne l'équation yF = OI
La largeur de la paille est constante : (xE-xF)² + (yE-yF)² = EF²
L'axe de la paille passant par l'origine, OF = OE donne xF²+yF² = xE²+yE²

Avec OD = 40, OI = 120, IA = 30 et EF = 5, ces quatre équations donnent une solution compatible avec la position décrite :

E = (30,094 ; 118,87197) et F = (25,22291 ; 120)

Ensuite, tan(EFA) = abs(yE-yF) / abs(xE-xF) donne l'angle(POI) = angle(EFA) = 13,03849°

Merci pour vos énigmes.

Bonjour Godefroy, et merci bien sûr,

L'angle cherché vérifie la simplissime équation :
6sin² - 288sin + cos.sin + 72cos - 6cos² = 0

et vaut donc à peu près :   13,04°  

Bonsoir Godefroy,
13,04° ( à l'aide de Cabri).

Merci pour la joute.

Bonjour,

voici une solution en image:



considérons le triangle ABC, le côté AB vaut le rayon de la paille soit 2,5mm.
AB/AC = sin   donc AC = 2,5/sin.

Si l'on étudie le triangle CDE, on a CD = 120-2,5/sin
ED/CD= tg   ED=CD*tg

ED=(120-2,5/sin)*tg
d'autre part ED= FD-FE soit ED=30-FE

Voyons maintenant le triangle GFE. on a un triangle quelconque où l'on applique le loi des sinus. L'angle GFE, vaut /2+
tg=10/120

On GE/sin=FE/sin FGE   avec angle FGE=
180-- ou angle FGE = /2+-

ce qui donne   5/sin(/2+)= FE/sin(/2+-) ou  FE=(sin(/2+)*5)/(sin(/2+-))

Dans un tableur on recherche tel que 30-FE=(120-2,5/sin)*tg

La valeur optimale de vaut 12,92°

13
(elle était pour moi, celle-là, si je ne suis pas trompé !)
Merci pour l'énigme, godefroy !

Par construction, et en faisant quelques conjectures de base, par exemple sur ce qu'on entend par "rentrer la plus grande longueur possible de paille", je trouve un angle de 13,04° environ.

A noter que ce n'est pas l'angle d'inclinaison du cône tronqué, qui est de 14,04° environ. La paille a un rayon qui n'est pas négligeable, contrairement à l'épaisseur de ses bords.

Merci pour ce problème. Je vais aller me boire un truc.

13.04 °


A+
Torio

Bonjour,
Je fais la conjecture que la solution du problème est la même en deux ou en trois dimensions (oui, je sais, j'ose...)
Dans ce cas, sauf erreur de calcul, l'angle avec la verticale sera de 13.04 degrés.
Merci et à bientôt !

Bonsoir,

Je dirais que l'angle formé est de 14,63°, sans réelle conviction.
Merci pour l'énigme.

Bonjour,

Sauf erreur, l'angle d'inclinaison de la paille est de 13,04°.

Explication :
On doit annuler l'expression suivante :
F() = R - e/cos - (H - 2e.sin).[tg + H/(R-r)]

Avec :
R grand rayon du gobelet (40 mm)
r petit rayon du gobelet (30 mm)
H hauteur du gobelet (120 mm)
e rayon de la paille (2.5 mm)

Selon moi, l'angle vaut : 13.04°

Bonjour !

Comme mon image n'entre pas dans les 80ko, je vais la décrire:

Je considère la trapèze ABCD, rectangle en C (et D) avec BC=40,AD=30 et CD=120(mm).
La paille est représentée par un rectangle EFTH. Le point F est sur AD et
le côté HT contient C comme milieu. Soit M le milieu de EF.
On cherche l'angle MCD, formé par l'axe CM de la paille avec la hauteur CD, à condition que CM soit la plus longue possible.

Notons par la longueur de FD.
Dans le triangle rectangle FCD, on a
et dans le triangle rectangle CMF, on a
d'où .
Ainsi, est maximale si et seulement si prend la plus grande valeur et cela est possible quand E se trouve sur AB.
Dans le triangle EAF, on trouve
puis et (le quadrilatère MCDF inscriptible)
Le théorème des sinus dans le triangle EAF, donne:
            
                    (1)

Or .
On a
et .
En utilisant les formules
et

,
l'équation (1) devient après simplifications



Ma vieille TI-92 Plus la résout en...14 secondes:
                             x=25,387406555057(oui, je sais, je frime !)

Puis, quelques substitutions, et on obtient
                      
Mon dernier mot (ou ma dernière bafouille...) c'est (arrondi au centième le plus proche)
                              
                            

Bonjour

Je trouve un angle de 13,04° (calculs bourrins).

Bonjour Godefroy,

Pas facile en effet

J'espère que ce ne sera pas un poisson !!!

Je propose 13,04°


Merci pour cette énigme géométrique...

A+

Bonjour,

Je dirais un angle de 13,04°

merci pour l'énigme!

Clôture de l'énigme :

C'est vrai : les calculs n'étaient pas si simples !
Au royaume du hamburger, on ne s'attend pas à trouver du bourrin !

Et si j'essayais de fabriquer une joute à partir de ça ?

Bonjour Godefroy,
Les calculs risquent d'être totalement indigestes

Bonjour

_{pour avaler un truc pareil, faut-il ouvrir très grand la bouche ? Bonjour l'indigestion}