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Joute n°32 : La (pas si) courte paille

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
01-06-11 à 16:13

Bonjour à tous,

L'autre jour, au fast-food, j'ai - comme tout le monde - penché ma paille pour essayer d'atteindre les dernières gouttes au fond de mon verre. Je me suis alors demandé de quel angle on devait incliner la paille pour la rentrer au maximum dans le verre (qui reste posé bien droit sur la table).

Joute n°32 : La (pas si) courte paille

Le verre a une forme de cône tronqué possédant les dimensions suivantes :
  Hauteur : 120 mm
  Rayon de la base : 30 mm
  Rayon de l'ouverture supérieure : 40 mm

Il est coiffé d'un couvercle d'épaisseur négligeable et qui possède un trou en son centre permettant d'incliner la paille sans autre limitation que les parois du verre.
NB : contrairement à l'image d'illustration ci-dessus, le couvercle est plat et son trou est situé dans le plan de l'ouverture supérieure du verre.

La paille est un cylindre d'un rayon de 2,5 mm, l'épaisseur de sa paroi est négligeable, elle ne se déforme pas et son axe longitudinal passe toujours exactement par le centre du couvercle.

Question : quel est l'angle d'inclinaison de la paille (par rapport à la verticale) qui permet de rentrer la plus grande longueur possible de paille à l'intérieur du verre ?

Donnez l'angle en degrés, arrondi au centième le plus proche.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 18:16

perduJe trouve 13,19° arrondi au centième.

Posté par
frenicle
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 18:45

gagnéBonjour Godefroy,

Je trouve une inclinaison légèrement inférieure à 13,04°.

Merci pour la joute

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 19:08

gagnéBonjour,

Je dirais environ 13,04 degrés à deux décimales

MM

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 19:41

perduBonjour Godefroid.
16,35 degrés.
Une ligne de la paille parallèle à son axe doit joindre un point B du bord de la base du gobelet au point de l'ouverture qui en est le plus éloigné.
Soient a l'angle d'inclinaison, O le centre de la base et E la projection dudit point d'ouverture sur la base.
BE = BO+OE
120*tan(a) = 30+5/cos(a)
Le solveur indique 0,28541229 radians.

Posté par
dpi
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 19:47

perduBonjour

1/on peut considérer qu'au passage du trou du couvercle
la tranche de la paille est une ellipse quasi circulaire

2/on appelle longueur " à l'intérieur " l'axe de la paille et
non ses cotés.

Comme le bord de la paille qui sera tangent au bord intérieur
du gobelet en faisant  un angle d'environ 8 °3 ,l'axe de la paille
sera lui décalé de très peu vers la paroi.

le triangle formé par l'axe le fond et le couvercle est donc
calculable et l'angle d'inclinaison idéal est de  5 °97

Posté par
totti1000
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 19:56

gagnéBonjour godefroy,

Je propose un angle d'environ 13,04°.

Merci.

Posté par
geo3
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 01-06-11 à 22:38

gagnéBonsoir
Je propose 13°04
A+

Posté par
jonjon71
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 02-06-11 à 11:44

perduBonjour,

Voici ma réponse :

L'angle d'inclinaison de la paille (par rapport à la verticale) qui permet de rentrer la plus grande longueur possible de paille à l'intérieur du verre est 14,04°.
Merci!

Posté par
Rodival
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 02-06-11 à 14:54

gagnéBonjour/Bonsoir,

Je pense que l'angle de la paille avec la verticale vaut 13,04°

Soit ABCD le trapèze d'un plan de coupe du verre. CD est le bord du haut (le couvercle) et AB le fond.
Soit O le centre du couvercle (au milieu de CD) et I le centre du fond (au milieu de AB).
Soit EFGH le rectangle de la paille, EF en bas et GH en haut.
Soit P le centre de la paille en bas (au milieu de EF).
L'axe de la paille passe par OP et reste dans le plan de coupe.
OP est la longueur de paille dans le verre.

En partant de la position verticale de la paille (P confondu avec I, les points le long du fond sont dans l'ordre A, E, I, F et B) et en déplaçant le point F le long du segment AB dans la direction de A,
- la paille commence par sortir légèrement du verre tant que FI <= PF (à ce moment là, OP et OI sont les rayons d'un même cercle et OF est la bissectrice de l'angle POI)
- toujours en faisant glisser le point F le long de AI vers A, la paille s'enfonce ensuite de plus en plus (OP croît en continu)
- jusqu'au moment où le point E entre en contact avec le bord AD du verre. C'est la position où la paille est la plus enfoncée car, ensuite, c'est le point E glissant sur AD qui gouverne le mouvement de la paille et, comme l'angle DAI est inférieur à l'angle EFI, la paille ressort du verre.

La mesure recherchée est donc l'angle POI quand E est sur AD et F sur AB.
Dans cette position, on a :
- les distances OE et OF sont égales par symétrie de la paille.
- Les angles EFA et POI sont égaux car leurs cotés sont perpendiculaires.

Dans un repère orthonormé d'origine O, on peut calculer les coordonnées des points E et F :

Le point E est sur le bord, ses coordonnées xE et yE suivent yE = (OD-xE)*OI / (OD-IA)
Le point F est sur le fond, ce qui donne l'équation yF = OI
La largeur de la paille est constante : (xE-xF)² + (yE-yF)² = EF²
L'axe de la paille passant par l'origine, OF = OE donne xF²+yF² = xE²+yE²

Avec OD = 40, OI = 120, IA = 30 et EF = 5, ces quatre équations donnent une solution compatible avec la position décrite :

E = (30,094 ; 118,87197) et F = (25,22291 ; 120)

Ensuite, tan(EFA) = abs(yE-yF) / abs(xE-xF) donne l'angle(POI) = angle(EFA) = 13,03849°

Merci pour vos énigmes.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 02-06-11 à 15:49

gagnéBonjour Godefroy, et merci bien sûr,

L'angle cherché vérifie la simplissime équation :
6sin² - 288sin + cos.sin + 72cos - 6cos² = 0

et vaut donc à peu près :   13,04°  

Posté par
caylus
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 02-06-11 à 21:21

gagnéBonsoir Godefroy,
13,04° ( à l'aide de Cabri).

Merci pour la joute.

Posté par
castoriginal
Joute n°32 : La (pas si) courte paille 03-06-11 à 14:40

perduBonjour,

voici une solution en image:

Joute n°32 : La (pas si) courte paille

considérons le triangle ABC, le côté AB vaut le rayon de la paille soit 2,5mm.
AB/AC = sin   donc AC = 2,5/sin.

Si l'on étudie le triangle CDE, on a CD = 120-2,5/sin
ED/CD= tg   ED=CD*tg

ED=(120-2,5/sin)*tg
d'autre part ED= FD-FE soit ED=30-FE

Voyons maintenant le triangle GFE. on a un triangle quelconque où l'on applique le loi des sinus. L'angle GFE, vaut /2+
tg=10/120

On GE/sin=FE/sin FGE   avec angle FGE=
180-- ou angle FGE = /2+-

ce qui donne   5/sin(/2+)= FE/sin(/2+-) ou  FE=(sin(/2+)*5)/(sin(/2+-))

Dans un tableur on recherche tel que 30-FE=(120-2,5/sin)*tg

La valeur optimale de vaut 12,92°

Posté par
13or
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 03-06-11 à 23:51

perdu13
(elle était pour moi, celle-là, si je ne suis pas trompé !)
Merci pour l'énigme, godefroy !

Posté par
LO_RV
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 05-06-11 à 13:29

gagnéPar construction, et en faisant quelques conjectures de base, par exemple sur ce qu'on entend par "rentrer la plus grande longueur possible de paille", je trouve un angle de 13,04° environ.

A noter que ce n'est pas l'angle d'inclinaison du cône tronqué, qui est de 14,04° environ. La paille a un rayon qui n'est pas négligeable, contrairement à l'épaisseur de ses bords.

Merci pour ce problème. Je vais aller me boire un truc.

Posté par
torio
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 06-06-11 à 08:57

gagné13.04 °


A+
Torio

Posté par
ksad
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 06-06-11 à 10:11

gagnéBonjour,
Je fais la conjecture que la solution du problème est la même en deux ou en trois dimensions (oui, je sais, j'ose...)
Dans ce cas, sauf erreur de calcul, l'angle avec la verticale sera de 13.04 degrés.
Merci et à bientôt !

Posté par
Togodumnus
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 07-06-11 à 18:21

perduBonsoir,

Je dirais que l'angle formé est de 14,63°, sans réelle conviction.
Merci pour l'énigme.

Posté par
LeDino
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 08-06-11 à 15:45

gagnéBonjour,

Sauf erreur, l'angle d'inclinaison de la paille est de 13,04°.

Explication :
On doit annuler l'expression suivante :
F() = R - e/cos - (H - 2e.sin).[tg + H/(R-r)]

Avec :
R grand rayon du gobelet (40 mm)
r petit rayon du gobelet (30 mm)
H hauteur du gobelet (120 mm)
e rayon de la paille (2.5 mm)

Posté par
DARK_DUCK
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 12-06-11 à 16:27

gagnéSelon moi, l'angle vaut : 13.04°

Posté par
misto
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 15-06-11 à 14:30

perduBonjour !

Comme mon image n'entre pas dans les 80ko, je vais la décrire:

Je considère la trapèze ABCD, rectangle en C (et D) avec BC=40,AD=30 et CD=120(mm).
La paille est représentée par un rectangle EFTH. Le point F est sur AD et
le côté HT contient C comme milieu. Soit M le milieu de EF.
On cherche l'angle MCD, formé par l'axe CM de la paille avec la hauteur CD, à condition que CM soit la plus longue possible.

Notons par x la longueur de FD.
Dans le triangle rectangle FCD, on a CF^2=x^2+120^2
et dans le triangle rectangle CMF, on a CM^2=CF^2-2,5^2
d'où CM^2=x^2+14393,75.
Ainsi, CM est maximale si et seulement si x prend la plus grande valeur et cela est possible quand E se trouve sur AB.
Dans le triangle EAF, on trouve \angle EAF=90°+\tan^{-1}(\frac{1}{12})
puis EF=5 et \angle AFE= \angle MCD (le quadrilatère MCDF inscriptible)
Le théorème des sinus dans le triangle EAF, donne:
            
                    \frac{5}{\sin(EAF)}=\frac{30-x}{\sin(EAF+AFE)}(1)

Or \angle EFA=\angle MCD= \angle MCF+\angle FCD.
On a \sin(MCF)=\frac{2,5}{\sqrt{x^2+14400}}
et \sin(FCD)=\frac{x}{\sqrt{x^2+14400}}.
En utilisant les formules
\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a) et

(\sin x)^2+(\cos x)^2=1,
l'équation (1) devient après simplifications

30x^2+432000-x^3-14400x=(600-\frac{5x}{12})\cdot \sqrt{x^2+13393,75}-12,5x-125

Ma vieille TI-92 Plus la résout en...14 secondes:
                             x=25,387406555057(oui, je sais, je frime !)

Puis, quelques substitutions, et on obtient
                       \angle MCD= 13,11334709°
Mon dernier mot (ou ma dernière bafouille...) c'est (arrondi au centième le plus proche)
                               \angle MCD=13,11°
                            

Posté par
-Tonio-
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 17-06-11 à 13:04

gagnéBonjour

Je trouve un angle de 13,04° (calculs bourrins).

Posté par
Rumbafan
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 20-06-11 à 14:00

gagnéBonjour Godefroy,

Pas facile en effet

J'espère que ce ne sera pas un poisson !!!

Je propose 13,04°


Merci pour cette énigme géométrique...

A+

Posté par
AOI
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 20-06-11 à 15:54

gagnéBonjour,

Je dirais un angle de 13,04°

merci pour l'énigme!

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 22-06-11 à 14:15

Clôture de l'énigme :

C'est vrai : les calculs n'étaient pas si simples !
Au royaume du hamburger, on ne s'attend pas à trouver du bourrin !

Et si j'essayais de fabriquer une joute à partir de ça ?

Joute n°32 : La (pas si) courte paille

Posté par
frenicle
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 22-06-11 à 14:26

gagnéBonjour Godefroy,
Les calculs risquent d'être totalement indigestes

Posté par
Louisa59
re : Joute n°32 : La (pas si) courte paille 22-06-11 à 15:10

Bonjour

pour avaler un truc pareil, faut-il ouvrir très grand la bouche ? Bonjour l'indigestion

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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