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Joute n°40 : Sangaku
Bonjour à tous,
Vous avez certainement entendu parler des sangaku, ces panneaux accrochés à l'entrée des temples japonais, offrant des énigmes géométriques à la sagacité des visiteurs.
En voici un de mon cru (mais peut-être qu'il existe déjà quelque part).
Il représente un triangle équilatéral ABC et 4 cercles :
- un cercle noir passant par les 3 sommets A, B et C,
- un cercle vert de rayon R1, tangent aux 3 côtés du triangle,
- un cercle rouge de rayon R2, tangent au côté AC et au cercle noir, et dont le centre est aligné avec le centre du cercle vert et le point B,
- un cercle bleu de rayon R3, tangent à la fois au cercle vert et aux côtés AC et BC.
Question : Que valent les rapports R1/R2 et R1/R3 ?
Bonjour,
Voici la premiere joute que je resoud directement du Canada 
Je trouve que R1/R2=2 et R1/R3=3.
Merci pour cette joute.
Je propose R1/R2=2 et R1/R3=3. J'avais pas le courage de faire une preuve en posant tout un tas de coordonnées donc j'ai demandé un peu d'aide à Geogebra. Je n'arrive malheureusement pas à importer l'image. Tant pis!
Bonne soirée
Bonjour godefroy_lehardi 
,
Le rapport vaut
soit
.
Le rapport vaut
soit
.
Voici la figure que j'ai faite à partir de GeoGebra :
Merci pour l'énigme. 
À plus !
Bonjour à tous
considérons la figure suivante:
soit c le côté du triangle équilatéral. La hauteur CD vaut c/2*
3
comme le triangle est équilatéral, le centre du cercle inscrit se trouve au 1/3 de la médiane CD. Donc R1=1/3*DC= c/6*3 On a une relation de Pythagore dans le triangle AOD entre R1 et R4. On trouve R4=c/3*3.
On a le long de l'axe EOB la relation 2*R4=2*R2+R1+R4
R2=1/2*(R4-R1) soit R2=c/12*3. Le rapport en R1 et R2 vaut R1/R2=2
Pour trouver R3, on considère le théorème de Thales appliqué aux triangles CFO3 et CEO: FO3/EO=CO3/CO ou R3/R1=(R4-R3-R1)/R4
il vient R3=c/18*3
Le rapport entr R1 et R3 vaut R1/R3=3
Bien à vous
Bonsoir,
le premier rapport vaut 2, et le second vaut 3.
En effet, le centre du cercle circonscrit est aussi le centre du cercle inscrit, l'orthocentre et le centre de gravité situé au 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral.
Ainsi, le rayon du cercle circonscrit (noir) est le double de celui du cercle inscrit (vert), et le quadruple de celui du cercle rouge.
Quant au cercle bleu, il est le cercle inscrit d'un triangle équilatéral 3 fois plus petit que celui de départ. 
Bonjour !
Il me semble que nous avons les rapports suivants:
R1/R2 = 2
R1/R3 = 3
merci pour l'énigme !
Salut Godefroy,
en notant le côté du triangle, je trouve:
,
, et
,
ce qui donne et
.
Merci pour l'énigme
En espérant ne pas me tromper et juste de mémoire, je vais dire :
Le rapport des rayons du cercle circonscrit et inscrit, est de 2 avec un triangle équilatéral,
A partir de là, on peut en déduire que R2 fait la moitié de R1 d'où R1/R2 = 2
Pour ce qui est du rapport de R1/R3, je vais dire que R3 fait 1/3 de R1, donc R1/R3 = 3
Voila, le tout sans certitude
@++
Bonjour Godefroy.
R1/R2 = 2 : le rayon du cercle vert est la moitié du rayon du cercle noir et le diamètre du cercle en rouge en est l'autre moitié.
R1/R3 = 3 : le rayon inférieur du cercle vert est le tiers de la hauteur du triangle ABC, le rayon supérieur en est un deuxième tiers et la hauteur du triangle équilatéral tangent au cercle bleu en est le troisième tiers.
Bonjour,
Je trouve R1/R2 = 2 et R1/R3 = 3
Explication :
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices sont aussi les hauteurs.
Elles se coupent donc au tiers de la base.
On peut donc dimensionner facilement chacun des trois petits cercles,
à partir du rayon du cercle circonscrit (noté R).
En image :
Bonjour, je propose cette solution :
R1/R2 = 2
R1/R3 = 3
Dans un triangle equilateral, les droites medianes sont aussi les mediatrices, que j'appelle ici M
Soit R la distance du centre du cercle circonscrit à un sommet du triangle.Comme les medianes de longueur R1 se coupent en leur 2/3 1/3, on a R = 2/3*M et aussi R1 = 1/3*M
On en tire R1 = R/2
Le rayon du cercle circonscrit R mais aussi 2*R2 + 1/3*M (le diametre du cercle moyen + le rayon R1), soit R = 2*R2 + 1/3*3/2*R
On en tire R2 = R/4
On en déduit R1/R2 = 2
On sait que R1 = 1/3*M. Le cercle supérieur bleu peut etre contenu dans un triangle equilateral semblable au grand triangle avec une base parallèle à AB. La longueur de la mediane/hauteur/mediatrice de ce petit triangle vaut 1/3*M = R1.Le rayon du cercle bleu vaut un tiers de cette distance, soit R3 = 1/3*R1
On en déduit R1/R3 = 3
Merci pour cette joute bien sympathique !!!
Clôture de l'énigme :
C'est vrai qu'elle était assez facile, celle-ci. Pourtant, il y a eu quelques erreurs surprenantes.
Nombre de participations : 0
0,00 %0,00 %
0Temps de réponse moyen : 113:48:35.
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