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Joute n°40 : Sangaku

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
13-08-11 à 13:12

Bonjour à tous,

Vous avez certainement entendu parler des sangaku, ces panneaux accrochés à l'entrée des temples japonais, offrant des énigmes géométriques à la sagacité des visiteurs.

En voici un de mon cru (mais peut-être qu'il existe déjà quelque part).

Joute n°40 : Sangaku

Il représente un triangle équilatéral ABC et 4 cercles :
- un cercle noir passant par les 3 sommets A, B et C,
- un cercle vert de rayon R1, tangent aux 3 côtés du triangle,
- un cercle rouge de rayon R2, tangent au côté AC et au cercle noir, et dont le centre est aligné avec le centre du cercle vert et le point B,
- un cercle bleu de rayon R3, tangent à la fois au cercle vert et aux côtés AC et BC.

Question : Que valent les rapports R1/R2 et R1/R3 ?

Posté par
totti1000
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 13:27

gagnéBonjour Godefroy,
Je propose : R1/R2=2 et R1/R3=3.

Posté par
geo3
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 13:47

gagnéBonjour
R1/R2 = 2   et R1/R3 = 3
A+

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 13:48

gagnéR1/R2=2 et R1/R3=3.. sauf erreur.

Posté par
link224
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 13:51

gagnéSalut godefroy !

Je trouve que R1/R2 = 2 et R1/R3 = 3.

A+ et merci pour l'énigme.

Posté par
Jun_Milan
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 14:28

gagnéBonjour,

Voici la premiere joute que je resoud directement du Canada

Je trouve que R1/R2=2 et  R1/R3=3.

Merci pour cette joute.

Posté par
titeo
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 15:04

gagnéJe propose R1/R2=2 et R1/R3=3. J'avais pas le courage de faire une preuve en posant tout un tas de coordonnées donc j'ai demandé un peu d'aide à Geogebra. Je n'arrive malheureusement pas à importer l'image. Tant pis!

Bonne soirée

Posté par
veleda
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 15:17

gagnébonjour,
cette fois les calculs sont simples,je trouve \frac{R_1}{R_2}=2,\frac{R_1}{R_3}=3
j'espère ne pas faire d'étourderie
merci

Posté par
Jay-M
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 16:14

gagnéBonjour godefroy_lehardi ,

Le rapport \Large  \rm \frac{R1}{R2} vaut \Large  \rm \frac{2}{1} soit \rm 2.

Le rapport \Large  \rm \frac{R1}{R3} vaut \Large  \rm \frac{3}{1} soit \rm 3.

Voici la figure que j'ai faite à partir de GeoGebra :

Joute n°40 : Sangaku

Merci pour l'énigme.

À plus !

Posté par
castoriginal
Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 16:18

gagnéBonjour à tous

considérons la figure suivante:

Joute n°40 : Sangaku

soit c le côté du triangle équilatéral. La hauteur CD vaut c/2*3
comme le triangle est équilatéral, le centre du cercle inscrit se trouve au 1/3 de la médiane CD. Donc R1=1/3*DC= c/6*3 On a une relation de Pythagore dans le triangle AOD entre R1 et R4. On trouve R4=c/3*3.
On a le long de l'axe EOB la relation 2*R4=2*R2+R1+R4
R2=1/2*(R4-R1) soit R2=c/12*3. Le rapport en R1 et R2 vaut R1/R2=2
Pour trouver R3, on considère le théorème de Thales appliqué aux triangles CFO3 et CEO: FO3/EO=CO3/CO ou R3/R1=(R4-R3-R1)/R4
il vient R3=c/18*3
Le rapport entr R1 et R3 vaut R1/R3=3
Bien à vous

Posté par
pacou
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 16:45

gagnéBonjour

\large\frac{R_1}{R_2}=2

\large\frac{R_1}{R_3}=3

Merci.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 17:57

gagnéBonjour Godefroy,

\frac{R_1}{R_2}=2     et     \frac{R_1}{R_3}=3

Merci pour ce petit délassement plutôt facile, pour une fois.

Posté par
Rumbafan
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 18:07

gagnéBonjour Godefroy,

Je propose
R1/R3 = 3
R1/R2 = 2

Merci pour ce petit problème de géométrie

A+

Posté par
caylus
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 20:09

gagnéBonjour Godefroy,

R1/R2=2
R1/R3=3
Merci pour cette Joute.

Posté par
alfred15
re : Joute n°40 : Sangaku 13-08-11 à 22:36

gagnéBonjour,

très rapidement je dirais :

\frac{R_1}{R_2} = 2

\frac{R_1}{R_3} = 3

En espérant ne pas avoir fait d'erreur bête...


Merci

Posté par
evariste
re : Joute n°40 : Sangaku 14-08-11 à 13:46

perduR1/R2=1/2
R1/R3=1/3

Posté par
dpi
re : Joute n°40 : Sangaku 15-08-11 à 08:26

gagnéBonjour
Pour les vacances pas de prise de tête..

R1/R2=2  R1/R3=3

Posté par
LO_RV
re : Joute n°40 : Sangaku 15-08-11 à 21:27

gagnéBonsoir,

le premier rapport vaut 2, et le second vaut 3.
En effet, le centre du cercle circonscrit est aussi le centre du cercle inscrit, l'orthocentre et le centre de gravité situé au 2/3 de la hauteur du triangle équilatéral.
Ainsi, le rayon du cercle circonscrit (noir) est le double de celui du cercle inscrit (vert), et le quadruple de celui du cercle rouge.
Quant au cercle bleu, il est le cercle inscrit d'un triangle équilatéral 3 fois plus petit que celui de départ.

Posté par
ksad
re : Joute n°40 : Sangaku 16-08-11 à 10:08

gagnéBonjour !
Il me semble que nous avons les rapports suivants:
R1/R2 = 2
R1/R3 = 3
merci pour l'énigme !

Posté par
gloubi
re : Joute n°40 : Sangaku 16-08-11 à 11:35

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

R1/R2 = 2
R1/R3 = 3

Merci pour l'énigme !  

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°40 : Sangaku 16-08-11 à 12:08

gagnéBonjour,
Je trouve
\frac{R1}{R2}=2
et
\frac{R1}{R3}=3
Mais sans fierté: Avec Geogebra

Posté par
soufianekun
bonjour 16-08-11 à 18:18

perdur1/r2=1

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°40 : Sangaku 17-08-11 à 01:12

perduBonjour tout le monde
Je propose:
- R1/R2 = 2
- R1/R3 = 4

Posté par
yoyodada
re : Joute n°40 : Sangaku 17-08-11 à 11:47

gagnéSalut Godefroy,

en notant c le côté du triangle, je trouve:

R_1=\frac{c}{2\sqrt{3}}, R_2=\frac{c}{4\sqrt{3}}, et R_3=\frac{c}{6\sqrt{3}},

ce qui donne \frac{R_1}{R_2}=2 et \frac{R_1}{R_3}=3.

Merci pour l'énigme

Posté par
Lobatchevsky
re : Joute n°40 : Sangaku 18-08-11 à 01:06

perduR1/R2 = 1/2
R1/R3 = 1/3

Posté par
dino91
réponde a la joute n° 40 18-08-11 à 02:50

perdusoit a le coté du triangle équilatéral
R1/R3=3
R1/R2=a/( 1/racine(3) - 3/(2a) )

Posté par
Guillaume17
re : Joute n°40 : Sangaku 18-08-11 à 15:27

gagnéQuestion : Que valent les rapports R1/R2 et R1/R3 ?

R1/R2 = 2
R1/R3 = 3

Posté par
Manu04
re : Joute n°40 : Sangaku 19-08-11 à 11:30

gagné\frac{R_1}{R_2}=2 et \frac{R_1}{R_3}=3

Posté par
carpissimo
re : Joute n°40 : Sangaku 19-08-11 à 15:08

gagnéEn espérant ne pas me tromper et juste de mémoire, je vais dire :

Le rapport des rayons du cercle circonscrit et inscrit, est de 2 avec un triangle équilatéral,

A partir de là, on peut en déduire que R2 fait la moitié de R1 d'où R1/R2 = 2

Pour ce qui est du rapport de R1/R3, je vais dire que R3 fait 1/3 de R1, donc R1/R3 = 3

Voila, le tout sans certitude

@++

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°40 : Sangaku 19-08-11 à 15:44

gagnéBonjour Godefroy.
R1/R2 = 2 : le rayon du cercle vert est la moitié du rayon du cercle noir et le diamètre du cercle en rouge en est l'autre moitié.
R1/R3 = 3 : le rayon inférieur du cercle vert est le tiers de la hauteur du triangle ABC, le rayon supérieur en est un deuxième tiers et la hauteur du triangle équilatéral tangent au cercle bleu en est le troisième tiers.

Posté par
etienne
re : Joute n°40 : Sangaku 20-08-11 à 19:11

gagnéBonjour,

Je trouve \frac{R1}{R2}=2 et \frac{R1}{R3}=3.

(Dur de se remettre à la géométrie simple )

Merci pour l'énigme.

Etienne

Posté par
beliaman
re : Joute n°40 : Sangaku 20-08-11 à 19:33

gagnéBonjour Godefroy,
je propose R1/R2=2 et R1/R3=3
Merci pour cet énigme

Posté par
torio
re : Joute n°40 : Sangaku 21-08-11 à 22:41

gagnéR1/R2 = 2


R1/R3 = 3



A+
Torio

Posté par
LEGMATH
re : Joute n°40 : Sangaku 22-08-11 à 16:09

gagnéBonjour godefroy_lehardi,


R1/R2 = 2
R1/R3 = 3

Merci pour ce joute.

Posté par
Schmerz
re : Joute n°40 : Sangaku 23-08-11 à 20:19

gagnéR1/R2 = 2

et

R1/R3 = 3


Merci pour l'énigme !!!

Posté par
LeDino
re : Joute n°40 : Sangaku 24-08-11 à 17:43

gagnéBonjour,

Je trouve  R1/R2 = 2  et  R1/R3 = 3

Explication :
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices sont aussi les hauteurs.
Elles se coupent donc au tiers de la base.
On peut donc dimensionner facilement chacun des trois petits cercles,
à partir du rayon du cercle circonscrit (noté R).

En image :

Joute n°40 : Sangaku

Posté par
dagwa
re : Joute n°40 : Sangaku 24-08-11 à 19:28

gagnéBonsoir,

je trouve R1=2R2 et R1=3R3.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Joute n°40 : Sangaku 25-08-11 à 12:14

gagnéBonjour,
\large \frac{R_1}{R_2}\approx2 et \large \frac{R_1}{R_3}\approx3 (à 1/1000 près)

Posté par
franz
re : Joute n°40 : Sangaku 29-08-11 à 13:48

gagné\large \frac {R_1}{R_2}\;=\;2

\large \frac {R_1}{R_3}\;=\;3

Posté par
pharaon
sangaku 01-09-11 à 14:18

perdubonjour à tous et à toutes
d'après mes calculs je suis arrivé à conclure que
R1/R2=2 et R1/R3=4

Posté par
scheum
Joute numero 40 01-09-11 à 18:57

gagnéBonjour, je propose cette solution :
R1/R2 = 2
R1/R3 = 3

Dans un triangle equilateral, les droites medianes sont aussi les mediatrices, que j'appelle ici M

Soit R la distance du centre du cercle circonscrit à un sommet du triangle.Comme les medianes de longueur R1 se coupent en leur 2/3 1/3, on a R = 2/3*M et aussi R1 = 1/3*M
On en tire R1 = R/2

Le rayon du cercle circonscrit R mais aussi 2*R2 + 1/3*M (le diametre du cercle moyen + le rayon R1), soit R = 2*R2 + 1/3*3/2*R
On en tire  R2 = R/4

On en déduit R1/R2 = 2

On sait que R1 = 1/3*M. Le cercle supérieur bleu peut etre contenu dans un triangle equilateral semblable au grand triangle avec une base parallèle à AB. La longueur de la mediane/hauteur/mediatrice de ce petit triangle vaut 1/3*M = R1.Le rayon du cercle bleu vaut un tiers de cette distance, soit R3 = 1/3*R1

On en déduit R1/R3 = 3

Merci pour cette joute bien sympathique !!!

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°40 : Sangaku 02-09-11 à 15:28

Clôture de l'énigme :

C'est vrai qu'elle était assez facile, celle-ci. Pourtant, il y a eu quelques erreurs surprenantes.

Posté par
dagwa
re : Joute n°40 : Sangaku 03-09-11 à 07:50

gagnéBonjour,

merci beaucoup pour l'énigme, j'avais un peu peur de ne pas avoir écrit la réponse sous forme de fraction et d'être sanctionné pour cela. Sinon, cette énigme m'a permis de revoir quelques résultats géométriques sur le triangle et j'ai bien aimé. Encore merci.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 113:48:35.
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