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Joute n°42 : Le retour de vacances
Bonjour à tous,
C'est déjà la fin des vacances pour les aoûtiens. Nos 3 couples d'amis de la joute n°39 
Joute n°39 : Sur la route des vacances sont rentrés chez eux.
Je rappelle qu'ils devaient tous parcourir exactement la même distance mais, cette fois-ci, ils sont passés par l'autoroute et n'ont fait aucune pause (contrairement aux conseils de Bison Futé).
Une fois à la maison, les maris se téléphonent pour se raconter leur voyage de retour. Ils remarquent alors les choses suivantes :
Si Albert avait roulé en moyenne 25 km/h plus vite, il aurait gagné 2,16 fois plus de temps que Bernard n'en aurait perdu s'il avait roulé 15 km/h moins vite.
Par ailleurs, si Albert avait roulé 25 km/h moins vite et si Bernard avait roulé 15 km/h plus vite, la moyenne arithmétique de leurs temps de trajet aurait été égale au temps de trajet de Charles, qui a roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h.
Question : A quelle vitesse moyenne Albert et Bernard ont-ils roulé ?
Vous donnerez les réponses arrondies au kilomètre/heure le plus proche.
Bonjour
Après quelques calculs je trouve :
Valbert=88 km.h-1
et Vbernard= 122 km.h-1
Les vitesses me semblent réalistes mais bon on ne sait jamais 
Merci pour cette énigme intéressante. 
Bonjour,
Après quelques tests, je trouve que :
- la vitesse d'Albert est environ 91 km/h
- la vitesse de Bernard est environ 125 km/h
On verra bien. 
Bonjour,
Ce qui est une coïncidence c'est que
la moyenne réèlle de Albert soit exactement
celle de Charles soit 100 km/h et celle de
Bernard 135 km/h (en Allemagne...)
Bonjour,
Merci pour le joute... 
Je propose, pour Albert, une vitesse de 100 km/h. Pour Bernard, 135 km/h.
Je dois reconnaitre que la résolution graphique à l'aide de géogebra suivie de la vérification du résultat m'a épargné quelques calculs.
Bonjour,
Sauf erreur, les vitesses moyennes sont respectivement :
100 Km/h pour Albert
135 Km/h pour Bernard.
Explication :
En notant u et v les vitesses respectives d'Albert et Bernard,
les deux conditions du problème s'expriment comme ceci :
1/u - 1/(u+25) = 2,16 * [ 1/(v-15) - 1/v ]
2/100 = 1/(u-25) + 1/(v+15)
Ce système conduit à une équation du quatrième degré en v.
Les trois premières racines sont inférieures à 15 Km/h et sont donc incompatibles avec l'énoncé.
D'où la seule racine possible qui vaut 135 Km/h...
Bonjour Godefroy,
Après m'être trompé plusieurs fois dans les calculs, je trouve que les vitesses moyennes d'Albert et de Bernard sont : 100 km/h et 135 km/h .
Et si c'est mathématiquement correct, ce ne l'est pas réglementairement ...
bonjour !
je crois que Albert a roulé à 100 km/h, tandis que Bernard faisait du 135 km/h.
merci pour la joute!
Bonjour Godefroy,
Je déteste la délation mais Bernard avec une vitesse moyenne de 135km/h mérite de perdre quelques points.
Albert a roulé à une vitesse moyenne de 100 km/h.
Merci pour cette joute et son 4è degré.
Bonjour Godefroy_lehardi
Si je ne me suis pas plantée quelque part dans les calculs, la vitesse moyenne d'Albert est de 100 km/h et celle de Bernard de 135 km/h.
Merci pour l'énigme.
Je pense que Albert a roulé a une vitesse moyenne d'environ 125 km/h et que Bernard a roulé a une vitesse moyenne d'environ 85 km/h
Bonjour tout le monde
- Je propose ceci:
- Albert a roulé à la vitesse de 100 Kms/heure
- Bernard a roulé à la vitesse de 135 Kms/heure
Bonjour,
Soient:
D: distance totale,
t1: durée du trajet d'Albert
v1:vitesse d'Albert
t2:durée du trajet de Bernard
v2:vitesse de Bernard
4 équations peuvent être écrites
D/(v1+25) = D/v1 - t1
D/(v2-15) = D/v2 + t2
t1=2.16t2
(D/(v1-2() + D/(v2+15)/2 = D/100
D'où après élimination de D, t1 et t2.
vitesse d'Albert v1= 100 km/h
vitesse de Bernard v2 = 135 km/h
Il est étonnant que Bernard ait pu rouler à cette vitesse moyenne sans avoir été repéré par des radars fixes ou ...mobiles.
Bien à vous
N'est possible que si on inverse le rapport de gain, c-à-d que la perte de temps est plus grande que le gain de temps dans un rapport 2.16
Dans ce cas on a Albert 129km/h et Bernard 81km/h
ou peut être me trompe-je, encore faut-il se lancer
Bon d'abord l'équation la + simple, avec d la distance retour:
*temps de trajet d'Albert s'il avait conduit 25km/h moins vite: (va-25)/d
*----------------de Bernard s'il avait accéléré de 15 km/h: (vb+15)/d
la moyenne de ses termes est égale à 100/d, temps de trajet de Charles
1/2 x (va-25)/d x (vb+15)/d = 100/d <=> (va+vb-10)/2 = 100
<=> va + vb = 200 + 10 = 210
Première équation:
*temps de trajet accéléré d'Albert (va+25)/d
*temps de trajet rallongé de Bernard (vb-15)/d
(va+25)/d = 2.16 (vb-15)/d <=> va+25 = 2,16vb -2,16x15
<=> va = 2,16(210-va) -25 -32,4
<=> va + 2,16va = 210x2,16 -57,4
<=> va = 396,2 / 3,16
Qui nous donne qu'Albert a roulé (cette fois ci) bien plus vite à raison de 125 km/h en moyenne alors que Bernard (qui n'a pas envie de reprendre le boulot apparemment) a roulé à 85 km/h.
Clôture de l'énigme :
Oui, on pouvait arriver à une équation du 4ème degré mais on n'était pas obligé de la résoudre. Il existe des méthodes numériques qui convergent assez rapidement.
En tout cas, on voit que la pédagogie de la prévention routière porte ses fruits.
Ce mois d'août a été remarquable à plusieurs points de vue.
Tout d'abord, 12 participants ont réalisé un sans-faute. Bravo à vous tous ! 
(on n'avait plus vu ça depuis décembre 2009 avec les fameux sudokus de l'avent proposés par jamo [lien])
Mais nous avons surtout eu droit à une course-poursuite époustouflante entre deux de nos grands champions. Et totti1000 a finalement coiffé Nofutur2 sur le fil pour une poignée de secondes !
Félicitations à tous les deux ! 
Magnifique chassé-croisé.
Bravo à tous les deux .
Et félicitations au vainqueur qui bat sur le fil le Usain Bolt de l'île ...
... sur son propre terrain (au sens où septembre n'était pas un mois "difficile" et que la compétition se jouait plus que jamais sur la vitesse...).
Vous (les deux artistes) devriez partir ensemble en vacances pendant un mois, dans un éden sans Internet, pour laisser enfin une chance aux autres ...
3 MINUTES PAR ENIGME
Nos deux leaders devraient être consultants
pour nos dirigeants en cette période de crise
Bonsoir ,
Un grand merci à tous !
En effet le mois se joue à très peu de choses... et donc bravo à Nofutur2 pour cette bataille, et à tous les "sans-faute"...
@Pierre_D : Des vacances ? Pour quoi faire ? 
Merci à tous (c'est la première fois qu'on me compare à Usain Bolt, c'est sympa )....et bravo à toi, totti, pour cette nouvelle victoire.
Depuis janvier 2010, soit depuis 20 mois, tu l'as emporté (et souvent largement) exactement 1 fois sur 2 !!
Je crois que l'île s'est trouvée un maître incontesté (et tout cas pas par moi...).
Impressionnant !!
Merci Nofutur2 !
Ceci dit, je suis encore bien loin (même pas la moitié) du palmarès du Sur-Maître et ses 22 victoires !!!
Ouille ! 10ème victoire (en 20 mois) pour totti1000 avec un temps de folie !
(Je me demande encore comment ils font nos 2 champions)
Voilà du beau spectacle; une belle compétition avec modestie et respect...
Tout simplement BRAVO !
Et vivement la suite !
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