Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau 2 *
Partager :

Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
20-10-11 à 16:19

Bonjour à tous,

Vous vous souvenez certainement de l'Isocélie et de la Scalénie, deux petits pays devenus très prospères grâce aux richesses de leur sous-sol.

Pour mémoire, l'Isocélie a la forme d'un triangle isocèle dont un côté fait 100 km de long et les deux autres côtés font 200 km de long (ses sommets s'appellent A, B et C, sans préjuger de quels sont côtés sont égaux).
La Scalénie a la forme d'un triangle quelconque CDE dont les côtés font 150, 250 et 270 kilomètres de long.
Attention : les dénominations des sommets des triangles ne sont plus forcément les mêmes que dans les joutes précédentes.

Hélas, les relations diplomatiques entre la Scalénie et l'Isocélie sont souvent tendues, au point que leur voisin commun, le Perpendistan, qui a la forme d'un triangle rectangle ACD dont l'angle droit se situe en C, est obligé de jouer les intermédiaires quand les choses s'enveniment.

Pour ce faire, le gouvernement perpendistanais situé à P, la capitale du Perpendistan, envoie un émissaire à S, la capitale de la Scalénie.
Après avoir âprement négocié, l'émissaire s'envole vers I, la capitale de l'Isocélie, pour leur présenter une solution acceptable.
Puis il revient à P pour faire son rapport final.

La capitale de chaque pays est située au centre du cercle inscrit dans le triangle.
Tous les trajets se font en ligne droite et, heureusement, la configuration des 3 pays est telle que le chemin total est minimal.

Question : Quelle est la distance totale parcourue par l'émissaire du Perpendistan au cours de ce ballet diplomatique ?
Vous donnerez la réponse arrondie au mètre le plus proche.

Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 20-10-11 à 16:59

perduSans aucune vérification!!!...D=280,022km arrondi au mètre le plus proche.

Posté par
ksad
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 20-10-11 à 17:13

gagnéJ'ai fait vite... et j'ai donc peur d'avoir commis une erreur de calcul, mais tant pis, je me lance.

Je trouve une distance totale = 317 903 m.
Qui se répartit en :
PS =  95 005 m
SI = 147 766 m
IP =  75 132 m

En tout cas, d'après le dessin, l'ordre de grandeur est plutôt bon.
On touche du bois
merci et à bientôt !

Posté par
torio
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 20-10-11 à 17:22

perduSi l'on suppose que le Perpendistan doit avoir des côtés de longueurs entières, je
trouve 342,79607790 km = 342796 m

A+
Torio

Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan

Posté par
totti1000
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 20-10-11 à 17:58

gagnéBonjour godefroy,

Je propose une distance minimale d'environ 317,903 km.

Merci.

Posté par
dpi
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 20-10-11 à 20:05

gagnéBonjour ,

Si j'ai été assez minutieux
je trouve 317 903 m

Posté par
marin
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 20-10-11 à 20:51

perdusalu ^^

la distance parcouru par l'émissaire sera de P vers S ,I , et fin il fera son retours a P ce qui forme un triangle isocèle une de ces cotés se situ entre les centre S et I
si en baisse la centrale S sur l'anglet de base on aura une distance de 250/2 =125
si en baisse la centrale I sur k'anglet de base on aura une distance de 100/2 =50
donc la dimension de langlet de base du regtangle PIS sera de 125+50 = 175 km soit 175000 m
les 2 autres anglet sont des rayons du cercle dont le centre est la capitale P
on a r= c/2π  , c= π*D on a le diamètre =270 ( l'anglet du triangle CDE )
donc c=3,14*270 = 847,8
r=847?8/2π = 134,93 km soit 134930 m
donc la distance parcouru sera de (134930*2)+(175000)=444860 m

amicalement

Posté par
Tof
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 21-10-11 à 12:51

gagnéBonjour à tous,

Il me semble que l'émissaire parcourt une distance de

317 903 mètres

pour boucler son tour des capitales.

En espérant avoir évité de bêtes erreurs de calcul...

Merci pour l'énigme !

Tof

Posté par
caylus
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 21-10-11 à 17:14

gagnéBonjour Godefroy,

317,903 km
Merci pour
-la joute,
-les erreurs de calculs,
-la révision de ma trigonométrie oubliée.

Posté par
geo3
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 21-10-11 à 19:41

gagnéBonsoir
Après de laborieux calculs à condition que mon dessin corresponde à l'énoncé je trouve 317903m
A+

Posté par
manpower
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 21-10-11 à 21:33

gagnéBonsoir,
il s'agit de minimiser le périmètre du triangle joignant les 3 centres des cercles inscrits en fonction de la configuration des 3 triangles de départ.
On arrive rapidement à AC=100, CD=150, puis CE=250 et DE=270, ce qui nous fournit la configuration de base...
En revanche les cercles n'étant pas tangents deux à deux, on ne peut se contenter d'additionner leur diamètre (dommage!).

Et là il doit me manquer une astuce (j'ai tenté Héron, les barycentres, l'espace... sans aboutir).
La résolution analytique que j'ai amorcée est carrément horrible et je n'ai pas su conclure de façon purement géométrique.
Je me suis donc tourné vers un logiciel de géométrie dynamique afin de lui confier ses calculs (ouh!).

Je livre donc une réponse brute: 317,903 km (317,9031084725...)

Je suis curieux des tentatives et méthodes qu'auront développé les participants. Y-aura-t-il une formule explicite ?

Merci pour cette énigme.

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 22-10-11 à 23:51

gagnéBonjour Godefroy, et merci,

La plus favorable des 18 configurations que j'ai imaginées me conduit à un chemin de longueur :  317,903 km

Posté par
castoriginal
Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 23-10-11 à 15:18

gagnéBonjour à tous,

conformément aux règles préconisées, je donne d'abord ma solution:

la distance totale parcourue par l'émissaire du Perpendistan est de

317,903 km (arrondi au mètre le plus proche de 317,903151)

Bien à vous

Posté par
vivelile
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 24-10-11 à 18:46

perduBonsoir

Je propose une distance totale d'environ 340673 m dans le configuration ci-dessous:

Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan

Merci pour l'énigme.

Posté par
pdiophante
Joute n°48 25-10-11 à 10:22

gagnéBonjour,
L'image de bas de page donne la configuration des trois triangles qui permet d'obtenir le chemin total minimal.
1) AC = 100 kilomètres est la base du triangle ABC.
2) CD perpendiculaire à AC a pour longueur 150 kilomètres.
3) Les côtés CE et DE du triangle CDE ont respectivement pour longueurs 250 et 270 kilomètres.

On définit un repère orthonormé (R) dans lequel C est le point origine,la droite portée par AC est l'axe des abscisses et la droite portée par CD est l'axe des ordonnées.

Pour calculer la distance totale PSIP parcourue par l'émissaire du Perpendistan,le plus simple est de calculer les distances PS,SI et IP à partir des coordonnées des points I,P et S dans (R).
On calcule les rayons r des cercles inscrits dans chacun des trois triangles à l'aide de la relation r*(a+b+c) = 2*aire du triangle dans laquelle a,b et c désignent les côtés du triangle.
Le calcul du double de l'aire des triangles Isocélie et Perpendistan est immédiat, respectivement 100*racine(37500) et 15000.
D'où les coordonnées dans (R) du point I : -50, 10*racine(15) et du point P : 25*(racine(13) - 5), 25*(racine(13) - 5).
Pour déterminer les coordonnées du point S dans Scalénie,on calcule l'aire du triangle par la formule de Héron puis l'angle DCE par la formule d'Al Kashi. L'abscisse de S est égale au rayon du cercle inscrit tandis que son ordonnée est égale à : - abscisse de S/tang(DCE/2).
D'où les coordonnées du point S : 5*racine(8177/67), -65

D'où les distances PS,SI et IP:
PS = 95,00538...kms
SI = 147,76566...kms
IP = 75,13205...kms
La distance totale parcourue est alors égale à 317,903 kms (calcul arrondi au mètre le plus proche)

PS La configuration dans laquelle BC est la base du triangle ABC avec BC = 100 kilomètres, AC = 200 kilomètres et CD perpendiculaire à AC de longueur 150 kilomètres, donne un chemin de longueur totale 342,796 kms qui n'est pas optimal.

Joute n°48

Posté par
LO_RV
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 26-10-11 à 19:16

gagnéLe trajet entre les capitales fait 317,903 km environ.

Même si je savais que la solution minimale était celle là, j'ai quand même construit toutes les configurations possibles, juste pour vérifier si mon impression était la bonne.

J'espère ne pas m'être trompé dans mes longueurs, sinon ça fausse tout.

Posté par
castoriginal
Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 27-10-11 à 20:44

gagnéBonsoir à tous,

je donne maintenant le raisonnement qui m'a permis de proposer la solution donnée ci-avant.
Considérons la figure qui permet d'obtenir le trajet minimum de l'émissaire du Perpendistan

Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan

Calculons les rayons des cercles inscrits dans les 3 triangles :
R(I) = 2*S(I)/(200+200+100) avec S(I)=100/2*193,64916 soit S(I) = 9682,458 km2 donc R(I)=9682,458 *2/500 = 38,729832 km
Dans un système d'axes orthogonaux dont l'origine est le point O milieu de la base du triangle de l'Isocélie, les coordonnées du point I sont (0;38,729832)
R(P) = 2*S(P)/(100+150+180,27756) avec S(P)=150*100/2 donc R(P)=(150*100)/430,27756=34,861218km. Les coordonnées du point P sont (15,138782;-34,861218)
Pour la Scalénie qui a la forme d'un triangle quelconque, on a S(S) =p*(p-a)*(p-b)*(p-c) avec p= demi-périmètre du triangle soit p=(150+250+270)/2 = 335 km
S(S) =335*185*85*65= 18504,3745 km2
Comme S(S)=R(S)*p, il vient R(S)=18504,3745/335 = 55,2369388 km
la coordonnée x(S) = 105,2369388

Pour trouver y(S), appliquons la règle des  demi-angles d'un triangle quelconque
donc sin(C/2) = (p-a)*(p-b)/(a*b) avec a=150 b=250 et c=270
de même,  cos(C/2) = p*(p-c)/(a*b)
on tire tan(C/2) = (p-a)*(p-b)/p*(p-c) = 0,849799
comme tan(C/2) =R(S)/y(S) il vient y(S)=-(55,2369388/0,849799)=-65,000044
Avec les coordonnées des points P,I,S, on calcule les distances PS,SI et IP
Le total vaut  317,903 km

Posté par
kioups
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 28-10-11 à 15:30

gagnéSans conviction, je trouve une distance minimale de 317,903 km.

Posté par
franz
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 02-11-11 à 09:19

gagné

Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan

Posté par
LeDino
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 08-11-11 à 19:24

perduBonjour,

Je propose 318 m.

Merci pour l'énigme .

Posté par
LeDino
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 09-11-11 à 13:50

perduLol, toujours relire AVANT de poster.
Pas après ...

Donc la distance serait de : 317Km 903m.

Désolé...

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°48 : Ballet diplomatique au Perpendistan 10-11-11 à 13:57

Clôture de l'énigme :

Que de jolis dessins !

Gardez les bien au chaud…

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 86:32:46.
Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !