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Joute n°54 : Les carrés en série

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
09-12-11 à 13:22

Bonjour à tous,

Prenons un nombre de 3 chiffres au plus. En additionnant les carrés de chacun des chiffres qui le constituent, on obtient un nouveau nombre.
Par exemple, 29 donne 2² + 9² = 4 + 81 = 85.
On établit ainsi une série de nombres jusqu'à ce qu'on obtienne un nombre formé d'un seul chiffre (c'est à dire strictement inférieur à 10), ce qui constitue la fin de la série.

Par exemple, à partir de 29, on obtient la série 29 - 85 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 , soit 7 éléments.

Question : Quel nombre de départ permet d'établir la plus longue série ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 13:45

gagnéJe trouve une série de 16 éléments avec 466, 646 et 664.

Posté par
totti1000
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 13:53

gagnéSalut Godefroy,
je propose 3 solutions : 466, 646 et 664.

Merci.

Posté par
ksad
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:02

perdubonjour
il semble qu'on puisse obtenir une séquence de longueur 15 à partir du nombre 466.
466 --> (88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4)
merci pour la joute et bon weekend !

Posté par
ksad
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:04

perduet (si j'apprenais enfin à lire correctement les énoncés...) de même pour 646 et 664.

Posté par
kioups
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:15

gagnéOn obtient la plus longue série à partir de 466, 646 et 664.

466 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4 soit 16 éléments.

Posté par
gloubi
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:24

gagnéBonjour godefroy,

Il y a 3 nombres qui répondent à la question: 466, 646 et 664.
Les séquences obtenues possèdent 16 éléments.

Par exemple:
466 (ou 646 ou 664) - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.

Merci pour la joute !

Posté par
dpi
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:27

gagnéBonjour,

je trouve 466 646 et 664
88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4

Posté par
franz
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:33

gagné466 et (par permutation) 646 et 664 conduisent à la série la plus longue (88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4)

Posté par
Chatof
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 14:41

gagné466 ; 646 ; 664

Posté par
caylus
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 15:45

perduBonjour Godefroy,

Citation :
Prenons un nombre de 3 chiffres au plus.

Donc 466
Merci pour la Joute.

Posté par
sanantonio312
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 16:15

gagnéBonjour,
466, 646 et 664 donnent : 88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 et enfin 4 soit 16 éléments

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 16:30

gagnébonjour

Les nombres de départ donnant la suite la plus longue sont :
466
646
664

(cette suite comporte 16 termes)

Posté par
evariste
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 17:32

gagné3 solutions 466,646,664 avec 16 éléments

Posté par
manpower
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 17:43

gagnéBonsoir,

une joute plutôt facile via excel...

La plus longue série comporte 16 éléments et, comme cela ne dépend pas de l'ordre des chiffres, il y a 3 solutions:
466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
646-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
664-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4

Réponse: 466, 646 et 664.

Merci pour la joute.

Posté par
geo3
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 17:49

perduBonjour
J'ai trouvé 466
en 16 éléments
466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
A+

Posté par
LittleFox
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 18:32

gagnéCes nombres de départ sont :
664, 646 et 466
dont la série se poursuit par :
88,128,69,117,51,26,40,16,37,58,89,145,42,20,4
et ont donc une longueur de 16.

Posté par
Pantagruel
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 18:39

perduBonjour tout le monde
- Je propose: 466
88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Soit 15 éléments

Posté par
Skep
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 18:45

perduJe trouve 466 comme réponse avec 16 éléments dans la suite
On peut aussi ajouter que cette suite est interessante : chaque suite se "termine" soit par 1 soit par 89 ( à 89 on aura un cycle )

Voici mon programme sur SCILAB :


function f=sumcarre(x)
S=0
    while (x<>0) // Extraction des chiffres
        B=modulo(x,10)
        x=int(x/10)
        S=S+B^2
    end
    f=S
endfunction

c=0
for A=100:999
    d=1
    E=A
    while E>10 // Permet d'avoir a la fin un nombre à un chiffre
        d=d+1
        E=sumcarre(E) // Fonction
    end
    if d>c then // Permet d'avoir le plus grand élément
        c=d
        disp(A)
        disp(c)
        disp("..")
    end
end

Posté par
LemonKing
Reponse 09-12-11 à 20:42

gagné664,646 et 466 réalisent les plus grandes séquences (16 éléments)

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°54 : Les carrés en série 09-12-11 à 22:33

gagnéBonjour Godefroy,

Je trouve trois solutions (qui n'en font en fait qu'une seule) :   466  -  646  -  664

qui sont tous trois suivis de :   88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4    pour constituer chaque fois une série de 16 éléments.

Merci à toi.

Posté par
pdiophante
n°54 10-12-11 à 00:08

gagnéBonjour,

Les trois entiers 466,646 et 664 répondent à la question avec une séquence de 15 termes: 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4

Posté par
nutsy
re : Joute n°54 : Les carrés en série 10-12-11 à 01:55

gagné3 solutions sont : 466 ; 646 ; 664
466 > 88 > 128 > 69 > 117 > 51 > 26 > 40 > 16 > 37 > 58 > 89 > 145 > 42 > 20 > 4

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°54 : Les carrés en série 10-12-11 à 08:05

gagnéBonjour Godefroy.
466, 646 et 664 donnent des séries de seize éléments.
Chacun de ces nombres continue par 88, 128, 69, 117, 51, 26, 40, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4.

Posté par
LO_RV
re : Joute n°54 : Les carrés en série 10-12-11 à 10:47

gagnéLes nombres qui donnent une suite la plus longue (16 en comptant le nombre de départ et celui à un chiffre) sont 466,646 et 664.

A noter que presque toutes les séries se finissent par 4, moins fréquemment par 1, et très très rarement par d'autres nombres.

Posté par
pourlascience
réponse énigme 10-12-11 à 11:01

gagnébonjour
voici ma réponse :
88 est le nombre à deux chiffres qui à la plus longue suite (15) et 664 ou 466 ou 646 sont ceux à trois chiffres qui ont la plus longue je crois (16).
merci pour votre attention.

Posté par
chimo
re : Joute n°54 : Les carrés en série 10-12-11 à 14:29

perdu *à partir de 555, on obtient la série :555-75-74-65-61-36-45-41-17-50-25-29-85-89-145-42-20-2
donc 18 éléments.

Posté par
caylus
re : Joute n°54 : Les carrés en série 10-12-11 à 16:16

perduBonjour Jamo,

Citation :
S'il existe plusieurs solutions, donnez-les toutes.

Je revendique 1/3 de et 2/3 de !
Les autres solutions étant bien sûr 646 et 664.

Posté par
LeDino
re : Joute n°54 : Les carrés en série 10-12-11 à 16:27

gagnéBonjour,

Je propose 466, ainsi que ses permutations 646 et 664.

Merci pour l'énigme .

Posté par
edlecoch
Joute n° 54 : Les carrés en série 10-12-11 à 17:18

gagnéBonjour les matheuses, bonjour les matheux.

3 nombres entiers positifs, strictement inférieurs à 1000, satisfont aux exigences de ce problème.
466
646
664

Chaque "série" correspondante est composée de 16 éléments.
466 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.
646 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.
664 - 88 - 128 - 69 - 117 - 51 - 26 - 40 - 16 - 37 - 58 - 89 - 145 - 42 - 20 - 4.

Triple solution ? ... ou bien solution unique ?
En effet, les 3 nombres différents étant composés des mêmes chiffres, on obtient forcément 3 séries identiques depuis le 2ème élément jusqu'à la fin.
Je ne me prononcerai donc pas sur ce détail de phraséologie ! ....... godefroy_lehardi tranchera !!!

Posté par
ming
carré 10-12-11 à 21:52

gagnéBonjour

Détermination avec un programme:

maxi = 16
466 -> 88 -> 128 -> 69 -> 117 -> 51 -> 26 -> 40 -> 16 -> 37 -> 58 -> 89 -> 145 -> 42 -> 20 -> 4
ou
646
ou
664

Remarque : la suite (connue des nombres joyeux) est strictement décroissante jusqu'àu premier nombre de 2 chiffres toujours atteint quel que soit le premier terme à au moins 3 chiffres.

Posté par
castoriginal
Joute n°54 : Les carrés en série 11-12-11 à 10:12

gagnéBonjour,

voici les 3 nombres qui donnent la plus grande série: 466  646  664
qui donnent évidemment la même somme de carrés.

Ils correspondent à la série de 16 nombres suivante:

466(646,664)-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4

Bien à vous

Posté par
jonjon71
re : Joute n°54 : Les carrés en série 11-12-11 à 14:34

perduBonjour,

Voici ma réponse :

Le nombre de départ qui permet d'établir la plus longue série est 466.

On obtient une série de 15 nombres.

Merci!

Posté par
Judeau
re : Joute n°54 : Les carrés en série 12-12-11 à 12:04

gagnéBonjour,

Les nombres de départ qui donnent les séries les plus longues sont 466, 646 et 664.

Merci pour l'énigme.

Posté par
masab
challenge en cours 12-12-11 à 16:09

perdubonjour,

En fait n'importe quel entier > 0 peut être la longueur d'une telle série.

En effet soit un nombre n dont la série a pour longueur k.
On considère l'entier n1 formé de n chiffres tous égaux à 1.
Alors la somme des carrés des chiffres de n1 est égale à n.
Donc la série commençant à n1 a pour longueur k+1.

Pour finir, il suffit de remarquer que la série commençant au nombre 1 a pour longueur 1.

Cordialement

Posté par
keissy
Reponse 12-12-11 à 16:46

perdu486 = 4² + 8² + 6²
    = 16 + 64 + 36
    = 116

486 - 36 - 61 - 46 - 34 - 66 - 3

Le nombre de départ qui me permet d'établir la plus longue série est: 8

Posté par
Youpette
carré en serie 13-12-11 à 13:55

gagnéBonjour,

Les nombres de départ qui permettent d'obtenir la plus longue série sont : 466, 646 et 664.
Cette serie est composée des 15 éléments suivants :

88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4

merci pour l'enigme!

Posté par
torio
re : Joute n°54 : Les carrés en série 13-12-11 à 21:12

gagné466
646
664


A+
Torio

Posté par
gauss59
re : Joute n°54 : Les carrés en série 13-12-11 à 22:05

gagnéJe dirais les nombres suivants : 466, 646 et 664

On aurait donc comme série :
466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4

Ce qui fait une série de 16 nombres.

Posté par
LEGMATH
re : Joute n°54 : Les carrés en série 14-12-11 à 09:33

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Les nombres 466 , 646 et 664  au départ permettent d'établir la plus longue série.

Merci.

Posté par
PaulHenri
re : Joute n°54 : Les carrés en série 14-12-11 à 17:04

gagné466-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
664-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
646-88-128-69-117-51-26-40-16-37-58-89-145-42-20-4
Avec un série de longueur 16 à chaque fois

Posté par
LeMathematicien1
Réponse 22-12-11 à 16:45

gagnéBonjour,

Voilà ma réponse.

j'ai trouvé trois série de 16 éléments.

466 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
646 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4
664 88 128 69 117 51 26 40 16 37 58 89 145 42 20 4

Cordialement,

LeMathematicien

Posté par
sephdar
re : Joute n°54 : Les carrés en série 22-12-11 à 19:10

gagnébonjour,

j'ai trouvé 3 nombres qui donnent une série de 16 nombres
466 ; 646 ; 664

après chacun de ces nombres la série est  la même

88 ; 128 ; 69 ; 117 ; 51 ; 26 ; 40 ; 16 ; 37 ; 58 ; 89 ; 145 ; 42 ; 20 ; 4

Posté par
jonwam
re : Joute n°54 : Les carrés en série 23-12-11 à 21:09

gagné466   646   664

Posté par
gust
re : Joute n°54 : Les carrés en série 24-12-11 à 09:45

perduyo,

après plusieurs dizaines de copies gribouillées...
la longeur maximale est constituée de 16 nombres, générée par 664.
c'est le seul générateur.

Posté par
Emix
Trouvé! 25-12-11 à 19:21

gagnéAvec un petit programme Matlab qui teste les possibilités jusqu'à 999, je trouve 466, et donc tous les nombres composés des mêmes chiffres : 466,646,664.

Débutant sur les énigmes, je vais me faire une joie de découvrir les autres!

Posté par
thiblepri
re : Joute n°54 : Les carrés en série 27-12-11 à 22:49

gagnéBonjour godefroy_lehardi,

Comment vas-tu??

Je dirais:
466; 646; 664

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°54 : Les carrés en série 30-12-11 à 14:37

Clôture de l'énigme :

Plusieurs participants ont oublié qu'il fallait donner toutes les solutions.

J'en profite pour vous souhaiter, avec un peu d'avance, une excellente année 2012.
Qu'elle voit tous vos vœux se réaliser !

Merci à tous ceux qui ont bien voulu griller quelques neurones sur nos énigmes cette année.
J'espère que vous serez encore plus nombreux l'an prochain.

Posté par
caylus
re : Joute n°54 : Les carrés en série 30-12-11 à 23:36

perduMerci à Godefroy et à Jamo pour leurs énigmes.
J'en profite pour vous souhaiter une bonne année 2012.
Je vais marquer une pause (trop de bêtises répondues) afin d'étudier
le langage hermétique Haskell (projet Euler).
@+ Michel.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
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Temps de réponse moyen : 74:37:28.
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