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Joute n°56 : Sécession en Ambligonie
Bonjour à tous,
Je vous propose de continuer notre petit voyage au sein de l'Union Euclidienne où vous connaissez déjà l'Isocélie, la Scalénie et le Perpendistan.
Pour mémoire, l'Isocélie est le triangle isocèle vert ABC avec AC = 100 km et AB = BC = 200 km.
Le Perpendistan est le triangle rectangle bleu ACD dont l'angle droit se situe en C.
La Scalénie est le triangle orange CDE avec CD = 150 km, CE = 250 km et DE = 270 km.
Nous allons maintenant nous intéresser à l'Ambligonie (triangle jaune BCE) qui est secouée par des troubles intérieurs.
Une région du pays, auto-proclamée « République isocélienne d'Ambligonie » (rayée jaune et vert), veut faire sécession et être intégrée à l'Isocélie. Elle veut, de plus, avoir la forme d'un triangle isocèle dont un sommet serait B (le dessin n'est qu'un exemple).
Par ailleurs, en Scalénie, la « Province autonome perpendistanaise de Scalénie » (rayée orange et bleu) revendique son rattachement au Perpendistan. Et elle veut absolument avoir la forme d'un triangle rectangle dont un sommet serait D (le dessin n'est qu'un exemple).
Du coup, le reste de l'Ambligonie fusionnerait avec le reste de la Scalénie, pour former la Scaligonie.
Soucieux de régler la question pacifiquement, les 4 pays font appel à l'OPU (l'Organisation des Polygones Unis) qui impose, pour maintenir l'équilibre géostratégique de la région, que les rapports entre les surfaces des nouveaux pays ainsi créés soient identiques aux rapports d'avant le changement.
En clair, si on appelle A, S, I et P les surfaces des 4 anciens pays, et S', I' et P' les surfaces des 3 nouveaux pays, on devra avoir et
.
Il s'agit donc pour l'OPU de déterminer les dimensions des 2 régions rattachées de manière à ce que le périmètre de la Scaligonie soit le plus grand possible.
Question : Quel est le plus grand périmètre possible de la Scaligonie ?
Donnez la réponse (en kilomètres) arrondie au mètre le plus proche (3 chiffres après la virgule).
Si vous pensez qu'un tel redécoupage est impossible, répondez « problème impossible ».
Je vous souhaite de passer de très bonnes fêtes de fin d'année ! 
Salut godefroy,
Je propose un périmètre d'environ 737,963 km.
Merci, et bonnes fêtes de fin d'année à toi aussi 
Bonjour !
Après de longs calculs (et autant de risque d'erreur) j'arrive à une réponse de 737.963 km pour le périmètre de la Scaligonie.
Peut-être prendrai-je le temps de poster (plus tard) un schéma et une explication du raisonnement suivi pour arriver à ce résultat, mais là je rends les armes: trêve des confiseurs oblige
... et puis, là, ce sont les vacances qui commencent!
Bonnes et heureuses fêtes à tous, et encore merci pour toutes les énigmes tout au long de l'année !
Bonjour Godefroy,
Des six possibilités offertes par l'énoncé, trois conduisent à une solution respectant les contraintes sur les rapports, et deux d'entre elles (partiellement symétriques) conduisent à une solution maximisant le périmètre de S', qui vaut alors : 737,963 km
Bonjour et JOEUX NOËL
Drôle de révision...
Si on laisse le triangle rectangle dans
la position du shéma on n'obtient pas de
solution alors on le fait pivoter de 90 °
Les surfaces des sécéssionnistes étant trouveés
il ne reste plus qu'à ne pas se planter dans
les calculs des cotés...
En espèrant que ce soit le cas:
Périmètre de la SCALIGONIE : 737.961 km
Bonjour
Réponse: 737,963 km
Ci-après figure et tableau des calculs.
Commentaires:
1) On a I'/I = P'/P = S'/S. Les aires des triangles BFG et DHI sont telles que:
I'/I = (aire ABC + aire BFG)/aire ABC = P'/P = (aire ACD + aire DHI)/aire ACD = S'/S = (aire BCE + aire CDE -aire BFG - aire DHI)/ aire CDE.
On pose r = aire BCE/(aires ABC + ACD + CDE)
D'où aire BFG = r*aire ABC et aire DHI = r*aire ACD.
2)la configuration optimale est obtenue avec le triangle isocèle BFG de sommet G tel que GB=GF et le triangle rectangle DHI tel que DH est le plus petit côté de l'angle droit.Il est impossible de placer le sommet de l'angle droit H sur le côté DE. Avec le triangle isocèle BF1G1 de sommet B tel que BF1=BG1, le périmètre de la Scaligonie est plus petit.Si G est sur BC et F sur BE, on obtient le même périmètre optimal de la Scaligonie.
Bonjour Godefroy.
Je trouve 737,963 km.
Voici mes calculs en dizaines de kilomètres (hérion est une formule que j'ai composée en Visual Basic).
Bonjour à tous et meilleurs voeux pour l'année nouvelle 2012,
il y a 4 solutions suivant l'orientation des triangles de rattachement.
Celle qui donne le plus grand périmètre à la Scaligonie correspond à la figure ci-dessous.
Le périmètre de la Scaligonie est de 737,963 km
je tente "problème impossible" puisque je n'arrive pas à avoir les deux égalités en même temps... (peut-être fais une erreur^^)
Bonjour.
Ma réponse : 737,963 km
Malgré toutes les conditions imposées, la "République isocélienne d'Ambligonie" peut être représentée de 2 façons différentes.
Par voie de conséquence directe, le "reste de l'Ambligonie" le sera également, ... et donc la "Scaligonie" aussi.
1399,686 car ma réponse est 1399,68567 et que la consigne impose « arrondie au mètre le plus proche ».
Oui mais, la réponse doit être strictement inférieur à 1399,6859225417...
donc 1399,685 est plus logique mais je respecte bêtement la consigne.
J'exclue les solutions où les provinces sont des enclaves juste rattaché par le point B ou D.
Pour les grincheux, l'aire de DPP' est supérieure à 18 000 m² (pour la solution de périmètre 1399,68567).
Clôture de l'énigme :
Visiblement, elle ne vous a pas beaucoup inspiré, cette petite histoire. 
Pourtant, il n'y avait aucune difficulté majeure : un peu de calcul de fractions pour trouver les surfaces des 2 régions, un peu de trigo pour trouver leurs côtés et un zeste de réflexion pour étudier les différentes possibilités de placer les triangles.
Du moins, c'est ce que je croyais…
Et puis, à la dernière minute (ou presque), Chatof a proposé une solution originale qui respecte parfaitement l'énoncé tel qu'il est écrit, puisque rien n'imposait que deux des trois frontières des régions autonomistes devaient s'appuyer sur celles du pays d'origine.
Nous avons tous intégré cette contrainte supplémentaire sans nous en rendre compte, sans doute parce qu'elle vient naturellement quand on fait le dessin.
Une fois de plus, cela démontre qu'il ne faut pas se laisser enfermer dans un schéma de pensée, sinon on ne voit pas toutes les options possibles.
Merci Chatof de nous avoir ouvert les yeux.
Malheureusement, j'ai quand même dû te mettre un poisson.
En effet, tout d'abord, ton résultat est faux (comme ton dessin, ça vient peut-être de là).
Par ailleurs, si on applique aux autres solutions proposées le principe de laisser un infime triangle entre une région séparatiste et la frontière du pays, cela augmente considérablement le périmètre maximal de la Scaligonie, bien au-delà de la réponse proposée (environ 1421 km).
Du coup, toutes les réponses seraient fausses.
Un poisson pour deux grosses erreurs. La nuit, il faut dormir. J'avais oublié la moitié de l'Isocélie et un signe moins manquant plaçait E à une position clairement fausse.
Je prends un repère orthonormé avec CDA comme support Le tableur calcule les coordonnées des points, les vecteurs, leurs normes, surfaces et équations de droites. Et enfin le périmètre.
BIJ doit être le plus plat possible et rester en Ambligonie. Donc J appartient à la droite (CE) et on connait la surface de BIJ.
Donc (sauf erreurs !), j'aurais dû proposer : 1496,985 ( 1496,9847255317 - 0,0002)
Ou 1496,984 pour conserver une petite surface PDP'
A(-100 ; 0)
B(-50 ; 193,6491673104)
C(0 ; 0)
D(0 ; -150)
E(246,7249931041 ; -40,3333333333)
I(-15,7377083128 ; 60,951882203)
J(97,6887096819 ; -15,9696479912)
Q(0 ; -84,6181602708)
P(147,0942306047 ; -84,6181602708)
H(23,8443548409 ; 88,8397596596)
BE= 377,8803145708
ED= 270
DP= 160,9704868712
PQ= 147,0942306047
QC= 84,6181602708
CI= 62,9508332513
IJ= 137,0491667487
JB= 256,4215332142
Total= 1496,9847255317
Nombre de participations : 0
0,00 %0,00 %
0Temps de réponse moyen : 138:01:10.
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