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Joute n°59 : La balance magique

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
18-01-12 à 11:06

Bonjour à tous,

Vous vous souvenez sans doute de la joute n°26 Joute n°26 : Les bottes de Jacquouille , quand Jacquouille est allé dérober les secrets de la sorcière Maléfica.
Il a notamment ramené une boîte contenant une drôle de balance avec 8 poids dont la masse est égale à un nombre entier d'unités (de 1 à 8), et un vieux parchemin sur lequel on peut lire :

Pose sur le dextre les poids sans les jeter.
Le tout ainsi constitué
N'en est point la somme vulgaire.
Pour chaque poids posé, s'ajoute le quotient
D'icelui par la moyenne des précédents.
Si, au final, la somme est un nombre entier,
Le contenu du sinistre plateau,
Sera changé en or bel et beau.


Inutile de dire que Jacquouille n'entend rien à ce charabia.
Tout ce qu'il comprend, c'est qu'il faut poser un objet sur le plateau de gauche et qu'il risque de se transformer en or quand on pose successivement tous les poids sur le plateau de droite. Mais dans quel ordre ? Mystère !
En effet, il est impossible de différencier la masse des différents éléments.

En langage mathématique, on notera P_1, P_2, ..., P_8 les poids dans l'ordre où ils sont choisis (l'indice n'indique pas forcément la masse réelle).
Lorsqu'on pose le poids P_i, la balance « enregistre » en réalité le poids \dfrac{P_i}{\frac{P_1+...+P_{i-1}}{i-1}}}

Pour mieux comprendre, prenons un exemple où Jacquouille choisirait par hasard les poids dont les masses sont dans l'ordre de 1 à 8.
Les calculs donneraient les résultats suivants :
Etape 1 : S_1 = 1
Etape 2 : S_2 = 1 + \dfrac{2}{1} = 3
Etape 3 : S_3 = 3 + \dfrac{3}{\frac{1+2}{2}} = 5
Etape 4 : S_4 = 5 + \dfrac{4}{\frac{1+2+3}{3}} = 7
Etape 5 : S_5 = 7 + \dfrac{5}{\frac{1+2+3+4}{4}} = 9
Etape 6 : S_6 = 9 + \dfrac{6}{\frac{1+2+3+4+5}{5}} = 11
Etape 7 : S_7 = 11 + \dfrac{7}{\frac{1+2+3+4+5+6}{6}} = 13
Etape 8 : S_8 = 13 + \dfrac{8}{\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}} = 15

Miracle ! On trouve bien un nombre entier à la fin.

Question : Quelle est la probabilité d'obtenir un résultat final entier si on place tous les poids dans un ordre aléatoire sur la balance ?
Donnez le résultat exact sous forme d'une fraction irréductible.

Joute n°59 : La balance magique

Posté par
torio
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 12:31

gagnéProb = 1 / 4032

10 possibilités sur 40320

12345678
13245678
13572648
13754268
15246378
23564871
32568471
71428653
81637254
81726354

A+
torio

Posté par
frenicle
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 12:45

gagnéBonjour Godefroy,

Sauf erreur, la probabilité cherchée est 1/4032

Merci pour la joute !

Posté par
masab
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 13:08

gagnéLa probabilité cherchée est égale à 1/4032 .
Il y a 10 cas favorables :

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]   15
[8, 1, 7, 2, 6, 3, 5, 4]   14
[1, 5, 2, 4, 6, 3, 7, 8]   15
[7, 1, 4, 2, 8, 6, 5, 3]   14
[1, 3, 2, 4, 5, 6, 7, 8]   15
[8, 1, 6, 3, 7, 2, 5, 4]   14
[1, 3, 5, 7, 2, 6, 4, 8]   14
[1, 3, 7, 5, 4, 2, 6, 8]   14
[2, 3, 5, 6, 4, 8, 7, 1]   12
[3, 2, 5, 6, 8, 4, 7, 1]   12

Posté par
manpower
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 13:23

gagnéBonjour,

sauf erreur cela devrait se produire pour les 10 cas suivants:
12345678
13245678
13572648
13754268
21345678
31245678
31572648
31754268
35264871
53264871

soit 10/8! i.e. \frac{1}{4032}.

Merci pour la joute.

Posté par
totti1000
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 13:41

gagnéSalut godefroy,

J'ai un petit soucis dans l'interprétation de ton énoncé "les huit poids ont une masse égale à un nombre entier d'unités (de 1 à 8)",
à savoir : faut-il que les 8 poids soient de masses toutes distinctes ???

Je pense que oui, et dans ce cas je trouve une probabilité de \frac{1}{4032}.



Dans le cas où l'on peut avoir des poids de masses égales, je trouve \frac{505}{4194304}.

Merci.

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 14:59

gagnéJe trouve 10 cas favorables sur 40320 (8!), soit une probabilité de 1/4032.

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°59 : La balance magique 18-01-12 à 19:11

perduBonjour

je dirais 1 / 5040

mm

Posté par
LeDino
re : Joute n°59 : La balance magique 19-01-12 à 01:40

gagnéBonjour,

Sauf erreur, la probabilité est de :  1/4032.

Explication :
Il existe 8! = 40320 permutations possibles des 8 poids.
Sur ce nombre, seules 10 permutations donnent de l'or.
La probabilité cherchée est donc de 10/40320 = 1/4032.

Pour information, les 10 solutions qui feront la fortune de Jacquouille sont les suivantes :
1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 2 4 5 6 7 8
1 3 5 7 2 6 4 8
1 3 7 5 4 2 6 8
1 5 2 4 6 3 7 8
2 3 5 6 4 8 7 1
3 2 5 6 8 4 7 1
7 1 4 2 8 6 5 3
8 1 6 3 7 2 5 4
8 1 7 2 6 3 5 4

Merci pour l'énigme .

Posté par
ksad
re : Joute n°59 : La balance magique 19-01-12 à 11:33

gagnéBonjour
Je ne sais pas s'il existe un méthode analytique pour résoudre ce problème.
En tout cas, ne l'ayant pas trouvée, j'ai tenté de résoudre la joute par énumération.
Si l'on considère comme équiprobable chacune des permutations possibles des 8 poids, on a donc 8! = 40320 séquences possibles.
Parmi toutes ces séquences, je n'en trouve que 10 qui, selon la règle proposée, finissent par donner un nombre entier.

1 2 3 4 5 6 7 8
1 3 2 4 5 6 7 8
1 3 5 7 2 6 4 8
1 3 7 5 4 2 6 8
1 5 2 4 6 3 7 8
2 3 5 6 4 8 7 1
3 2 5 6 8 4 7 1
7 1 4 2 8 6 5 3
8 1 6 3 7 2 5 4
8 1 7 2 6 3 5 4

La probabilité de transformer en or le contenu du sinistre plateau sera dans ce cas de 10 / 40320, soit une fraction irréductible de 1 / 4032.
Merci pour la joute !

Posté par
castoriginal
Joute n°59 : La balance magique 19-01-12 à 12:24

perduBonjour,


on a deux séries de poids possibles:  1,2,3,4,5,6,7,8    et 1,3,2,4,5,6,7,8
comme le nombre de permutations des poids est de 8! soit 40320
la probabilité d'obtenir un résultat final entier si on place tous les poids dans un ordre aléatoire sur la balance vaut 2/40320 soit

                             1/20160

A bientôt

Posté par
dpi
re : Joute n°59 : La balance magique 19-01-12 à 13:23

perduBonjour,

Ce problème qui au début semble fastidieux est
finalement trouvable en partant de la dernière
pesée.

Seuls  2 cas sont valables:12345678 et 13245678
soit 2/8! = 1/20160

Posté par
geo3
re : Joute n°59 : La balance magique 19-01-12 à 16:41

perduBonjour
Je propose
8/8! = 8/40320 =  = 1/5040
A+

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°59 : La balance magique 19-01-12 à 23:34

perduBonjour Godefroy,

J'admets d'abord que "placer tous les poids dans un ordre aléatoire sur la balance" revient à l'équiprobabilité de chaque permutation des huit nombres 1 à 8.
Ensuite, il y a peut-être une solution plus élégante que la programmation ... mais je ne l'ai pas trouvée ; je propose, pour répondre à ta question :  \red\small\dfrac1{5760}

Les sept permutations gagnantes sont :  
{12345678} , comme tu nous l'a obligeamment montré
{13245678}
{13572648}
{13754268}
{23564871}
{81637254}
{81726354}

Posté par
plumemeteore
re : Joute n°59 : La balance magique 20-01-12 à 00:02

perduBonjour Godefroy.
La probabilité est 1/4480 soit neuf solutions sur les 40320 ordres possibles.
Solutions et sommes :
12345678 : 15
13425678 : 15
14526378 : 15
15627384 : 16
21345678 : 14
26134578 : 15 (seule solution avec des sommes intermédiaires non entières)
31425678 : 13
41526378 : 12
51627384 : 12

Trouvé avec un programme en Visual Basic assez simple.

Posté par
rschoon
re : Joute n°59 : La balance magique 20-01-12 à 13:35

perduBonjour.
Ma réponse : 1/5760

Posté par
pdiophante
joute n°59 22-01-12 à 21:24

perduBonsoir,

Réponse: 1/5760

Posté par
Tolokoban
Ma proposition 23-01-12 à 16:34

perduJe propose la probabilité suivante :
1/5760

----

Voici l'algorithme utilisé :

import math

poids = []

def misc(poids, lst=[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], level=1):
    if level > 8:
        poids.append(lst[:])
        return
    for i in range(8):
        if lst[i] > 0:
            continue
        lst[i] = float(level)
        misc(poids, lst, level + 1)
        lst[i] = 0

misc(poids)

win = 0
for lst in poids:
    m = lst[0]
    total = m
    for i in range(1, 8):
        m += i*lst[i]/total
        total += lst[i]
    if m == math.floor(m):
        win += 1
        print lst, m
        
print win , "/", len(poids)

Posté par
gust
re : Joute n°59 : La balance magique 28-01-12 à 23:54

gagnébonjour

La probabilité cherchée est :

\frac{1}{4032}

Posté par
brubru777
re : Joute n°59 : La balance magique 03-02-12 à 22:18

perduBonjour,

Je trouve deux solutions pour l'agencement des poids :

1 2 3 4 5 6 7 8 et 1 3 2 4 5 6 7 8

Il y a 8! façons différentes de placer les poids. La probabilité d'avoir un résultat entier est donc

p = 2 / 8! = 1 / (3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8)

Posté par
Chatof
re : Joute n°59 : La balance magique 04-02-12 à 09:01

gagné\frac{1}{4032}

Posté par
Asap
re : Joute n°59 : La balance magique 07-02-12 à 11:12

perduBonjour,

Je propose \frac{1}{5760}

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°59 : La balance magique 08-02-12 à 11:19

Clôture de l'énigme :

Il y avait donc 10 possibilités en tout.

Posté par
dpi
re : Joute n°59 : La balance magique 08-02-12 à 15:58

perduMauvais lecture de l'énoncé

Les deux seules pesées qui donnent à chaque stade un nombre entier sont 12345678 et 13245678
Les autre donnant des décimales à répétition ont été écartées par certains participants qui ont considéré que les calculs intermédiaires auraient été fastidieux (surtout au moyen âge ).

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°59 : La balance magique 08-02-12 à 22:59

perduAlors là... je m'inquiétais ! mais me voici rassuré, cela ne vient pas de moi !

à la vue des 10 cas favorables, je me suis replongé dans mon programme VB qui testait toutes les permutations possibles... et qui ne m'en trouvait que 8.

je l'ai donc forcé à analyser un cas qu'il avait laissé passer et je me suis aperçu que mon programme est tout à fait correct... mais que le calculateur est tellement médiocre qu'il engendre une erreur à la 15ième décimale sur les calculs qui fait qu'il m'a loupé 2 valeurs entières (qui pour lui ne l'étaient pas !)

moralité : Il faut toujours se méfier des machines !

Amicalement à vous tous

MM

Posté par
LeDino
re : Joute n°59 : La balance magique 09-02-12 à 01:03

gagnéOui dans un cas comme celui-ci ça doit être un réflexe systématique de tester non pas directement l'égalité, mais plutot la valeur absolue de l'écart, comparée à un seuil epsilon très faible.

Quelques langages ont une notion un peu "étendue" du test d'égalité, à plus ou moins une valeur seuil qui est paramétrable. Mais si ce n'est pas le cas du langage utilisé, il faut le gérer soi même...

Posté par
MatheuxMatou
re : Joute n°59 : La balance magique 09-02-12 à 15:03

perdudont acte LeDino !

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 96:45:40.
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