Bonjour

Je pense qu'il faut qu'elle fasse des sauts de 31 cm
Elle arrivera alors sur la marche n° 26 où elle sera bloquée et aura fait 31 sauts.

MM

Bonjour Godefroy.
La grenouille doit faire des sauts de trente et un centimètres de long. Elle sera bloquée sur la vingt-sixième marche après trente et un sauts.

Bonjour godefroy_lehardi,
je trouve que la grenouille fait des sauts de 31 cm, elle va monter 25 marches, et se retrouvera donc sur la 26^ème.

Bonjour,

merci Euclide ! _{Je croâ avoir la bonne réponse...}

La grenouille doit effectuer 31 sauts de 31 cm pour parcourir 961 cm.
Si on ajoute sa taille de 1 cm, cela donne une longueur de 962 cm et elle sera donc bloquée pile au bord contremarche suivante (962/37=26).
Ainsi, partant de la marche 1 (et non zéro!), elle arrive sur la 27ème marche (marche d'arrivée).

Merci godefroy_lehardi pour cette joute.

elle doit faire des sauts de 31 cm pour atteindre la 26éme marche

Bonjour,

Soit n la longueur du saut que fait la grenouille, la grenouille s'arrête après s sauts où s*n=0[37].
Cela revient à chercher ppcm(n,37). Mais ppcm(a,b)*pgcd(a,b)=ab et ici 37 est un nombre premier, donc pour tout n entre 1 et 36 pgcd(n,37)=1
Finalement ppcm(n,37)=37*n.
Donc s*n=37*n => s=37 c'est à dire que pour tout n la grenouille effectuera 37 sauts avant de s'arrêter. Pour maximiser la distance parcouru, on maximise donc la taille d'un saut -> 36.
Ainsi la grenouille va parcourir 37*36 centimètre, ce qui fait 36 marches !

Ma réponse : La grenouille doit effectuer des sauts de 36 centimètres et elle s'arrêtera alors sur la 36e marche

La grenouille grimpe jusqu'à la 25ème marche en effectuant 28 sauts de 33 cm.

33cm x28 => 25ème marche

Une autre solution est qu'elle fasse 33 sauts de 28 cm. J'ai chercher la solution en testant successivement les longueurs de sauts, en résolvant les identités de Bézout:

37 (nombre_marche) - (longueur_saut) (nombre_saut) = 1

Je serais intéressé de savoir s'il existe une méthode directe, sans faire d'énumération.

merci pour cette énigme.

Bonjour Godefroy,

La longueur des sauts doit être de 31
pour que la grenouille arrive sur la plus haute marche possible de numéro 26 car
31*31!25*37+36.

Désolé pour la joute N°4 mais je ne suis pas assez hardi pour mettre la réponse de 20 gardiens.

La grenouille devra faire des sauts de 31 cm (31 sauts) pour être bloquée à la marche 26.

Bonsoir godefroy_lehardi

les bonds de la grenouille doivent faire 27 cm de long et cela lui permettra d'arriver sur la 46^ème marche !

Et pour la question subsidiaire, je croâ que je vais y réfléchir

sauts de longueur 31, marche n°26

Enigme vue très tardivement... dommage pour la bagarre chronométrique.

La grenouille devra faire des bonds de 31 cm, pour atteindre la marche 26.

Bonjour,

Au bout de 31 sauts de 31 cm, la grenouille se trouve bloquée sur la  marche n° 26 (le museau collé contre la marche n° 27).

Merci pour l'énigme.  

Bonjour
Je dirais
longueur du saut: 31
numéro de la marche  d'arrivée: 26
A+

Bonjour Godefroy, et merci,

Après 31 sauts de 31 cm, notre grenouille sera bloquée sur la marche numéro 26 (au pied de la numéro 27).

En 31 bonds de 31 cm, la grenouille se retrouve bloquées au bout de la 26° marche

Des sauts de 31 cm.

elle arrivera sur la 25ème marche.

en fait  26 ème marche !

Bonjour!

Sachant que la grenouille fait 1 centimètre de long et que l'on veut que la grenouille arrive sur la plus haute marche possible avant d'être bloquée avec une longueur de marche de 36 cm la grenouille doit effectuer à chaque fois un saut de 37 centimètre de long et sera bloquée sur la 37ème marche.

Elle aurait pu prendre l'ascenseur tout de même!

J'ai trouvé 33 sauts, la grenouille peut atteindre la marche numéro 25 !

selon moi la grenouille pour aller le plus loin devra sauter d'une longueur de 35 et sera sauter jusqu'à se trouver bloquer à la marche 35

Bonjour

Je ne croa pas que c'est la solution ,mais je m'élance:

1/La grenouille ne sautera jamais plus d'une marche
2/si elle sautait 37 cm elle monterait indéfiniment
3/en sautant 36 cm et en supposant qu'elle parte de 0 elle se laisse
1 cm devant son nez et en recommençant elle se laissera un autre cm de plus ceci
jusqu'à l'équilibre précaire de la 36 ème marche ou elle butera sur la 37 ème

Avec des sauts de 31 centimètres, la grenouille atteindra la 26ème marche.

Allez intuitivement je dirais qui faut qu'elle fasse des sauts de 36cm et elle pourra sauter 36 marches.

31 cm !
Merci pour l'énigme

Bonsoir,

j'ai trouvé que la grenouille partant du centimètre n°1 de la première marche doit faire des bonds de 31 cm pour arriver au bout de la 26e marche bloquée au cm 962 après 31 sauts

Bien à vous

Bonsoir,
Je pense que la longueur des sauts doit être de 31 cm et dans ce cas la grenouille arrive sur la 26ème marche.

Bonjour ,

je trouve que la marche d'arrivée la plus haute est la n°25 et la grenouille y arrive avec des bonds de longueur 31cm.

Bonjour ,

D'abord une première remarque : puisque la grenouille mesure 1 cm la longueur maxi d'un saut ne peut pas être égale à 36 cm sinon le pauvre animal sera bloqué dès son premier saut !
Je pense donc que la longueur maxi x d'un saut doit être au plus égale à 35 cm d'où  x <= 35 cm (1cm+35cm+1cm=37cm)

L'intervalle de saut est égal en réalité à la taille de la grenouille (1cm) + la longueur du saut x cm
Donc n sauts représentent n(1+x) cm

Au bout de m marches de 37 cm on voudrait avoir  m37 = n(1+x)

d'où on tire x=(m37-n)/n  et l'inéquation (m37-n)/n <= 35

on aboutit à m37 <= 36 n

et en déterminant m en fonction de n on a m <= (36/37)n

m et n étant des nombres entiers et comme 37 est premier on voit que n=37 est la valeur minimun
qui permettra la simplification du dénominateur du deuxième membre pour calculer m
Pour n=37 (minimum) on a m=36 (minimun)

J'en déduis donc:
que la longueur des sauts est en définitive de 35 cm
qu'au bout de 37 sauts la grenouille se trouve bloquée sur la 36eme marche c'est à dire devant la contremarche de la 37eme marche


Question subsidiaire:

je crois reconnaître dans l'empilement des grenouilles de plus en plus réduites et l'alternance des profils rappelant l'alternance pair/impair la suite harmonique des entiers naturels non nuls c'est à dire la somme des inverses des entiers naturels non nuls:1+1/2+1/3...

Ici mes compétences se limitent à dire sans démontrer que cette suite n'est pas convergente à l'infini mais divergente.


Dans l'attente des résultats

Matrix94

bonjour,
le saut optimal semble être un saut de 31cm, qui permet d'arriver à la 26ème marche.

Bonjour,

J'ai utilisé le PPCM après avoir retirer les diviseurs de 36.
Je propose: longueur des sauts 35cm, numéro de la marche d'arrivée: 35

Merci.

longueur 7 cm

En faisant des sauts de 18cm, la grenouille sera bloquée au bout de 666 marches.

Bonjour,

J'ai trouvé que la grenouille pouvait monter 25 marches (et arriver sur la 26eme si elle part de la numéro 1) avec des sauts de 31 cm.

Si on numérote les 37 centimètres de chaque marche de 0 (au bord) à 36 (avec le museau sur la contremarche), on a un joli problème d'arithmétique modulo 37 où la progression s'arrête quand on obtient un reste de 36.

Avec des sauts de 31cm, la grenouille tombe successivement sur les "cm" dont les numéros sont :

0= 31 25 19 13 7 1= 32 26 20 14 8 2= 33 27 21 15 9 3= 34 28 22 16 10 4= 35 29 23 17 11 5= 36

Ce qui donne 31 sauts (pour une course totale de 961 cm) dont 6 (ceux repérés par un "=") ne change pas de marche.
Soit 25 marches montées.

En fait, si n est le nombre de sauts et s la taille d'un saut (1<=s<=36), il faut trouver
n*s congru à 36 modulo 37
alors ((n*s)-36)/37 est le nombre de marches montées.

Comme 37 est premier, aucune taille de saut peut donner une course infinie.

La grenouille doit effectuée des sauts de 31cm, et elle sera bloquée sur la 26eme marche !

Clôture de l'énigme :

De la joute, ce post marque l'arrêt net.
Je pensais qu'elle était plutôt facile mais tous ces poissons me laissent coi.
Peut-être que pour certains, il était tard.

Heureux que Rodival ait donné une réponse explicative
car j'ai grenouillé en me basant sur une phrase de l'énoncé
à savoir que la hauteur du saut n'avait pas
d'importance et qu'ainsi rien n'empêchait de faire des sauts
avec départ vertical (pour franchir la marche) et dans ce cas 36 aurait
été la bonne longueur.

IL FAUT QU'ELLE FASSE DES SAUTS DE 31 CM ELLE SERA BLOQUEE A LA 26EME MARCHE ET AURA FAIT 31 SAUTS