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Joute n°62 : Produits en croix

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
13-02-12 à 11:16

Bonjour à tous,

Dans une grille 3x3, calculons les 4 produits en croix ae-bd, bf-ce, dh-eg et ei-fh.

Joute n°62 : Produits en croix

Si on remplit la grille avec les chiffres de 1 à 9 dans l'ordre, on remarque que ces 4 nombres sont tous égaux à -3.
Bien sûr, toute grille obtenue par une combinaison de rotations ou de symétries de celle-ci donne le même résultat.

Joute n°62 : Produits en croix

Question : Existe-t-il d'autres grilles 3x3 contenant 9 chiffres différents compris entre 1 et 9 pour lesquelles les 4 produits en croix sont identiques (pas forcément -3) ?
S'il existe plusieurs solutions, donnez les toutes.
Attention : on ne compte que celles qui sont vraiment différentes, y compris par une combinaison de rotations ou de symétries (sinon c'est le assuré).

Posté par
Asap
re : Joute n°62 : Produits en croix 13-02-12 à 12:15

gagnéBonjour,

Je pense que,

1 2 3
4 5 6
7 8 9

produit égal à -3.

et

1 2 3
4 6 8
5 7 9

produit égal -2.

sont les seules solutions vraiment différentes. Toutes les autres solutions sont des rotations ou des symétries de ces deux matrices.

Posté par
ksad
re : Joute n°62 : Produits en croix 13-02-12 à 12:26

gagnéBonjour
Je ne trouve qu'une seule grille différente:
1 2 3
4 6 8
5 7 9
pour un produit en croix valant -2.
Merci pour cette joute !

Posté par
Nofutur2
re : Joute n°62 : Produits en croix 13-02-12 à 14:18

gagnéA part la grille qui est donnée, je trouve une seule autre grille "vraiment" différente, c'est à dire qui n'est pas obtenue par symétrie ou rotation d'une de ces deux grilles génératrices.

Si je donne les résultats ligne par ligne, je trouve :

1     2     3     4     5     6     7     8     9 (grille de l'énoncé)  produit en croix =-3

1     2     3     4     6     8     5     7     9  produit en croix =-2


Les autres résultats obtenus pas symétrie ou rotation sont :
1     4     5     2     6     7     3     8     9
1     4     7     2     5     8     3     6     9
3     2     1     6     5     4     9     8     7
3     2     1     8     6     4     9     7     5
3     6     9     2     5     8     1     4     7
3     8     9     2     6     7     1     4     5
5     4     1     7     6     2     9     8     3
5     7     9     4     6     8     1     2     3
7     4     1     8     5     2     9     6     3
7     8     9     4     5     6     1     2     3
9     6     3     8     5     2     7     4     1
9     7     5     8     6     4     3     2     1
9     8     3     7     6     2     5     4     1
9     8     7     6     5     4     3     2     1

Les opérations de symétrie et de rotation conservent le produit en croix en valeur absolue.

Posté par
dpi
re : Joute n°62 : Produits en croix 13-02-12 à 14:31

perduBonjour godefroy-lehardi

Je vais essayer de me glisser dans l'énoncé :toutes rotations ou symétrie donnent le même résultat = -3,

donc +3 est un résultat admissible et je donne:
741
852
963

Posté par
LeDino
re : Joute n°62 : Produits en croix 13-02-12 à 15:42

gagnéBonjour,

Il existe une seule autre solution (aux symétries et rotations près) :

Joute n°62 : Produits en croix


Pour information et pour être complet,
voici les deux familles de solutions engendrées par symétrie et rotation :

Première famille :

Joute n°62 : Produits en croix

Deuxième famille :

Joute n°62 : Produits en croix

Posté par
totti1000
re : Joute n°62 : Produits en croix 13-02-12 à 19:32

gagnéSalut godefroy,

Je propose une autre solution :

1 2 3
4 6 8
5 7 9

Merci.

Posté par
geo3
re : Joute n°62 : Produits en croix 14-02-12 à 07:58

gagnéBonjour
En enlevant les composées de symétries et en dehors de l'exemple il n'en reste qu'un seul que voici :
A+

Joute n°62 : Produits en croix

Posté par
masab
re : Joute n°62 : Produits en croix 14-02-12 à 11:16

gagnéIl n'existe qu'une autre grille solution (à rotations et symétries près), donnée par

1 2 3
4 6 8
5 7 9

Posté par
rschoon
re : Joute n°62 : Produits en croix 14-02-12 à 19:22

gagnéBonjour.

Ma réponse : 1 autre solution
1 2 3
4 6 8
5 7 9

Cordialement

Posté par
manpower
re : Joute n°62 : Produits en croix 14-02-12 à 22:35

gagnéBonsoir,

après une petite recherche, en comptant toutes les grilles (avec rotations et/ou symétries), je dénombre 16 grilles au total.

On peut réduire le tout à 4 grilles différentes : (par exemple)
Joute n°62 : Produits en croix

Ce qui nous donne \red 3 autres (que celle donnée en exemple) grilles.
Certes la première et la troisième (ou la seconde et la quatrième) s'obtiennent mutuellement par simple symétrie d'axe horizontal
mais les produits en croix étant opposés, j'ai considéré qu'elles étaient bien différentes.

Merci pour cette joute.

Posté par
kickass51297
re : Joute n°62 : Produits en croix 15-02-12 à 16:10

perdu* challenge en cours *

Posté par
Pierre_D
re : Joute n°62 : Produits en croix 15-02-12 à 17:57

gagnéBonjour Godefroy,

"Bien sûr, toute grille obtenue par une combinaison de rotations ou de symétries de celle-ci donne le même résultat."
Voilà qui se discute : les produits en croix étant définis en fonction du coin en haut à gauche  :
- la valeur du produit est conservée par les symétries diagonales ou centrale (= rotation )
- la valeur du produit est changée en son opposé par les symétries verticale ou horizontale et par les rotations /2.

Il y a donc en tout 4 possibilités différentes, correspondant aux produits  P=-3 (que tu nous a donné) ,  P=3 ,  P=2 ,  P=-2 ; pour chacun des trois derniers, un représentant de la grille est :

- pour P=3 :   3  2  1
                    6  5  4
                    9  8  7


- pour P=2 :   3  2  1
                    8  6  4
                    9  7  5


-pour P=-2 :  1  2  3
                   4  6  8
                   5  7  9

Posté par
FFaris
re : Joute n°62 : Produits en croix 15-02-12 à 18:49

perduoui

Posté par
gust
re : Joute n°62 : Produits en croix 16-02-12 à 12:53

gagné2 grilles suffisent à génèrer les 16 grilles solutions du problème:

par exemple,


 \\ 9 \ 8 \ 3 
 \\ 7 \ 6 \ 2 
 \\ 5 \ 4 \ 1 
 \\ 
 \\ et
 \\ 
 \\ 1 \ 2 \ 3 
 \\ 4 \ 5 \ 6 
 \\ 7 \ 8 \ 9 
 \\

Posté par
zemicaboss
re : Joute n°62 : Produits en croix 16-02-12 à 18:51

perduoui il en existe

Posté par
Skep
re : Joute n°62 : Produits en croix 17-02-12 à 13:54

gagné1 seule réponse ne marche :

123
468
579


ainsi que tous ses dérivés (qui ne comptent donc pas) :
145  321  389  541  579  975  983
267  864  267  762  468  864  762
389  975  145  983  123  321  541

merci

Posté par
jonjon71
re : Joute n°62 : Produits en croix 18-02-12 à 11:26

gagnéBonjour,

Je trouve une autre grille qui soit différente de celle proposée en exemple.

La voici :

1 2 3
4 6 8
5 7 9


Et le produit en croix vaut -2.


-----------------------------------------------------

En fait j'ai trouvé au total 16 grilles différentes :
.4 pour lesquelles le produit en croix vaut -3 ;
.4 pour lesquelles le produit en croix vaut 3 ;
.4 pour lesquelles le produit en croix vaut -2 ;
.4 pour lesquelles le produit en croix vaut 2.
Les 8 premières sont semblables par rotation/symétrie ainsi que les 8 dernières. Pour moi, il n'y a donc que 2 grilles différentes (à rotation/symétrie près).

J'espère avoir bien interprété  l'énoncé.

Merci!

Posté par
gloubi
re : Joute n°62 : Produits en croix 21-02-12 à 12:03

gagnéBonjour,

Citation :
Bien sûr, toute grille obtenue par une combinaison de rotations ou de symétries de celle-ci donne le même résultat.

La grille
369
258
147

obtenue par rotation de la grille initiale a pour produit en croix 3 et non -3.
Je suppose que ce n'est cependant pas une solution acceptable.

Par contre
123
468
579

(produit en croix -2) est la seule autre solution.

En espérant avoir eu une bonne lecture de l'énoncé.

Posté par
torio
re : Joute n°62 : Produits en croix 22-02-12 à 13:11

gagnéJ'en ai trouvé une autre
A+
Torio

Joute n°62 : Produits en croix

Posté par
dakane
re : Joute n°62 : Produits en croix 24-02-12 à 19:21

gagnéAprès suppression de doublons il n'y a que 2 grilles possibles :
- celle donnée en exemple :
1 2 3
4 5 6
7 8 9

- et la suivante :
1 2 3
4 6 8
5 7 9

Posté par
Chatof
re : Joute n°62 : Produits en croix 26-02-12 à 05:03

gagnéoui, une

1   2   3
4   6   8
5   7   9

Posté par
buck92
Joute 62 29-02-12 à 18:17

gagnéBonjour,
Une seule autre grille.

On peut construire au total 16 grilles ayant la propriété demandée, mais à part celle donnée dans l'énoncé, il n'en existe qu'un autre modèle original :
1 2 3
4 6 8
5 7 9

Merci pour l'énigme, car je n'avais jamais remarqué cette propriété dans la grille de base donnée en exemple.

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmes
re : Joute n°62 : Produits en croix 05-03-12 à 11:38

Clôture de l'énigme :

La phrase « toute grille obtenue par une combinaison de rotations ou de symétries donne le même résultat » était effectivement un peu ambiguë (on ne se relit jamais assez ), et même pas tout à fait exacte comme l'a fait remarquer Pierre_D.
Le mot “résultat” ne désignait pas le résultat des produits en croix mais le fait que les 4 produits en croix étaient égaux.
J'ai donc décidé d'accorder le smiley à manpower et à Pierre_D.

En revanche, la réponse de dpi n'étant que partielle, même dans cette interprétation, je n'ai pas pu l'accepter.

Posté par
manpower
re : Joute n°62 : Produits en croix 05-03-12 à 19:36

gagnéBonsoir,
alors comment ça il est pas frais mon smiley ?
Bon, c'est vrai que y'a comme un relent de poisson chez moi...

Merci à godefroy_lehardi pour sa mansuétude.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 93:04:47.
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