Bonjour,

Voici 8 nombres entiers positifs non nuls et tous différents respectant l'énoncé tels que leur somme soit minimale.

[      8      ]
[   1     6   ]
[5           7]
[   3     2   ]
[      4      ]

Merci pour cette énigme !

Salut

Je propose
a=1
b=3
c=4
d=2
e=6
f=8
g=5
h=7

pour une somme de 36

Salut godefroy,

Je propose un minimum de 36.



Merci.

Bonjour,

Il semble qu'il existe une solution minimale, avec les 8 nombres de 1 à 8 :
A=3 ; B=2 ; C=7 ; D= 6 ; E=1 ; F=5 ; G=4 ; H=8

Ce qui donne à peu près :
        4
   3         2
5               7
   1         6
        8

Merci pour l'énigme !

Tof

Dans l'ordre A,B,C,....etc, je propose la suite : 8, 6, 7, 5, 1, 3, 4, 2. pour un total de 36.

Bonjour,

Je trouve une somme minimale de 36 pour les valeurs suivantes :

A=1
B=6
C=7
D=2
E=3
F=5
G=8
H=4

Merci.

Bonjour,

Voici une solution (somme = 36):


Je trouve 15 autres solutions a ce problème qu'ont peut obtenir par symétrie etc. (cela rendra la correction difficile !).

Merci.

Bonjour,
sans me lancer dans des calculs savants et compliques, je serais tente de dire que chacune des lettres est a la fois sur un triangle, un carre et un hexagone. Donc si on attribue comme valeur a chacune de ces lettres un multiple de 3*4*6 (72) les produits et sommes seront forcement des multiples de 3 de 4 et de 6. De ce fait en prenant
A=72
B=144
C=216
D=288
E=360
F=432
G=504
H=576
on a alors des entiers non nuls tous differents dont les sommes et produits pour chacun des polygones respectent la condition "sont multiples du nombre de cote du polynome".

A priori cela fonctionnait avec les multiples du PPCM (12) de 3, 4 et 6, mais la cela fait encore plus brut de reflexion!

Il y a forcement une infinite de solution (si il n'y a pas un gros bug dans mon raisonnement de faineant!).

A bientot...

Bonjour Godefroy,

Avec une somme de 36

Merci pour la joute.

Je pense qu'il n'existe que les solutions suivantes (ma solution multipliée par un entier arbitraire et avec des permutations possibles) :

A : 18
B : 3
C : 9
D : 6
E : 15
F : 21
G : 24
H : 12

Dans tous les cas, tous les nombres doivent être des multiples de 3 (sinon on enfreint la règle disant que tous les nombres doivent être différents).
Si j'ai un peu de temps j'essaierai de faire une démonstration, en espérant bien sûr de ne pas m'être trompé !

Merci pour cette énigme !

Bonjour
A,B,C,D,E,F,G,H = 6,1,8,3,2,4,5,7
en image

A+

Bonjour,

A=1 B=3 C=4  D=2 E=6  F=8  G=5  H=7

Somme =36

16 solutions
A=1 B=3 C=4  D=2 E=6  F=8  G=5  H=7
A=8 B=3 C=2  D=7 E=6  F=4  G=1  H=5

et les rotations + symétrie

merci  Godefroy_lehardi

Bonjour,
Je propose, par exemple, cette solution :
A=1 ; B=3 ; C=7 ; D=2 ; E=6 ; F=5 ; G=8 et H=4

1-4-9-5-2-3-7-17 pour A-B-C-D-E-F-G-H

Bonjour Godefroy.
ABCDEFGH 26813475; somme des nombres : 36
(somme;produit) :
triangles 15;42) (15;48) (9;15) (9;24)
carrés : (12;36) (24;1120)
hexagones : (24;1152) (24;630)

Bonjour

En mettant de petits entiers on trouve:
A 1 B2 C3 D4 E5 F9 G6 H18
         S    P
ABG    9    12
BCD    9    24
EDH    27   360
AFE    15   45
  

ABDE   12   40
CGFH   36   2916

ABCDEF   24   1080
AGBDHE   36   4320

La somme des 8 sommets est 48

Bonjour à tous.

Ma réponse : 1 3 4 2 6 8 5 7, somme des nombres : 36, ce qui donne la figure ci-dessous.

Cordialement

bonjour ,

voila ma reponse
une des nombreuses solution (1; 3; 7; 2; 6; 5; 8; 4)
la somme vaut donc 36 (somme déjà minimale avec la seule contrainte: 8 huit chiffres tous differents et non nuls)

en image:

Merci pour l'enigme

Qlq explications sur la methode que j'ai suivie:

pour chacun des 4 triangles, au moins un des sommets est multiple de trois (3 est premier !)
la somme des 3 sommets etant aussi un multiple de 3, la somme des 2 autres sommets est aussi un multiple de 3
=> soit les 2 autres sommets sont tous les 2 multiples de 3, soit l'un est du type ~3k+1 et l'autre ~3k+2

par ailleurs, il faut au minimum 2 sommets distincts couvrir les 4 triangles (par exp (E;B) ou (A;D))
=> parmi les huit nombres recherchés, il y a au moins 2 multiples de 3

cherchons s'il existe une solution avec les nombres 1 à 8 (il ne peut pas y avoir de solution ayant une somme inferieure !)
classons les nombres de 1 à 8 selon mod(3) : (3;6) ~3k ; (1;4;7) ~3k+1 ; (2;5;8) ~3k+2
si les nombres 1 à 8 permettent une solution alors les 3 sommets de chaque triangle seront du type (~3k; ~3k+1; ~3k+2)

choisissons B=3 et E=6
=> A & H & C sont necessairement de même type (~3k+1 par exp.) et D & F & G sont necessairement de l'autre type (~3k+2 par exp)
sur les 9 possibilités (A=1 ou 4 ou 7 & D=2 ou 5 ou 8), seuls (A=1 & D=2) et (A=7 & D=8)  respectent "A+B+D+E est un multiple de 4"
choisissons A=1 et D=2
sur les 4 possibilités (F= 5 ou 8 & C= 4 ou 7), seules (F=5 & C=7) et (F=8 & C=4) respectent "A+B+C+D+E+F est un multiple de 6"
choisissons F=5 et C=7
=> G=8 et H=4
on verifie que (A=1; B=3; C=7; D=2; E=6; F=5; G=8;H= 4) respecte toutes les conditions sur les sommes et produits des 8 polygones de la figure
on peut remarquer qu'aucune condition sur les produits n'a été utilisée sauf celle des triangles ...
on peut aussi remarquer (F=8 & C=4) mene egalement a une solution et que (A=7 & D=8) mene aussi a 2 solutions ...

Bonjour
Il existe une solution avec les nombres 1 à 8, qui est donc forcément de somme minimale.
(voir illustration ci-jointe)
Merci pour cette joute !

Bonjour,

J'ai trouvé une solution avec les chiffres de 1 à 8.

A = 6
B = 2
C = 7
D = 3
E = 1
F = 5
G = 4
H = 8
Somme = 36

Merci pour l'énigme.

Pour un total de 48 :

A+
torio

Par exemple,

              5
          1 --- 3
       8  |     |   4
          6 --- 2
              7

Bonjour tout le monde.
- Je propose ceci:

            5
        1        6
  8                    4
        3        2
             7  


A+B+G = 12                 A*B*G = 30
B+C+D = 12                 B*C*D = 48
D+E+H = 12                 D*E*H = 42
A+E+F = 12                 A*E*F = 24
A+B+D+E = 12             A*B*D*E = 36
C+G+F+H = 24            C*G*F*H = 1120
A+B+C+D+E+F = 24      A*B*C*D*E*F = 1152
A+G+B+D+H+E = 24     A*G*B*D*H*E = 1260

Bon bah, normalement pas d'erreur, et la somme et minimale puisque bon...
Alors :



Voilà !
Merci !

Hello,

Je propose:


A=3
B=1
C=8
D=6
E=2
F=4
G=5
H=7

La somme A+B+C+D+E+F+G+H est bien sûr minimale, et les conditions de divisibilité sont respectées sur les 4 triangles, les 2 carrés et les 2 hexagones.

Merci pour l'énigme

Yoyo.

Salut, tous, et merci pour la joute, godefroy!
Ben, je propose les nombres les plus petits possibles pour cet énoncé: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8.

C'est un peu facile de juste les dire, alors je donne une configuration: A-3; B-1; C-8; D-6; E-2; F-4; G-5 et H-7.
On vérifie que les sommes et produits respectent bien les règles... Encore Merci!

Clôture de l'énigme :

Il existait bien plusieurs solutions utilisant les nombres de 1 à 8.
Je n'ai pas vérifié combien sont réellement différentes.

Bonjour Godefroy.
Tu aurais pu corser l'énigme en y incluant les huit pentagones.

Des propos de corsaire que cela, mon cher meteore! Seriez-vous ennemi du smiley? Ou considerez-vous juste qu'un bien(smiley) mal(facilement) acquis ne vaut pas mieux qu'un poisson accompagne* d'effort intellectuel et de plaisir? En tout cas, je suis curieux de savoir ce qui se passerait si votre contrainte était ajoutée a* l'énoncé...

Au fait, quels sont les pentagones que vous souhaitez prendre en consideration? Parce que j'en denombre plus de 8, entre les quatre du style ABCDE, ceux du style ABCHE et ceux du style ABCHF...