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Joute n°8 : Jacquadomia
Bonjour à tous,
Godefroy le Hardi s'est mis en tête de faire apprendre les rudiments du calcul à son écuyer Jacquouille. Il demande au frère Carl Friedrich, un éminent moine mathématicien allemand, d'inculquer, au besoin par la force, quelques notions de calcul dans le cerveau rétif de ce maraud.
Après avoir à grand peine obtenu quelques résultats sur les additions, le bon frère veut lui faire travailler les multiplications. Il lui dicte des opérations visant à obtenir les carrés des premiers nombres :
« Ecris une fois un, deux fois deux, trois fois trois, et ainsi de suite jusqu'à douze fois douze»
Mais lorsqu'il se penche sur la feuille de son élève, il voit ceci :
122333444455555666666777777788888888999999999101010101010101010101111111111111111111111121212121212121212121212
Le frère Carl Friedrich se gausse : « Puisque tu veux t'amuser, tu vas continuer sur ta lancée et me dire quel est le millionième chiffre de ce nombre extravagant. Et pour être sûr que tu ne choisiras pas un chiffre au hasard, je veux aussi celui qui le précède et celui qui le suit. »
Question : Donnez dans l'ordre le 999 999ème, le 1 000 000ème et le 1 000 001ème chiffre de ce nombre.
Bonjour godefroy,
Les nombres cherchés sont dans l'ordre (et sauf erreur) : 9 8 1
Merci pour l'énigme 
.
Bonjour
∑(i, i, 1, 9) + ∑(2·i, i, 10, 99) + (∑(3·i, i, 100, 818)) + 3·27= 999 999
=>
le 999 999 ème chiffre est un 9
le 1000 000 ème chiffre est un 8
le 1000 001 ème chiffre est un 1
=>
réponse = 981
A+
981
sauf erreur de comptage:
- il faut 45 chiffres pour écrire les 1x1 ... 9x9
- il en faut encore 9810 pour aller de 10x10 à 99x99
- en allant ensuite de 100x100 à 818x818 on ajoute 990063 chiffres supplémentaires
soit un total de 999918 jusque là.
on passera donc le cap du million pendant l'écriture de 819x819.
en écrivant encore 27 fois 819 on atteint 999999 chiffres. Le millionième chiffre devrait donc être un 8.
merci et à bientôt
Bonjour Godefroy,
Après des calculs encore une fois laborieux, je propose : 9 (en 999999ème), 8 (en 1000000ème), 1 (en 1000001ème) , pendant l'écriture du nombre 819.
Bonjour,
J'ai trouvé les trois chiffres :
Les nombres de I à J produisent
(I + (I+1) + (I+2) +...+ (J-1) + J) répétitions
soit
R(I,J) = (I+J)*(J-I+1)/2 répétitions.
Raisonnons d'abord par plage de nombres ayant la même taille.
Les nombres à N chiffres vont de Bi=10^(N-1) à Bs=10^N-1 inclus.
Pour cette plage, ils sont donc Bs-Bi+1 pour une occupation totale de
T(N,Bi,Bs) = R(Bi,Bs)*N caractères.
Ainsi on a une fonction qui mesure la taille au sein d'une même plage :
T(N,I,J)= N*(I+J)*(J-I+1)/2
qui donne les tailles des premières plages :
| N | P=10^(N-1) | T(N,P,10*P-1) |
| 1 | 1 | 45 |
| 2 | 10 | 9810 |
| 3 | 100 | 1483650 |
Le 1000000 ème caractère est donc celui d'un nombre entre 100 et 1000 et est le
100000-T(2,10,99)-T(1,1,9) = 1000000-9810-45 = 990145 ème de sa plage.
Soit la fonction définie pour 100 <= X < 1000 :
F(X) = T(3,100,X)+T(2,10,99)+T(1,1,9)
qui indique la position du dernier caractère généré par le nombre X.
On a :
F(X) = (100+X)*(X-99)*3/2 +9855
Une recherche dichotomique n'est pas si longue, même à la main :
(et évite de calculer la réciproque de F(X) !)
| X | F(X) |
| 500 | (100+500)*(500-99)*3/2 +9855 = 370755 |
| 750 | (100+750)*(750-99)*3/2 +9855 = 839880 |
| 875 | (100+875)*(875-99)*3/2 +9855 = 1144755 |
| 812 | (100+812)*(812-99)*3/2 +9855 = 985239 |
| 843 | (100+843)*(843-99)*3/2 +9855 = 1062243 |
| 827 | (100+827)*(827-99)*3/2 +9855 = 1022139 |
| 819 | (100+819)*(819-99)*3/2 +9855 = 1002375 |
| 818 | (100+818)*(818-99)*3/2 +9855 = 999918 |
Le caractère cherché est donc le 1000000-999918 = 82 ème de ceux générés par le nombre 819.
Comme (82 modulo 3) = 1, il s'agit du 1er de 819, soit le 8.
Et les trois chiffres cherchés sont :
9, 8 et 1
Jacquouille a-t-il trouvé la même chose ?
Bonjour godefroy lehardi,
Le 999 999ème, le 1 000 000ème et le 1 000 001ème chiffre de ce nombre sont, dans l'ordre: 9, 8 et 1.
Merci pour l'énigme.
bonjour,
la réponse :
le 999 999ème chiffre de ce nombre est "9"
le 1 000 000ème chiffre de ce nombre est "0"
le 1 000 001ème chiffre de ce nombre est "1"
Bonsoir godefroy_lehardi
Cela fait quelque temps que je ne me suis pas connecté à l'île pour cause d'inondation et c'est tout naturellement qu'en revenant, je me dirige vers la page "énigmes" pour avoir le plaisir de découvrir ce que tu nous as concocté durant ces dernières semaines.
Après des petits calculs de suites arithmétiques, je dirais donc que les trois chiffre demandés sont dans l'ordre 9 , 8 et 1 
Merci à toi pour cette énigme.
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