Bonjour,

Bon, je ne prétends pas donner l'ensemble des points possible, mais un qui convient.
Il s'agit du centre de gravité du triangle.

En appelant M ce centre de gravité
AA', BB', CC' les médianes
D, E, F la projection de M sur BC, AC, AB
on a

Par les médianes
AM = 2MA'
BM = 2MB'
CM= 2MC'
et par la projection (et le fait que le triangle ne soit pas équilatéral)
MA' > MD
MB' > ME
MC'> MF

donc (MA+MB+MC)>2(MD+ME+MF)

Donc les coordonnées du centre de gravité...
Je dirais bien 0,0 dans un repère centré en M

Sinon, si on prends le repère centré en B tel que l'axe des abscisse soit orienté vers C
On a
B(0,0)
C(200,0)
A(x,y) avec x*x+y*y = 180*180
            (200-x)²+y*y = 280²
soit A(-15, sqrt(32175))

ce qui donne un point M en 61.6667, 59.791 au mètre près.

Une zone de quelques mètres autour est tolérée, mais le mieux est de viser juste !

D'après mes calculs (faux très certainement...mais c'est le jeu !!!), tous les points intérieurs au triangle conviennent.
Pour tenir compte de la précision demandée, si on se place dans le repère de centre B et d'axe des abscisses BC, on peut définit un quadrilatère dont les sommets ont des coordonnées entières :
M1 (198,1)
M2 (0,1)
M3 (-14,167)
M4 (-14,178)

Les points intérieurs à ce qualilatère sont à moins d'un mètre des côtés du triangle et conviennent.

Bonjour,
Soit je n'ai rien compris à l'énoncé..., soit le point M peut être situé n'importe où sur l'île. Pour moi la somme des distances en rouge est toujours supérieur au double de la somme des distances en noir (tant que l'on reste sur le triangle bien sur)
J'ai trouvé cela sur une feuille de calcul avec excel puis l'ai confirmé sur geogebra quand j'ai pu y accéder.

Ou OSS doit-il être déposé? n'importe où! (bordure du triangle non comprise puisque spécifié dans l'énoncé, même si cela fonctionnerait en terme de distances).

Bonsoir
Si j'ai bien tout compris je dirais que
tout point M à l'intérieur du triangle convient
*
car pour tout point M à l'intérieur d'un  triangle non équilatéral :  M est tel que 2*(la somme des distances de M aux côtés du triangle ) est toujours < la somme des distances de M aux sommets du triangle (Th. de Erdös-Mordell)
*
si j'ai un c'est vraiment un(e) coup ( enigme) vache
A+

Bonsoir,

hum, on suppose qu'il enterre les appareils en un temps epsilon négligeable ?

Je serais bien tenté de répondre "Mission possible" (en théorie du moins!).
La somme double des distances aux côtés est toujours inférieure à la somme des distances aux sommets, même de peu (avec un minimum de 30km environ).
Si l'on considère que 30km d'avance suffisent pour grimper dans l'hélico, ça passe...

Comme les chemins ne se croisent pas, le seul cas litigieux pourrait être de se trouver en M au même moment que l'équipe partie de A; pour cela si la distance aux côtés ne sont pas toutes égales, il suffit de choisir la bonne.
Reste donc à s'assurer que pour le centre du cercle inscrit cela ne pose pas de problème et c'est bien le cas car 2 fois environ 5,436 font toujours moins que environ 14,091.

Il me semble donc, qu'en n'importe quel point de l'île, OSS1606 pourra mener à bien sa mission...
ou alors que je n'ai rien compris et il faudra me jeter à la mer que je nage un peu parmi les poissons !

Bonjour,

Quel que soit l'emplacement de M (non situé sur la bordure du triangle), l'agent OSS 1606 pourra quitter l'île avant que les sbires du Docteur Mortell ne l'attrapent !

Merci pour cette énigme...

Bonsoir Godefroy,

En utilisant le théorème d'Erdős-Mordell, tout point intérieur du tr ABC, de l'île convient.
Donc dans le repère affin (B,C,A): {(x,y)² | 0<x<1 et 0<y<1 et x+y<1 }

Merci

Bonjour à tous.

Tous les points de l'île conviennent. L'agent OSS 1606 ne sera jamais rattrapé par le vilain Docteur Mortell.

Merci pour l'énigme.

Bonsoir,

j'ai trouvé ! : la joute concerne le théorème d'Erdös-Mordell. La figure vient du site Wikipédia concernant ce théorème qui dit :

Théorème d'Erdős-Mordell — Dans un triangle, la somme des distances d'un point intérieur au triangle aux sommets de ce triangle est au moins égale au double de la somme des distances de ce point aux trois côtés.



Figure du Théorème d'Erdős-Mordell : MA + MB + MC ≥ 2(MH + MK +ML)

Corollaire : il y a égalité si et seulement si le triangle est équilatéral et si le point intérieur en est le centre.

Donc pour répondre à la question de la joute:  comme le triangle n'est pas équilatéral, l'égalité n'existe pas.
L'agent OSS 1606 peut être déposé en n'importe quel point à l'intérieur du triangle ABC sans pouvoir être attrapé.

ReBonsoir

Après réfexion je crois qu'il y a un point qui ne convient pas : c'est celui pour lequel la distance AM = 2*la distance de M à la droite AB mais dans le repère B=(0;0) C=(200;0) je ne suis pas encore parvenu à trouver avec précision sa coordonnée : par dessin  c'est environ (51.8km;83.2km) avec MA = 117.2
Enfin je pense être bon pour un
A+

Tout le triangle(sauf la bordure du triangle).
Quel que soit l'emplacement de M, les sbires du docteur Mortell ne peuvent pas arriver avant notre espion.

bonjour et merci

Bonjour,

Il y a de la Scalénie dans l'air...
Mais cette fois ,je me pose la question suivante:
quelle distance de la côte correspond à l'énoncé
"non situé sur la bordures"?

En effet si l'on se place sur la hauteur issue de B
à une distance de 46.8 km on obtient la limite de la zone
(secteur elliptique )des points M possibles.

Plus on se rapproche de B plus on écarte le danger,
mais où s'arréter pour ne pas attirer l'attention des
opérateurs radio?

Arbitrairement je dirai que l'hélicoptère doit se poser
sur cette hauteur à 1000 m de la côte AB et 1013 mde la côte BC.

La mission totalise ainsi 257,427 km et les sbires
auront 379,416 km à parcourir.

Bonjour!

Quelle rouerie chez godefroy_lehardy! Il a fait exprès de ne pas respecter l'échelle pour nous cacher le fait que l'angle B est obtus!

Je prends un repère d'origine B avec C sur l'axe des x . A a alors pour coordonnées -15 et 15.sqrt(143).
Je considère deux zones dans le triangle:
la zone 1 où les points vérifient y<=x/sqrt(143)
la zone 2 où les points vérifient x<=0.
Si M est dans la zone 1, le point de AB le plus proche de M est B.
Si M est dans la zone 2, le point de BC le plus proche de M est B.

Si j'ai bien compris les règles du jeu, l'espion fait obligatoirement trois aller-retour au départ de M et sans marquer de pause quand il doit s'arrêter.
De même les sbires parcourent la distance AM+MB+CM sans marquer de pause.
Comme les vitesses sont égales et constantes, la durée est proportionnelle à la distance.
Je trouve que , pour toute position de M, les sbires ont marché plus longtemps que l'espion.
On pourrait donc  choisir M arbitrairement à l'intérieur du triangle ...

MAIS

si M est choisi dans la zone 1, l'espion, en revenant de B vers M, risque de rencontrer les sbires qui vont de M vers B.
On est bien obligé dans ce cas de déroger à la règle du jeu et décréter qu'il sera tué.
Même chose si M est choisi dans la zone 2.

Par contre, si M n'est pas dans l'une de ces zones, les trajectoires n'ont que le point M en commun
et l'espion peut faire ses trois aller-retour dans un certain ordre,de façon à ne pas se trouver en M lors du premier passage des sbires
(je peux le démontrer, en utilisant le fait que l'angle en A n'est pas de 60 degrés).
Ce point M peut donc être choisi.

Regardons de plus près ce qui se passe si M est choisi dans la zone 1 et que l'espion choisit de commencer par l'aller-retour vers B.
Visiblement, la distance AM est plus grande que la distance MB.
Les sbires arriveront en M alors que l'espion aura déjà viré en B.
Il les rencontrera sauf s'il revient en B alors qu'eux-mêmes n'ont pas encore atteint B, donc si
la distance AM est plus grande que deux fois la distance MB.
Cela nous positionne M par rapport à une certaine hyperbole.
Dans le cas défavorable, l'espion ne peut pas s'en sortir en commençant par un aller-retour autre que vers B.
Cela ne ferait que retarder son passage en B où les sbires sont déjà.

Les raisonnements sont voisins pour M dans la zone 2, sauf qu'on n'a pas nécessairement distance(A,M)>distance(B,M)

Ma réponse, pour conclure:

Les points M à l'intérieur du triangle qui conviennent sont ceux dont les coordonnées vérifient en plus:
x>0 et y>x/sqrt(143).
Il faut leur adjoindre aussi ceux qui vérifient  y<=x/sqrt(143) (zone 1) et
32400+30x-3x^2-358.7..y-3y^2>0 (merci Maple)
et aussi ceux qui vérifient x<=0 (zone2) et (je pense) une inégalité analogue à la précédente.

OUF!

Bonjour

Je pense que M peut être n'importe où dans le triangle sauf sur un segment ]AD[ tel que BAD = 30° et D(BC)

Si AC = 280 KM  alors Mission Impossible

Bonjour et merci énormément pour cette énigme qui m'aura bien fait sué

Ma conclusion : quelque soit l'endroit où l'agent est parachuté sur l'île (sauf aux bords), il la quittera toujours avant que les sbires ne l'attrappent.

Pendant des heures je n'ai pu élaboré que des pistes de réponse, mais il en résulte une inéquation à résoudre à laquelle je ne peux me frotter. Alors je me suis débrouillé avec les moyens du bord (GeoGebra), faute d'avoir une démonstration solide. Je vais quand même mettre ici mes pistes histoire de ne pas avoir l'impression d'avoir fait tout ça pour rien

D'abord, j'ai inscrit le triangle dans un plan orthonormal comme ceci :



Le trajet parcouru par l'agent est :
Celui parcouru par les ennemis est :

Sachant qu'il voyagent tous à la même vitesse, alors il suffit de comparer la distance des deux trajets : celui de l'agent doit être plus petit que celui des ennemis. Il faut donc résoudre cette inéquation :



Il faut donc calculer ces 6 longueurs en fonction de X_M et Y_M.

Pour cela, j'ai commencé par calculer les coordonnées de A,C,B, M. Pour A, sachant qu'il est l'intersection de deux cercles d'équations et . Ce qui nous donne :



Grâce à ces cordonnées et beaucoup de calculs en utilisant Al Kashi (merci à castoriginal pour m'avoir fait découvrir cette loi), j'ai trouvé comment exprimer ces longueurs en fonction des coordonnées de M :



Malheuresement, si j'essayais de résoudre l'inéquation principale en remplaçant chaque longueur par son expression en fonction des coordonnées de M, ça donnerait un truc absolument monstrueux et que je refuse d'essayer de résoudre si vous n'y voyez pas d'inconvénients.

Pour parvenir à mes fins, j'ai décidé de bricoler un programme en Python. Sa mission : calculer la longueurs des deux trajets et si jamais celle de l'agent est plus courte que celle des ennemis, Python note les coordonnées de M correspondante. Et il fait la même chose avec toutes les positions de M possibles dans le triangle. C'était une bonne idée, malheuresement il y beaucoup trop de contraintes liées à la réalisation du programme, j'ai donc abandonné.

Donc il ne me restait qu'une solution : GeoGebra. Il me donnait la longueur du trajet de chaque camp. Alors je faisais varier M manuellement dans le triangle. Et je me suis rendu comte que jamais la longueur du trajet de l'agent n'atteignait ou dépassait celle des sbires. D'où ma conclusion. Malheuresement rien ne me dit qu'il n'y a pas une position contradictoire, ça reste très (beaucoup trop) approximatif.

Enfin bon, je tente quand même, même si une petite voix me souffle que j'ai complètement faux.

À bientôt, j'ai pris beaucoup de plaisir à rechercher la réponse !

bonjour Godefroy

On dirait bien que notre agent spécial a toutes les chances de s'en tirer indemne... du moins si l'on suppose que les dépôts et enlèvements de matériel + transmissions radio prennent un temps négligeable par rapport au temps de déplacement.
En effet, sur l'île ainsi décrite, tout point de parachutage permettra à OSS 1606 de faire ses trois allers-retours, avant que les troupes spéciales de l'infâme Mortell ne puissent rejoindre le point M.

En tout point intérieur du triangle, la somme des trois allers-retours (en noir) est toujours inférieure à la somme des trois trajets depuis les sommets (en rouge).

Si l'unité de temps correspond au temps de déplacement pour 1m, alors le point de parachutage le plus "chaud" laissera encore 5.758 unités de temps d'avance à OSS 1606 pour s'échapper.

Note: ce n'était apparemment pas vrai pour le triangle proposé initialement.
Merci pour la joute et à bientôt !
ksad

PS. je n'ai pas pris la peine de donner les coordonnées avec une précision au mètre de tous les points intérieurs du triangle... mais est-ce vraiment nécessaire ?

Avec  C = 230,

Il semblerait que M peut se trouver n'importe où dans le triangle.
La mission sera forcément réussie !

A+
Torio

Bonjour
Je viens seulement de voir que |AC| valait 230km au lieu de 280km mais pour moi cela ne change rien car
*
pour tout point M à l'intérieur d'un  triangle non équilatéral :  M est tel que 2*(la somme des distances de M aux côtés du triangle ) est toujours < la somme des distances de M aux sommets du triangle (Th. de Erdös-Mordell)
*
ici vu que l'on ne pas avoir |MA| = 2|MC'| il y aurait un poin M qui ne convient pas ( c'est celui pourlequel  la distance MA = 2*la distance de M à AB
mais  dans le repère B=(0;0) C=(200;0) je ne suis pas encore parvenu  ( j'en ai marre de chercher ) à trouver avec précision sa coordonnée : par dessin la coordonnée de M dans ce repère  est environ (65.24km;108.48km) avec MA = 66.86km
De toute façon je pense être bon pour un
Enfin on verra à la correction
A+

Bonjour!

Je découvre aujourd'hui que godefroy_lehardi a apporté une rectification à l'énigme.
Ne voyant pas de ruse, j'ai donc calculé (avec Maple) en vitesse, donc avec risque d'erreur (de raisonnement ou de calcul).
Je trouve que, quel que soit la position de M, les sbires feront au moins 5 km de plus que l'espion donc:

TOUS LES POINTS DU TRIANGLE SONT BONS.

C'est bien moins drôle qu'avec la première version...

Avec B comme origine et la droite BC comme axe des abscisses, on peut choisir M de coordonnées 9 km et 5 km.
Soient P,Q et R les projections de M sur BC,CA et AB.
On a les distances et les inégalités suivantes:
MP = 5, MQ = 4.999 et MR = 7.309
AP = 12.999, BM = 10.296 et CM = 12.083
On vérifie que 2MP<AM puis 2(MP+PQ) < AM+MB et 2(MP+MQ+MR) = 34.086 < AM+BM+CM = 35.078

Clôture de l'énigme :

Je vous fais mes plus plates excuses pour cette erreur sur la longueur AC.
Comme les dimensions du triangle n'avaient aucune incidence sur le résultat, je ne me suis pas trop préoccupé des dimensions. J'ai donc mis des longueurs un peu au pifomètre.
Erreur funeste (enfin, pas trop) : si l'inégalité d'Erdös-Mordell est vraie pour tout triangle, dans la vraie vie, il faut que notre espion puisse rejoindre les côtés du triangle par leur perpendiculaire : il faut donc qu'il n'y ait pas d'angle obtus.
Merci à rogerd pour sa remarque fort pertinente.

Pour torio, j'ai vraiment hésité jusqu'à la dernière minute.
Malheureusement pour lui, j'ai dû lui mettre un poisson car, tout bien considéré, il a posté sa réponse plus de 28 heures après la correction de l'erreur. On ne peut donc pas considérer qu'il n'a pas eu le temps d'en prendre connaissance.

J'ai souvent répété qu'il valait mieux relire l'énoncé une dernière fois avant de répondre. En voici une preuve supplémentaire.

Félicitations à Nofutur2 qui gagne le mois d'octobre et signe un nouveau doublé !

Bravo également à masab, sbarre, rogerd, Chatof, fontaine6140 et ksad qui réalisent un joli sans-faute.

Si seulement on avait prèté attention aux deux "l "
Mortell =Mordell

Bon, ben je suis parti un peu loin

En tout cas bravo à tous, et surtout à NoFutur2

Ceci dit

Mode mauvaise foi on
le point que j'ai donné convenait

tire du post 19-11-12 à 15:09 de Godefroy:

sbarre>

Non, cela ne fonctionne pas avec l'énoncé initial car si tous restent sur les segments imposés, l'espion peut croiser les sbires en revenant de B (voir ma solution du 31/10).

Effectivement, je ne me suis pas arrete a cet aspect; neanmoins il faut savoir que

Bonsoir à tous,

Un grand bravo à toi Nofutur2 pour cette nouvelle victoire et ce doublé !

Félicitations au maître !